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高频易错题型专练
第五章 三角形（2）
题型一：特殊三角形
1.（2025·资阳中考）如图，在四边形 ABCD中，∠A＝∠B，点 E在线段 AB上，CE∥DA. 若
使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是 .
答案：∠B＝60°（答案不唯一，也可添加 BC＝BE、∠BCE＝60°等条件）
解析：因为 CE∥DA，所以∠A＝∠CEB，又∠A＝∠B，故∠CEB＝∠B，即△BCE为等腰三
角形。根据等边三角形判定定理，有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形，因此添加∠B
＝60°可使△BCE成为等边三角形；同理，添加 BC＝BE或∠BCE＝60°，也可通过等腰三角形
性质推导出△BCE为等边三角形。
2.（2025·内江中考）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度
数为 .
答案：100°
解析：设∠ACB＝x ，则∠ACD＝(x+40) 。
因为 AE＝AC，所以∠AEC＝∠ACE＝(x+40) ，
根据三角形内角和，∠A＝180 2(x+40) =100 2x ；
因为 BC＝BD，所以∠BDC＝∠BCD＝x ，同理∠B＝(180 2x )。
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
代入得：(100 2x)+(180 2x)+x=180，解得 x=100，即∠ACB＝100°。
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题型二：相似三角形
3.（2025·内江中考）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现
了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随
处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙
所示，动力臂 OA＝150 cm，阻力臂 OB＝50 cm，BD＝20 cm，则 AC的长度是（ ）
A. 80 cm B. 60 cm C. 50 cm D. 40 cm
甲 乙
答案：B
AC OA
解析：根据杠杆原理和相似三角形性质，△AOC∽△BOD，因此对应边成比例： = 。BD OB
AC 150
代入数据得 =20 50 ，解得 AC＝60 cm。
4.（2025·镇江中考）如图，小杰从灯杆 AB的底部点 B处沿水平直线前进到达点 C处，他在
灯光下的影长 CD＝3米，然后他转身按原路返回到点 B处，返回过程中小杰在灯光下的影长
可以是（ ）
A. 4.5米 B. 4米 C. 3.5米 D. 2.5米
答案：D 解析：设小杰身高为 h，灯杆高度为 H，BC＝x米。
h CD 3
当小杰在 C处时，由相似三角形得 = =H BD ；x+3
h y
返回时设影长为 y，小杰距 B点 m米（03 y 3m
联立得 = ，化简得 y= 。因为 mx+3 y+m x 选项中只有 2.5米符合条件。
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题型三：解直角三角形
5.（2025·广州黄埔区一模）如图，在塔前的平地上选择一点 A，由点 A看塔顶的仰角是α，在
点 A和塔之间选择一点 B，由点 B看塔顶的仰角是β.若测量者的眼睛距离地面的高度为 1.5 m，
AB＝9 m，α＝45°，β＝50°，则塔的高度大约为（ ）
（参考数据： sin 50°≈0.8，tan 50°≈1.2）
A. 55.5 m B. 54 m C. 46.5 m D. 45 m
答案：A
解析：设塔高为 H，测量者眼睛到塔顶的垂直高度为 h=H 1.5，
塔底到 B点的水平距离为 x米，则到 A点距离为 x+9米。
由α＝45°，得 h=x+9；由β＝50°，得 h=x· tan 5 0°≈1.2x。
联立方程：x+9=1.2x，解得 x=45，h=54，因此塔高 H=54+1.5=55.5米。
6.（2025·绥化中考）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB的斜面坡度 i＝1∶ 2（斜面坡度是
指坡面的铅直高度 BC与水平宽度 AC的比，堤坝高 BC＝15 m，则迎水坡面 AB的长度是 .
