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10.1.2　事件的关系和运算
课标要求 情境导入
了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算（数学抽象、数学建模）. 　　上一节课我们学习了用集合来表示样本空间，事件则被定义为样本空间的一个子集.我们知道，集合之间有确定的关系，可进行交、并、补等运算，那么用集合表示的事件之间是否也有这些情况呢？
　　
知识点一｜事件的关系
问题1　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：
Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6；
D1＝“点数小于3”；D2＝“点数不小于3”；
E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；
F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”；
……
用集合的形式表示事件C1＝“点数为1”和事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现两事件之间的联系吗？事件D1与E1呢？
提示：G＝{1，3，5}，{1} {1，3，5}，即C1 G.D1＝{1，2}，E1＝{1，2}，即D1＝E1.
【知识梳理】
定义 符号表示 图形表示
包含 关系 一般地，若事件A发生，则事件B　一定发生　，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） B　 　A （或A　 　B）
相等 关系 如果事件B　包含　事件A，事件A　也包含　事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等 A　＝　B
【例1】　在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A＝“出现1点”；B＝“出现2点”；C＝“出现3点”；D＝“出现4点”；E＝“出现5点”；F＝“出现6点”；G＝“出现的点数不大于1”；H＝“出现的点数小于5”；I＝“出现奇数点”；J＝“出现偶数点”.
请判断下列两个事件的关系：
（1）B　 　H；（2）D　 　J；（3）E　 　I；（4）A　＝　G.
解析：因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B H；同理D J，E I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.
【规律方法】
判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.
训练1　掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A＝“3次正面向上”，B＝“只有1次正面向上”，C＝“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系.
解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A C，B C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系.
综上，事件A，B，C之间的包含关系为A C，B C.
知识点二｜事件的运算
问题2　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数：
（1）用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”，事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示：D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}.{1，2}∪{2，3}＝{1，2，3}，即E1∪E2＝D1.
（2）事件C2＝“点数为2”，事件E1＝“点数为1或2”，事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示：C2＝{2}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}，{1，2}∩{2，3}＝{2}，即E1∩E2＝C2.
【知识梳理】
定义 符号表示 图形表示
并事件 （或和事件） 一般地，事件A与事件B　至少　有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） A　∪　B （或A　＋　B）
交事件 （或积事件） 一般地，事件A与事件B　同时　发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） A　∩　B （或AB）
　　提醒：对于三个事件A，B，C，至少有一个发生可表示为A∪B∪C（或A＋B＋C）；同时发生可表示为A∩B∩C（或ABC）.
【例2】　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”.
求：（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？
解：（1）对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
解：（2）对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
变式　在本例中，设事件E＝“3个红球”，事件F＝“3个球中至少有一个白球”，那么事件C与B，E分别是什么关系？C与F的交事件是什么事件？
解：由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球三种情况，故B C，E C.而事件F包括的可能结果有1个白球、2个红球或2个白球、1个红球或3个白球，所以C∩F＝D.
【规律方法】
事件间的运算方法
（1）利用事件间运算的定义：列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算；
（2）利用Venn图：借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
训练2　（1）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示（　B　）
A.全部击中 B.至少击中1发
C.至少击中2发 D.以上均不正确
解析：（1）A＝A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B.
（2）在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察掷出的点数”中，事件M表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件N表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”，用（i，j）表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则事件M∩N＝（　D　）
A.{（6，6）}
B.{（4，6），（6，6）}
C.{（5，6），（6，6）}
D.{（4，6），（6，4），（6，6）}
解析：（2）根据题意，事件M＝{（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）}，事件N＝{（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6）}，所以事件M∩N＝{（4，6），（6，4），（6，6）}.
知识点三｜互斥事件与对立事件
问题3　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数：
（1）用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”和事件C4＝“点数为4”，借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示：C3＝{3}，C4＝{4}，C3∩C4＝ .
（2）用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示：F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}.F∪G＝Ω，F∩G＝ .
