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第21章《四边形》单元测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知：在 ABCD中，∠B＝3∠A，则∠C＝（　　）
A．30° B．45° C．90° D．135°
2．（3分）如图，已知在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝12，AC＝16，BD＝20，则△OCD的周长为（　　）
A．18 B．24 C．30 D．36
3．（3分）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定
4．（3分）若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则原四边形必定是（　　）
A．正方形
B．对角线相等的四边形
C．菱形
D．对角线相互垂直的四边形
5．（3分）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，则OE的长是（　　）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．不确定
6．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝12，DE＝5，AB＝13，则AC的长为（　　）
A．12 B．16 C．18 D．14
7．（3分）依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC＝8，CD＝6，则CF的长为（　　）
A． B． C．2 D．1
9．（3分）意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　）
A． B．
C．S1＝S2 D．a2+b2＝c2
10．（3分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F是BC上一点，连接CE、AE、FE、AF，取AF中点G，连接EG，当∠ECF＝∠EFC时，若，BF＝4，则正方形的边长为（　　）
A．12 B．8 C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，则∠B＝　 　 度．
12．（3分）菱形的两条对角线分别长10cm，24cm，面积为 　 　 cm2．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，且AO＝CO，BO＝DO，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件使四边形ABCD是矩形：　 　 ．
14．（3分）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到90cm，菱形的边长AB＝30cm，则∠DCB的度数是 　 　 °．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠EFC＝α，则∠BAE等于 　 　 （用含α的式子表示）．
16．（3分）在矩形纸片ABCD中，已知AD＝4，AB＝3，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，已知点E、F分别在 ABCD的边AB、CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．
18．（8分）如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且AE∥CF，连接AE，CF．
求证：BE＝DF．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE、AF分别为BC、CD上的高，且∠EAF＝40°，求平行四边形ABCD各内角的度数．
20．（8分）如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO＝OC，OB＝OD且∠1＝∠2．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为AO上一点，连接BE，若AE＝4，AB＝6，EB＝2，求AO的长．
21．（8分）阅读理解我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
问题解决
（1）判断图1中的中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）当图1中的四边形ABCD的对角线添加条件 　 　 时，这个中点四边形EFGH是正方形．
拓展延伸
（3）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
22．（10分）如图，在由相同小正方形组成的8×6网格中，每个小正方形的顶点叫作格点．四边形ABCD的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中，先在CD上画点E，使得∠ABE＝45°，再在AB上画点F，使得AF＝CE；
（2）在图2中，在CD上画点G，使得CG＝AD；
（3）在图3中，M是AB上一点，在CD上画点N，使得MN∥AD．
23．（10分）如图1，在矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠DMF＝∠ABF．
（1）若AD＝2，DE＝1，求AP的长；
（2）求证：PB＝PF+FM；
（3）若矩形ABCD改为 ABCD，如图2，（2）中的结论成立吗？若成立，请证明；不成立，说明理由．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C，D重合），垂直于BE的一条直线MN分别交BC，BE，AD于点M，P，N，正方形ABCD的边长为6．
（1）如图1，当点M和点C重合时，若AN＝4，求△CDN的面积为　 　 ．
（2）在（1）的条件下求线段PM的长度；
（3）如图2，当点M在BC边上时，判断线段AN，MB，EC之间的数量关系，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
第21章《四边形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D C A C B A A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知：在 ABCD中，∠B＝3∠A，则∠C＝（　　）
A．30° B．45° C．90° D．135°
【分析】平行四边形中，利用邻角互补可求得∠A的度数，利用对角相等，即可得∠C的值．
【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠B＝3∠A，
∴∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝∠C＝45°，
故选：B．
2．（3分）如图，已知在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝12，AC＝16，BD＝20，则△OCD的周长为（　　）
A．18 B．24 C．30 D．36
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，且AC＝8，BD＝12，AB＝6，根据平行四边形的性质可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝12，AC＝16，BD＝20，
∴OCAC＝8，ODBD＝10，CD＝AB＝12，
∴△OCD的周长为：CD+OC+OD＝12+8+10＝30．
故选：C．
3．（3分）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定
【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EFAC，GHAC，HEBD，FGBD，再根据四边形的对角线相等可知AC＝BD，从而得到EF＝FG＝GH＝HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形即可得解．
【解答】解：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
连接AC、BD，
根据三角形的中位线定理，EFAC，GHAC，HEBD，FGBD，
∵四边形ABCD的对角线相等，
∴AC＝BD，
所以，EF＝FG＝GH＝HE，
所以，四边形EFGH是菱形．
故选：A．
4．（3分）若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则原四边形必定是（　　）
A．正方形
B．对角线相等的四边形
C．菱形
D．对角线相互垂直的四边形
