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压轴大题练4(立体几何＋计数原理＋集合创新)
(本小题满分17分)已知n≥4且n∈N*，设S是空间中n个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上，dAB表示点A与点B之间的距离，记集合τ(S)＝{dAB| A，B∈S，A≠B}．
(1)若四面体ABCD满足：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1.
①求二面角C AD B的余弦值；
②若S＝{A，B，C，D}，求τ(S).
(2)证明：4card(τ(S))≥n－1.
参考公式：x＋x＋…＋x≥(x1＋x2＋…＋xn)2.
参考答案与解析
压轴大题练4
解：(1)以C为原点，建立空间直角坐标系，(点拨：合理建立坐标系是用向量法解决几何问题的关键)(1分)
如图，
则C(0，0，0)，D(1，0，0)，B(0，1，0)，A(0，1，1)，　
＝(0，1，1)，＝(1，0，0)，＝(－1，1，0)，＝(－1，1，1)，(2分)
①设平面CAD的法向量m＝(x，y，z)，
则即
取m＝(0，1，－1)，(3分)
设平面BAD的法向量n＝(a，b，c)，
则即
取n＝(1，1，0)，(4分)
所以cos 〈m，n〉＝＝＝，(5分)
根据图形可知二面角C AD B为锐二面角，即二面角C AD B的余弦值为.(易错警示：借助于图形，须把向量夹角转化为相应二面角)(6分)
②AB＝BC＝CD＝1，BD＝AC＝，AD＝，所以τ(S)＝{1，，}．
(题眼：根据概念τ(S)，结合集合元素的互异性，给出答案)(8分)
(2)证明：设card(τ(S))＝k，τ(S)＝{d1，d2，…，dk}，下证k≥，(9分)
设S中任意不同的两点的C个距离中，距离等于di的有xi个，i＝1，2，…，k，
则C＝x1＋x2＋…＋xk，(10分)
记S中n个不同点分别为A1，A2，…，An，设到点Aj的距离等于di的点的个数为xij(i＝1，2，…，k；j＝1，2，…，n)，(点拨：理解抽象符号含义是关键)
则xi1＋xi2＋…＋xin＝2xi(i＝1，2，…，k)，
所以(x11＋x12＋…＋x1n)＋(x21＋x22＋…＋x2n)＋…＋(xk1＋xk2＋…＋xkn)＝ij＝2C，(12分)
考虑由S中的点构成的满足dAB＝dAC的点组(A，B，C)的个数N(S)，一方面，当A取Aj(j＝1，2，…，n)时，这样的点组有C2xij个，故有N(S)＝C2xij，(13分)
另一方面，因为S中任意四个点不共面，(题眼)所以对任意(B，C)，点A的选取至多有3种，故有N(S)≤3C，(*)(关键一步)(14分)
所以N(S)＝C2xij＝C2xij
＝(x－xij)＝－C(点拨：此处有些抽象，利用了连加符号∑的有关性质)
≥－C＝－C≥(i)2－C＝(C)2－C，(16分)
结合(*)得C≤4 k≥，
即4card(τ(S))≥n－1.(17分)

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