【知识梳理】
1.互斥事件
定义 一般地，如果事件A与事件B　不能同时　发生，也就是说A∩B是一个　不可能　事件，即A∩B＝　 　，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）
含义 A与B不能同时发生
符号表示 A∩B＝
图形表示
2.对立事件
定义 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中　有且仅有一个　发生，即A∪B＝　Ω　，且A∩B＝ ，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为　　
含义 A与B　有且仅有一个　发生
符号表示 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
图形表示
　　提醒：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立.
【例3】　（1）一个人连续射击目标2次，则下列选项中与“至少有一次击中”互为对立事件的是（　D　）
A.两次均击中 B.恰有一次击中
C.第一次击中 D.两次均未击中
解析：（1）事件“至少有一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中”，与“两次均未击中”互为对立事件，因此D正确.
（2）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（　D　）
A.“至少有1个红球”与“都是黑球”
B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D.“都是红球”与“都是黑球”
解析：（2）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果有以下三种：1红1黑、2红、2黑.“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，与“都是黑球”是对立事件，因此A不满足题意；“恰好有1个红球”和“恰好有1个黑球，是同一个事件，因此B不满足题意；“至少有1个黑球”包括1红1黑、2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，因此C不满足题意；“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，因此D满足题意.
【规律方法】
辨析互斥事件与对立事件的思路
（1）从发生的角度看：①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生；
（2）从事件个数的角度看：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.
训练3　（1）一次试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（　C　）
A.互斥不对立 B.对立不互斥
C.互斥且对立 D.不互斥也不对立
解析：（1）必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立.
（2）如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，则下列说法正确的是（　B　）
A.A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
解析：（2）用Venn图解决此类问题较为直观，
如图所示，∪是必然事件，则B正确，A、C错误.若A与B互斥且对立，则＝B，＝A，则D错误.
1.掷一枚骰子，设事件A＝“出现的点数不小于5”，B＝“出现的点数为偶数”，则事件A与事件B的关系是（　　）
A.A B
B.A∩B＝“出现的点数为6”
C.事件A与B互斥
D.事件A与B对立
解析：B　由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝“出现的点数为6”.
2.若干人站成一排，其中为互斥事件的是（　　）
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙站排尾”
C.“甲站排头”与“乙不站排头”
D.“甲不站排头”与“乙不站排头”
解析：A　根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件.
3.掷一颗骰子，若事件A：出现奇数点，则A的对立事件为　出现偶数点　.
解析：掷一颗骰子，事件A：出现奇数点，则A的对立事件为出现偶数点.
4.甲、乙两人破译同一个密码，记甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则B∪A表示的含义是　只有一人破译出密码　，事件“密码被破译”可表示为　B∪A∪AB　.
课堂小结
1.理清单 （1）事件的包含关系与相等关系； （2）并事件和交事件； （3）互斥事件和对立事件. 2.应体会 列举法、Venn图法. 3.避易错 互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.
1.一个射手进行一次射击，事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数大于5，则（　　）
A.A与B是互斥事件 B.A与B是对立事件
C.A B D.A B
解析：C　事件A：命中环数大于8即命中9或10环；事件B：命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环，所以A B.故选C.
2.从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是（　　）
A.至多有一件次品 B.两件全是正品
C.两件全是次品 D.至多有一件正品
解析：B　从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是两件全是正品.
3.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A表示“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（　　）
A.所取的3个球中至少有一个白球
B.所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球
C.所取的3个球都是黑球
D.所取的3个球中恰有1个白球、2个黑球
解析：B　从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，事件A的对立事件是所取的3个球中白球多于1个，结合选项知事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球.
4.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，记“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点个数分别为（　　）
A.1，6 B.4，2
C.5，1 D.6，1
解析：C　从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，其中事件A包含的样本点有（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，事件B包含的样本点有（1，3），（2，4），共2个.所以事件A＋B包含的样本点有（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个.事件AB包含的样本点有（2，4），共1个.故选C.
