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7.1.1　数系的扩充和复数的概念
1.通过方程的解，了解引进复数的必要性（数学抽象）. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件（逻辑推理）.
　　
知识点一｜复数的有关概念
问题1　（1）正实数的平方根有两个，0的平方根是0，负实数有平方根吗？
（2）我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
【知识梳理】
1.定义：我们把形如　　　　（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，　　　　　　所构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫做复数集.
2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的　　　　与　　　　.
　　提醒：（1）i2＝－1；（2）i和实数之间能进行加法、乘法运算.
【例1】　已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a＝（　　）
A.－3 B.3
C.－1 D.1
【规律方法】
若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
训练1　已知复数x＋y＋（2－x）i的实部和虚部分别为3和4，则实数x和y的值分别是（　　）
A.2，－4 B.2，5
C.－2，4 D.－2，5
知识点二｜复数的分类
问题2　（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以是实数吗？需满足什么条件？
（2）如何利用集合关系表示实数集R和复数集C？
【知识梳理】
1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下：
复数
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系.
　　提醒：（1）两个虚数不能比较大小；（2）a＝0是复数z＝a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的必要不充分条件.
【例2】　（链接教材P69例1）当实数m取什么值时，复数z＝＋（m2－2m）i是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
【规律方法】
解决复数分类问题的方法（步骤）
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部；
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可；
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）：①z为实数 b＝0；②z为虚数 b≠0；③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
训练2　（1）若复数z＝（x2－100）＋（x－10）i为纯虚数，则实数x＝（　　）
A.－10 B.10
C.100 D.－10或10
（2）若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值为　　　　.
知识点三｜复数相等
问题3　复数z＝a＋bi（a，b∈R）是由其实部a与虚部b唯一确定，若a＋bi＝2＋3i，那么a，b的值分别是什么？
【知识梳理】
复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di 　　　　　　.特别地，a＋bi＝0 　　　　　.
【例3】　（1）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值；
（2）已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值.
【规律方法】
复数相等问题的解题技巧
（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；
（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
训练3　（1）若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝a＋bi的虚部为（　　）
A.－i B.－1
C.2i D.2
（2）已知复数z1＝2－ai，z2＝b－1＋2i（a，b∈R，i为虚数单位），且z1＝z2，则（　　）
A.a＝－1，b＝1 B.a＝2，b＝－3
C.a＝2，b＝3 D.a＝－2，b＝3
1.设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（　　）
A.－1 B.1
C.5 D.7
2.设a∈R，1＋a2i＝a＋i（i为虚数单位），则a＝（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.1或－1
3.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（　　）
A.A B C B.B A C
C.B C A D.A C B
4.当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i（m∈R）是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
1.理清单 （1）复数的概念及分类； （2）复数相等的充要条件. 2.应体会 在解决复数问题时，一般根据实部、虚部列出有关方程（组）求解，体现了方程思想的运用. 3.避易错 复数z＝a＋bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0.
提示：完成课后作业　第七章　7.1　7.1.1
1 / 17.1.1　数系的扩充和复数的概念
课标要求 情境导入
1.通过方程的解，了解引进复数的必要性（数学抽象）. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件（逻辑推理）. 　　16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“5＋和5－”就可以满足要求.能作为“数”吗？它真的是无意义的、虚幻的吗？
　　
知识点一｜复数的有关概念
问题1　（1）正实数的平方根有两个，0的平方根是0，负实数有平方根吗？
提示：在实数范围内，负实数无平方根.
（2）我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
提示：能，我们设想引入一个新数i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x＝±i.
【知识梳理】
1.定义：我们把形如　a＋bi　（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，　全体复数　所构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫做复数集.
2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的　实部　与　虚部　.
　　提醒：（1）i2＝－1；（2）i和实数之间能进行加法、乘法运算.
【例1】　已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a＝（　　）
A.－3 B.3
C.－1 D.1
解析：C　复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1.