答案：15√3 m
BC 1
解析：由坡度定义 i= = ，BC＝15m，得 AC＝15 2m。AC 2
在 Rt△ABC中，根据勾股定理：AB= BC2+AC2= 152+(15 2)2= 225+450= 675=15 3m。
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题型四：综合提升
7（. 2025·无锡中考）如图，在菱形 ABCD中，∠ABC＝60°，E是 CD的中点，则 sin∠EBC的值
为（ ）
3 7 21 5 7
A. B. C. D.
5 5 14 14
答案：C
解析：过点 E作 EF⊥BC，交 BC的延长线于点 F。
设菱形 ABCD的边长为 2a，因为∠ABC=60 ，所以∠ECF=60 。
在 Rt ECF中，EC=a，∠ECF=60 ，
1 a 3 3a
则 CF=EC× cos 6 0 =a× = ，EF=EC× sin 6 0 =a× = 。
2 2 2 2
a 5a 3a
在 Rt BEF中，BF=BC+CF=2a+ = ，EF= ，
2 2 2
5a 3a
根据勾股定理可得 BE= BF2+EF2= ( )2+( )22 2
3a
25a2 3a2 28a2 EF 21
= + = = 7a 。 所以 sin∠EBC= = 2 = 。
4 4 4 BE 7a 14
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8.（2025·广州二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD与正方形 BEFG是以原点 O
1
为位似中心的位似图形，且位似比为 。3 点 A，B，E在 x轴上。若正方形 BEFG的边长为 6，
则点 C的坐标为 。
答案：（3，2）
1 1
解析：因为正方形 BEFG的边长为 6，位似比为 ，所以正方形 ABCD的边长为 6× =2。3 3
OB 1
设 OB=x，由位似性质可得 = ，即 OE=3x。
OE 3
又因为 OE=OB+BE=x+6，所以 3x=x+6，解得 x=3，即 OB=3。
因为正方形 ABCD的边长为 2，所以点 C的坐标为（3，2）。
9.（2025·达州中考）如图，由 8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为 2，
∠ABD＝120 ，其中点 A，B，C都在格点上，则 tan∠BCD的值为（ ）
3
A.2 B.2 3 C. D.3
2
答案：B
解析：连接 AC，交 BD于点 O。因为每个小菱形的边长均为 2，∠ABD＝120 ，
所以∠AOB=90 ，∠OAB=30 ，则 OB=1，OA= 3。
由网格可知，AC=2OA=2 3，BD=2OB+2×2=6。
BD 6
在 Rt BCD中， tan∠BCD= = =2 3。AC 2 3
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10（. 2025·花都区一模）如图，在等腰 ABC中，∠A＝30 ，AB＝AC，沿射线 BE折叠 ABC，
使点 A恰好落在 BC的延长线上的点 D处，射线 BE与腰 AC交于点 E。
（1）尺规作图：作出射线 BE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接 DE，若 CE＝2 2，求线段 DE的长。
答案：（1）如图，
以点 B为圆心，AB的长为半径画弧，交 BC的延长线于点 D，连接 AD，过点 B作 AD的垂
线，交 AC于点 E，则射线 BE即为所求。（2）2+2 3
解析：（2）过点 C作 CF⊥DE于点 F。由折叠得，∠CDE＝∠BAC＝30 。
180 30
因为 AB＝AC，∠A＝30 ，所以∠ACB= =75 2 ，
则∠CED=∠ACB ∠CDE=75 30 =45 。
2
在 Rt CEF中，CE＝2 2，∠CED=45 ，则 EF=CF=CE× sin 4 5 =2 2× =2。
2
CF
在 Rt CDF中，∠CDE=30 ，CF=2， tan 3 0 =DF，
CF 2
所以 DF= = =2 3。所以 DE=EF+DF=2+2 3。
tan 3 0 3
3
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第五章 三角形（2）
题型一：特殊三角形
1.（2025·资阳中考）如图，在四边形 ABCD中，∠A＝∠B，点 E在线段 AB上，CE∥DA. 若
使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是 .
1 题图 2 题图
2.（2025·内江中考）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度
数为 .
题型二：相似三角形
3.（2025·内江中考）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现
了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随
处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙
所示，动力臂 OA＝150 cm，阻力臂 OB＝50 cm，BD＝20 cm，则 AC的长度是（ ）
A. 80 cm B. 60 cm C. 50 cm D. 40 cm
甲 乙
4.（2025·镇江中考）如图，小杰从灯杆 AB的底部点 B处沿水平直线前进到达点 C处，他在
灯光下的影长 CD＝3米，然后他转身按原路返回到点 B处，返回过程中小杰在灯光下的影长
可以是（ ）
A. 4.5米 B. 4米 C. 3.5米 D. 2.5米
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题型三：解直角三角形
5.（2025·广州黄埔区一模）如图，在塔前的平地上选择一点 A，由点 A看塔顶的仰角是α，在
点 A和塔之间选择一点 B，由点 B看塔顶的仰角是β.若测量者的眼睛距离地面的高度为 1.5 m，
AB＝9 m，α＝45°，β＝50°，则塔的高度大约为（ ）
（参考数据： sin 50°≈0.8，tan 50°≈1.2）
A. 55.5 m B. 54 m C. 46.5 m D. 45 m
6.（2025·绥化中考）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB的斜面坡度 i＝1∶ 2（斜面坡度是
指坡面的铅直高度 BC与水平宽度 AC的比，堤坝高 BC＝15 m，则迎水坡面 AB的长度是 .
题型四：综合提升
7（. 2025·无锡中考）如图，在菱形 ABCD中，∠ABC＝60°，E是 CD的中点，则 sin∠EBC 的值
为（ ）
3 7 21 5 7
A. B. C. D.
5 5 14 14
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8.（2025·广州二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD与正方形 BEFG是以原点 O
1
为位似中心的位似图形，且位似比为 。3 点 A，B，E在 x轴上。若正方形 BEFG的边长为 6，
则点 C的坐标为 。
9.（2025·达州中考）如图，由 8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为 2，
∠ABD＝120 ，其中点 A，B，C 都在格点上，则 tan∠BCD 的值为（ ）
3
A.2 B.2 3 C. D.3
2
10（. 2025·花都区一模）如图，在等腰 ABC 中，∠A＝30 ，AB＝AC，沿射线 BE 折叠 ABC，
使点 A恰好落在 BC的延长线上的点 D处，射线 BE与腰 AC交于点 E。
（1）尺规作图：作出射线 BE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接 DE，若 CE＝2 2，求线段 DE的长。
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