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压轴大题——练思维
压轴大题练1(函数＋解析几何创新)
(本小题满分17分)已知以下事实：反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
(1)①直接写出函数y＝的图象C0的实轴长；
②将曲线C0绕原点顺时针转，得到曲线C，直接写出曲线C的方程；
(2)已知点A是曲线C的左顶点，圆E：(x－1)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)与直线l：x＝1交于P，Q两点(P在Q上方)，直线AP，AQ分别与双曲线C交于M，N两点．试问：点A到直线MN的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时r的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
压轴大题——练思维
压轴大题练1
解：(1)①由题意可知，双曲线y＝的实轴在直线y＝x上，(点拨：利用双曲线的对称性)(2分)
联立
解得或
即双曲线y＝的两顶点为(，)，(－，－)，(4分)
故实轴长为
2a＝＝2. (5分)
②将曲线C0绕原点顺时针转，得到曲线C，
曲线C的方程为x2－y2＝1.(提醒：旋转后双曲线位于标准位置且渐近线变为y＝±x，所以该双曲线为等轴双曲线)(7分)
(2)方法一：由题意得A(－1，0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线MN的斜率存在，(提醒：分析出直线的斜率是存在的，避免了讨论)(8分)
设直线MN：y＝kx＋m，
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联立得(1－k2)x2－2kmx－(m2＋1)＝0，
所以Δ＝4(m2＋1－k2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝－，①(10分)
因为直线MA：y＝(x＋1)，令x＝1，
则yP＝，同理，yQ＝，②
依题意得yP＋yQ＝2，③(题眼：利用圆心E为线段PQ的中点)
由①②③得，－2k＋2m＝－m2＋2km－k2，
所以(m－k)(m－k＋2)＝0，即m＝k或m＝k－2，(关键一步：给出参数m，k的关系，为研究直线过定点提供理论基础)(12分)
若m＝k，则直线MN：y＝k(x＋1)过点A，不合题意；(13分)
若m＝k－2，则直线MN：y＝k(x＋1)－2.
所以直线MN恒过G(－1，－2)，(重要结论)(14分)
所以dmax＝|AG|＝2(d为点A到直线MN的距离)．(15分)
当且仅当MN⊥AG，即k＝0时取得，
此时直线MN方程为y＝－2，结合x2－y2＝1，
解得N(，－2)，yQ＝－(－1)，r＝1－yQ＝，(16分)
综上所述，点A到直线MN的距离存在最大值，最大值为2，此时圆E的半径为.(注意：解答题的规范性，必须总结)(17分)
方法二：由题意得A(－1，0)，P(1，1＋r)，Q(1，1－r)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则直线AP：x＝y－1，
直线AQ：x＝y－1，(8分)
联立得y2－y＝0，
yA＝0为此方程的一根，另外一根为y1，则y1＝，(点拨：如果一根已知，利用根与系数的关系很容易求另一个根)
代入直线AP的方程得，x1＝－1，(10分)
同理可得y2＝，x2＝－1，(注意“同理”的应用，简化了计算)(11分)
即M(－1，)，
N(－1，)，
则kMN＝＝，(12分)
所以直线MN的方程为
y＝＋＝(x＋1)－2，(13分)
所以直线MN过定点G(－1，－2)，(重要结论)(14分)
所以dmax＝|AG|＝2(d为点A到直线MN的距离).(15分)
当且仅当MN⊥AG，即kMN＝＝0时取得，
解得r＝，(16分)
综上所述，点A到直线MN的距离存在最大值，最大值为2，此时圆E的半径为.(注意：解答题的规范性，必须总结)(17分)
方法三：由题意得A(－1，0)，P(1，1＋r)，Q(1，1－r)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则kAP＋kAQ＝＋＝1，(8分)
(本方法所用重要结论，提纲挈领，为解决问题指明方向)
依题意，直线MN不过点A，可设直线MN：m(x＋1)＋ny＝1，(9分)
(设法巧妙，后续显示该设法的巧妙之处，但该法不是常规方法)
曲线C的方程x2－y2＝1改写为[(x＋1)－1]2－y2＝1，
即(x＋1)2－2(x＋1)－y2＝0，
联立直线MN的方程得(x＋1)2－2(x＋1)[m(x＋1)＋ny]－y2＝0，(“1”的整体代换，关键步骤，感觉是神来之笔)
所以(1－2m)(x＋1)2－2n(x＋1)y－y2＝0，(10分)
若x＝－1，则y＝0，代入直线MN方程，无解；(11分)
故x≠－1，两边同时除以(x＋1)2得()2＋2n·＋2m－1＝0，(12分)
(分类讨论，构造关于斜率的一元二次方程)
则Δ＝4n2－8m＋4＞0，＋＝kAP＋kAQ＝－2n＝1得n＝－，(13分)
在直线MN：m(x＋1)－y＝1中，
令x＝－1，则y＝－2，
所以直线MN恒过G(－1，－2)，(重要结论)(14分)
所以dmax＝|AG|＝2(d为点A到直线MN的距离)，(15分)
当且仅当MN⊥AG，即kMN＝0，所以m＝0时取得，此时Δ＝1－0＋4＞0，符合题意，
且直线MN方程为y＝－2，解得N(，－2)，yQ＝－(－1)，r＝1－yQ＝，(16分)
综上所述，点A到直线MN的距离存在最大值，最大值为2，此时圆E的半径为.(注意：解答题的规范性，必须总结)(17分)

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