【规律方法】
若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
训练1　已知复数x＋y＋（2－x）i的实部和虚部分别为3和4，则实数x和y的值分别是（　　）
A.2，－4 B.2，5
C.－2，4 D.－2，5
解析：D　由复数x＋y＋（2－x）i的实部和虚部分别为3和4，x，y∈R，可得解得故选D.
知识点二｜复数的分类
问题2　（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以是实数吗？需满足什么条件？
提示：可以是实数.当b＝0时，z＝a＋bi（a，b∈R）为实数.
（2）如何利用集合关系表示实数集R和复数集C？
提示：R C.
【知识梳理】
1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下：
复数
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系.
　　提醒：（1）两个虚数不能比较大小；（2）a＝0是复数z＝a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的必要不充分条件.
【例2】　（链接教材P69例1）当实数m取什么值时，复数z＝＋（m2－2m）i是下列数？
（1）实数；
解：（1）当即m＝2时，复数z是实数.
（2）虚数；
解：（2）当即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.
（3）纯虚数.
解：（3）当即m＝－3时，复数z是纯虚数.
【规律方法】
解决复数分类问题的方法（步骤）
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部；
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可；
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）：①z为实数 b＝0；②z为虚数 b≠0；③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
训练2　（1）若复数z＝（x2－100）＋（x－10）i为纯虚数，则实数x＝（　A　）
A.－10 B.10
C.100 D.－10或10
解析：（1）∵z为纯虚数，∴x2－100＝0同时x－10≠0，∴x＝－10.故选A.
（2）若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值为　－3　.
解析：（2）∵z＜0，∴解得m＝－3.
知识点三｜复数相等
问题3　复数z＝a＋bi（a，b∈R）是由其实部a与虚部b唯一确定，若a＋bi＝2＋3i，那么a，b的值分别是什么？
提示：a＝2，b＝3.
【知识梳理】
复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di 　a＝c且b＝d　.特别地，a＋bi＝0 　a＝b＝0　.
【例3】　（1）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值；
解：（1）由已知得
解得m＝－2.
（2）已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值.
解：（2）因为x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R，
依题意，得
解得或
【规律方法】
复数相等问题的解题技巧
（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；
（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
训练3　（1）若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝a＋bi的虚部为（　D　）
A.－i B.－1
C.2i D.2
解析：（1）因为2＋ai＝b－i，a，b∈R，所以a＝－1，b＝2，故复数z＝a＋bi＝－1＋2i，其虚部为2.故选D.
（2）已知复数z1＝2－ai，z2＝b－1＋2i（a，b∈R，i为虚数单位），且z1＝z2，则（　D　）
A.a＝－1，b＝1 B.a＝2，b＝－3
C.a＝2，b＝3 D.a＝－2，b＝3
解析：（2）因为z1＝z2，所以2－ai＝b－1＋2i（a，b∈R），所以解得故选D.
1.设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（　　）
A.－1 B.1
C.5 D.7
解析：A　由z＝3－4i知实部为3，虚部为－4，故实部与虚部的和为－1.故选A.
2.设a∈R，1＋a2i＝a＋i（i为虚数单位），则a＝（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.1或－1
解析：C　因为a∈R，1＋a2i＝a＋i，所以有1＝a，a2＝1，即a＝1.故选C.
3.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（　　）
A.A B C B.B A C
C.B C A D.A C B
解析：B　根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数，因此只有B正确.故选B.
4.当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i（m∈R）是下列数？
（1）实数；
解：（1）若z是实数，则m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
（2）虚数；
解：（2）若z是虚数，则m2－m－2≠0，解得m≠2且m≠－1.
（3）纯虚数.
解：（3）若z是纯虚数，则解得m＝－3.
课堂小结
1.理清单 （1）复数的概念及分类； （2）复数相等的充要条件. 2.应体会 在解决复数问题时，一般根据实部、虚部列出有关方程（组）求解，体现了方程思想的运用. 3.避易错 复数z＝a＋bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0.
1.若z＝a＋（a2－1）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则a的值为（　　）
A.0 B.1
C.－1 D.1或－1
解析：D　若z＝a＋（a2－1）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则a2－1＝0，所以a＝±1.
