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压轴大题练2(概率＋数列创新)
(本小题满分17分)某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n. 辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的，挑战的具体规则如下：
①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；
②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战；
③若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第i轮挑战失败，由第i＋1号同学继续挑战；
④若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该同学答第二题，若该同学在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功，挑战在第i轮结束；若该同学在四分钟内未答对第二题，则也认为第i轮挑战失败，由第i＋1号同学继续挑战；
⑤若挑战进行到了第n轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战．
令随机变量Xn表示n名挑战者在第Xn(Xn＝1，2，3，…，n)轮结束．
(1)求随机变量X4的分布列；
(2)若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答．
令随机变量Yn表示n名挑战者在第Yn(Yn＝1，2，3，…，n)轮结束．
(ⅰ)求随机变量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列；
(ⅱ)证明：E(Y2)＜E(Y3)＜E(Y4)＜E(Y5)＜…＜E(Yn)＜3.
压轴大题练2
解：(1)P(X4＝k)＝(1－×)k－1×(k＝1，2，3)，
P(X4＝4)＝()3, (2分)
(点拨：理解随机变量X4表示4名挑战者在第X4轮结束，其中X4＝1，2，3，4，特别注意的是X4＝4意味着前三轮挑战均失败)
因此X4的分布列为
X4 1 2 3 4
P
(提醒：分布列须以表格形式展现)(3分)
(2)(ⅰ)Yn＝k(1≤k≤n－1，k∈N*)时，第k人必答对第二题，
若前面k－1人都没有一人答对第一题，其概率为p′k＝()k＋1，(4分)
若前面k－1人有一人答对第一题，其概率为p″k＝C()k＋1＝(k－1)·()k＋1，(5分)
(点拨：无论前面k－1人中哪一人答对第一题，以后的挑战者均答第二题，且只有第k人答对)
故P(Yn＝k)＝p′k＋p″k＝k()k＋1.(6分)
当Yn＝n时，(易错警示：对于第n轮，不管第n号同学答对与否，下轮不再安排同学挑战，故要单独考虑)
若前面n－1人都没有一人答对第一题，其概率为p′n＝()n－1，(7分)
若前面n－1人有一人答对第一题，其概率为p″n＝(n－1)()n，(8分)
故P(Yn＝n)＝p′n＋p″n＝(n＋1)·()n.(9分)
Yn的分布列为
Yn 1 2 3 … n－1 n
P ()2 2×
()3 3×
()4 … (n－1)·
()n (n＋1)·
()n
(10分)
(ⅱ)证明：E(Yn)＝2()k＋1＋n(n＋1)()n(n∈N*，n≥2).(11分)
E(Yn)－E(Yn－1)＝(n－1)2()n＋n(n＋1)()n－n(n－1)()n－1
＝(n＋1)()n＞0，
(点拨：作差法比较大小)
故E(Y2)＜E(Y3)＜E(Y4)＜E(Y5)＜…＜E(Yn)，(13分)
求得E(Y2)＝，
故E(Yn)＝E(Y2)＋[E(Y3)－E(Y2)]＋[E(Y4)－E(Y3)]＋…＋[E(Yn)－E(Yn－1)]，(14分)
(难点突破：迭代法，转化为我们熟悉的数列问题，为求和做准备，神来之笔)
所以E(Yn)＝＋4×()3＋5×()4＋…＋n()n－1＋(n＋1)·()n，①
2E(Yn)＝＋4×()2＋5×()3＋6×()4＋…＋(n＋1)()n－1，②(提醒：两边同乘也可以)
②－①，E(Yn)＜＋1＋()3＋()4＋…＋()n－1＜＋1＋＝3.(提醒：两次放缩法)(16分)
故E(Y2)＜E(Y3)＜E(Y4)＜E(Y5)＜…＜E(Yn)＜3.(17分)

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