5.设A，B为随机事件，则下列阴影部分表示事件∩B的是（　　）
解析：B　对于A，阴影部分表示A∩，故A错误；对于B，阴影部分表示∩B，故B正确；对于C，阴影部分表示A∪B，故C错误；对于D，阴影部分表示（A∩）∪（∩B），故D错误.
6.〔多选〕从一批既有正品也有次品的产品中取出三件产品，记事件A：全不是次品，事件B：全是次品，事件C：有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（　　）
A.A与C互斥 B.B与C互斥
C.任何两个事件都互斥 D.A与B对立
解析：ABC　由题意，事件A：全不是次品，即三件产品都是正品，事件B：全是次品，事件C：有次品，但不全是次品，包括一件次品两件正品，两件次品一件正品，共两个样本点，所以事件A与C互斥，B与C互斥，A与B互斥，即任何两个事件都互斥，故A、B、C都正确；A与B互斥，由于样本空间中还包括一件次品两件正品，两件次品一件正品两个样本点，所以事件A与B不对立，故D错误.
7.〔多选〕对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，事件B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系正确的是（　　）
A.A∩D≠ B.B∩D＝
C.A∪B＝B∪D D.A∪C＝D
解析：ABD　由题意得，事件C＝“第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中”，事件D＝“恰有一枚击中或两枚都击中”.对于A，由事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得A∩D＝A，A正确；对于B，由事件B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得事件B与事件D是互斥事件，所以B∩D＝ ，B正确；对于C，由事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得A∪B不是必然事件，B∪D为必然事件，所以A∪B≠B∪D，C不正确；对于D，事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得A∪C＝D，D正确.故选A、B、D.
8.甲、乙两个元件构成一串联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障”，则表示电路有故障的事件为　E∪F　；表示电路无故障的事件为　∩　.
解析：因为该电路为两个电子元件串联，如图所示，
由题意知＝“甲元件无故障”，＝“乙元件无故障”，则表示电路有故障的事件为E∪F，表示电路无故障的事件为∩.
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2和4的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是　A与C　.
10.抛掷一枚质地均匀的硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
（1）试判断事件A与事件B，C，E的关系；
（2）试求A∩D，B∪C所包含的样本点，并判断A∩D与B∪C的关系.
解：（1）事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个样本点，
所以B A，C A，E A，A＝B∪C∪E.
（2）“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个样本点，可以看出事件A与事件D有相同的两个样本点，即“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”，故A∩D＝{一次正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，B∪C＝{一次正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，所以A∩D＝B∪C.
11.盒子内有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是（　　）
A.“至少有1个白球”和“至多有1个白球”
B.“至少有1个白球”和“至少有1个红球”
C.“至少有1个白球”和“没有白球”
D.“至少有1个白球”和“红球、黑球各1个”
解析：D　当取出的2个球是1白1红时，A中两个事件同时发生，所以A中的两个事件不是互斥事件，此时B也一样，所以排除A、B；C中，两个事件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是互斥且对立事件，所以排除C；D中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以D中的两个事件是互斥事件但不是对立事件.
12.〔多选〕从1，2，3，…，9中任取两个数，其中不是对立事件的是（　　）
A.恰有一个偶数和恰有一个奇数 B.至少有一个偶数和两个都是偶数
C.至少有一个奇数和两个都是偶数 D.至少有一个奇数和至少有一个偶数
解析：ABD　根据题意，从1，2，3，…，9中任取两个数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”，共三种情况，依次分析所给的4个事件.对于A，恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”的情况，不是对立事件；对于B，至少有一个偶数包括“两个偶数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个都是偶数”不是对立事件；对于C，至少有一个奇数包括“两个奇数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个都是偶数”是对立事件；对于D，至少有一个奇数包括“两个奇数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件.
13.（2025·丽水月考）如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝　B∩（C∪D）（或（BC）∪（BD））　.（用B，C，D间的运算关系式表示）
解析：要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”，用关系式表示为B∩（C∪D）.也可分类讨论，即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合，即事件BC发生或事件BD发生，用关系式表示为（BC）∪（BD）.