2.已知2－ai＝b＋3i（a，b∈R）（i为虚数单位），则a＋b＝（　　）
A.5 B.6
C.1 D.－1
解析：D　依题意b＝2且3＝－a，则a＋b＝－1.
3.以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是（　　）
A.2－2i B.－＋i
C.2＋i D.＋i
解析：A　由题意知，复数－＋2i的虚部为2，复数i＋2i2＝i＋2×（－1）＝－2＋i的实部为－2，则所求的新复数是2－2i.
4.若z1＝（m2＋m＋1）＋（m－4）i，z2＝3－3i，则“m＝1”是“z1＝z2”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：C　若z1＝z2，则解得m＝1.“所以m＝1”是“z1＝z2”的充要条件.
5.〔多选〕对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），下列说法中错误的是（　　）
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若z＝3－2i，则a＝3，b＝2
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.若a＝b＝0，则z不是复数
解析：ABD　对于A，当且仅当a＝0，b≠0时，a＋bi为纯虚数，故A中说法错误；对于B，若z＝3－2i，则a＝3，b＝－2，故B中说法错误；对于C，若b＝0，则a＋bi为实数，故C中说法正确；对于D，若a＝b＝0，则z＝0是复数，故D中说法错误.故选A、B、D.
6.〔多选〕下列命题为真命题的是（　　）
A.复数集是实数集与纯虚数集的并集
B.x＝i是方程x2＋1＝0的解
C.已知复数z1，z2，若z1＞z2，则z1－z2＞0
D.i是－1的一个平方根
解析：BCD　复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；当x＝i时，x2＋1＝0，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1＞z2，说明z1，z2都是实数，显然有z1－z2＞0，C为真命题；根据虚数单位i的定义，D为真命题.故选B、C、D.
7.若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝　2＋i　.
解析：由xi－i2＝y＋2i可得1＋xi＝y＋2i，则所以x＋yi＝2＋i.
8.若复数z＝m＋（m2－1）i（m∈R）满足z＜0，则m＝　－1　.
解析：由复数z＝m＋（m2－1）i＜0，得解得m＝－1.
9.若复数z＝sin 2α－（1－cos 2α）i是纯虚数，则α＝　kπ＋（k∈Z）　.
解析：由题意知sin 2α＝0，1－cos 2α≠0，∴2α＝2kπ＋π（k∈Z），∴α＝kπ＋（k∈Z）.
10.分别求满足下列条件的实数x，y的值.
（1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i；
（2）＋（x2－2x－3）i＝0.
解：（1）因为x，y∈R，所以由复数相等的充要条件得解得
（2）因为x∈R，所以由复数相等的充要条件得即所以x＝3.
11.已知复数z＝a2＋（2a＋3）i（a∈R）的实部大于虚部，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－1，3）
B.（－∞，－1）∪（3，＋∞）
C.（－3，1）
D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）
解析：B　由已知可得a2＞2a＋3，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－1，因此，实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
12.已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z＝（　　）
A.3＋i B.3－i
C.－3－i D.－3＋i
解析：B　由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即解得∴z＝3－i.
13.已知M＝{1，（m2－2m）＋（m2＋m－2）i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，则m＝　1或2　.
解析：∵M∪P＝P，∴M P，∴（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝－1或（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝4i.由（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝－1得解得m＝1；由（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝4i得解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.
14.当实数m为何值时，复数z＝＋（m2＋m－6）i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
解：（1）若z是实数，则解得m＝2，
所以当m＝2时，z是实数.
（2）若z是虚数，则解得m≠2且m≠－3，
所以当m≠2且m≠－3时，z是虚数.
（3）若z是纯虚数，则解得m＝3或m＝4，
所以当m＝3或m＝4时，z是纯虚数.
15.已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.
（1）若z1为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
解：（1）∵z1为纯虚数，∴解得m＝－2.
（2）由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝（sin θ－1）2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2，6].
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