14.有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A＝“只订甲报”，事件B＝“只订乙报”，事件C＝“至少订一种报纸”，事件D＝“至多订一种报纸”，事件E＝“一种报纸也没订”，事件F＝“两种报纸都订”.根据上述事件回答下列问题：
（1）请列举出具有包含关系的事件；
（2）用并事件的定义判断上述事件中哪些是并事件；
（3）从上述事件中找出成对的互斥事件和对立事件.
解：（1）“至少订一种报纸”包含“只订甲报”，即A C.
同理，B C，F C，A D，B D，E D.
（2）由题意及事件的相互关系可知，C＝A∪B∪F，D＝A∪B∪E.
（3）由互斥事件及对立事件的定义知，互斥事件有A和B，A和E，A和F，B和E，B和F，E和F，D和F，C和E；对立事件有C和E，D和F.
15.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生.
（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
（2）用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.
解：（1）区域1表示事件“这名学生同时订阅了数学、语文、英语三种学习资料”；区域4表示事件“这名学生订阅了数学、语文两种学习资料，但没有订阅英语学习资料”；区域5表示事件“这名学生仅订阅了语文学习资料”；区域8表示事件“这名学生没有订阅数学、语文、英语学习资料”.
（2）①A∪B∪C.
②A＋B＋C.
③.
1 / 110.1.2　事件的关系和运算
1.一个射手进行一次射击，事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数大于5，则（　　）
A.A与B是互斥事件 B.A与B是对立事件
C.A B D.A B
2.从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是（　　）
A.至多有一件次品 B.两件全是正品
C.两件全是次品 D.至多有一件正品
3.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A表示“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（　　）
A.所取的3个球中至少有一个白球
B.所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球
C.所取的3个球都是黑球
D.所取的3个球中恰有1个白球、2个黑球
4.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，记“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点个数分别为（　　）
A.1，6 B.4，2
C.5，1 D.6，1
5.设A，B为随机事件，则下列阴影部分表示事件∩B的是（　　）
6.〔多选〕从一批既有正品也有次品的产品中取出三件产品，记事件A：全不是次品，事件B：全是次品，事件C：有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（　　）
A.A与C互斥 B.B与C互斥
C.任何两个事件都互斥 D.A与B对立
7.〔多选〕对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，事件B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系正确的是（　　）
A.A∩D≠ B.B∩D＝
C.A∪B＝B∪D D.A∪C＝D
8.甲、乙两个元件构成一串联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障”，则表示电路有故障的事件为　　　　　；表示电路无故障的事件为　　　　.
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2和4的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是　　　　.
10.抛掷一枚质地均匀的硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
（1）试判断事件A与事件B，C，E的关系；
（2）试求A∩D，B∪C所包含的样本点，并判断A∩D与B∪C的关系.
11.盒子内有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是（　　）
A.“至少有1个白球”和“至多有1个白球”
B.“至少有1个白球”和“至少有1个红球”
C.“至少有1个白球”和“没有白球”
D.“至少有1个白球”和“红球、黑球各1个”
12.〔多选〕从1，2，3，…，9中任取两个数，其中不是对立事件的是（　　）
A.恰有一个偶数和恰有一个奇数 B.至少有一个偶数和两个都是偶数
C.至少有一个奇数和两个都是偶数 D.至少有一个奇数和至少有一个偶数
13.（2025·丽水月考）如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝　　　　.（用B，C，D间的运算关系式表示）
14.有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A＝“只订甲报”，事件B＝“只订乙报”，事件C＝“至少订一种报纸”，事件D＝“至多订一种报纸”，事件E＝“一种报纸也没订”，事件F＝“两种报纸都订”.根据上述事件回答下列问题：
（1）请列举出具有包含关系的事件；
（2）用并事件的定义判断上述事件中哪些是并事件；
（3）从上述事件中找出成对的互斥事件和对立事件.
15.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生.
（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
（2）用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.
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