【分析】这个四边形ABCD的对角线AC和BD的关系是互相垂直．理由为：根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．
【解答】证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH＝90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH＝∠OMH＝90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH＝∠COB＝90°，
即AC⊥BD．
故选：D．
5．（3分）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，则OE的长是（　　）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．不确定
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥DB，AOAC，BOBD，然后利用勾股定理计算出AB长，再根据菱形的面积公式得到S菱形ABCD8×6＝24，进而得到△AOB的长，然后根据直角三角形的面积计算出EO长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AOAC，BOBD，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，BO＝3，S菱形ABCD8×6＝24，
∴AB5，S△AOB＝6，
∵ AB EOAO×BO，
∴5EO＝4×3，
EO，
故选：C．
6．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝12，DE＝5，AB＝13，则AC的长为（　　）
A．12 B．16 C．18 D．14
【分析】连接CE，根据平行四边形的性质可得AO＝CO，CD＝AB＝13，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE＝AE＝12，利用勾股定理的逆定理得到∠CED＝90°，得到△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得结论．
【解答】解：连接CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，CD＝AB＝13，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE＝AE＝12，
∵DE＝5，
∴CE2+DE2＝122+52＝132＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴ACAE＝12，
故选：A．
7．（3分）依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由菱形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、四边形的四条边相等，判定四边形是菱形，故A不符合题意；
B、32+42＝52，由勾股定理的逆定理推出四边形的对角线互相垂直，四边形的对角线又互相平分，判定四边形是菱形，故B不符合题意；
C、三条边相等的四边形，不能判定四边形是菱形，故C符合题意；
D、由同旁内角互补，得到四边形的两组对边平行，而四边形的邻边又相等，判定四边形是菱形，故D不符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC＝8，CD＝6，则CF的长为（　　）
A． B． C．2 D．1
【分析】设DF＝FD′＝x，在RT△CFD′中利用勾股定理求出x即可解决问题．
【解答】解：如图，∵△EFD′是由△EFD翻折得到，
∴DF＝FD′，设DF＝FD′＝x，
在RT△CFD′中，∵∠C＝90°，CF＝6﹣x，CD′BC＝4，
∴x2＝42+（6﹣x）2，
∴x，
∴CF＝6﹣x．
故选：B．
9．（3分）意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　）
A． B．
C．S1＝S2 D．a2+b2＝c2
【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．
【解答】解：a2+b2＝c2，
，
故选项A符合题意．
故选：A．
10．（3分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F是BC上一点，连接CE、AE、FE、AF，取AF中点G，连接EG，当∠ECF＝∠EFC时，若，BF＝4，则正方形的边长为（　　）
A．12 B．8 C． D．
【分析】过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，过F作FH⊥BD于H，根据正方形的性质可得∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD＝AD，根据矩形的判定和性质可得EM＝CN，EN＝MC，根据等角对等边可得EC＝EF，设MC＝x，AG＝y，则CF＝2x，BM＝x+4，AB＝BC＝2x+4，根据全等三角形的判定和性质可得AE＝EC＝EF，根据等腰三角形的判定可得△EAF为等腰三角形，△BEM为等腰直角三角形，根据勾股定理推得y2＝x2+4x+8①，y2＝2x2+8x﹣24②，联立方程求得x＝4，求得AB＝12．
【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，过F作FH⊥BD于H，如图：
则∠EMC＝∠ENC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴四边形EMCN为矩形，
∴EM＝CN，EN＝MC，
∵∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF，
又EM⊥BC，
∴MC＝MF，
设MC＝x，AG＝y，
∴MF＝MC＝x，
∴CF＝MC+MF＝2x，BM＝BF+MF＝x+4，AB＝BC＝BF+CF＝2x+4，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝EC＝EF，
即△EAF为等腰三角形，
又EG⊥AF，
∴AG＝GF＝y，则AF＝AG+GF＝2y，
在Rt△ABF中，AF＝2y，AB＝2x+4，BF＝4，
则AF2＝AB2+BF2，
即：（2y）2＝（2x+4）2+42，
整理得：y2＝x2+4x+8①，
∵∠CBD＝45°，EM⊥BC，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴EM＝BM＝4+x，
在Rt△EMF中，EM＝4+x，MF＝x，
由勾股定理得：EF2＝EM2+MF2＝（4+x）2+x2＝2x2+8x+16，
在Rt△EGF中，，GF＝y，
由勾股定理得：EF2＝EG2+GF2＝40+y2，
∴40+y2＝2x2+8x+16，
整理得：y2＝2x2+8x﹣24②，
由①②得：2x2+8x﹣24＝x2+4x+8，
整理得：x2+4x﹣32＝0，
解得：x＝4，或x＝﹣8（不合题意，舍去），
∴AB＝2x+4＝12．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，则∠B＝　130　 度．
【分析】在平行四边形ABCD中，因为∠A和∠B是一组相邻的内角，由平行四边形的性质可知，∠A+∠B＝180°，代值求解．
【解答】解：∵ ABCD中，BC∥AD，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠A
＝180°﹣50°＝130°．
故答案为130．
12．（3分）菱形的两条对角线分别长10cm，24cm，面积为 　120　 cm2．
【分析】由菱形的面积公式，即可计算．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别是10cm，24cm，
∴菱形的面积10×24＝120（cm2）．
故答案为：120．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，且AO＝CO，BO＝DO，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件使四边形ABCD是矩形：　∠ABC＝90°　 ．
【分析】先说明四边形ABCD为平行四边形，然后根据矩形的判定方法即可解答．
【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为矩形．
故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
14．（3分）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到90cm，菱形的边长AB＝30cm，则∠DCB的度数是 　120　 °．
【分析】连接AC，可得△ABC是等边三角形，由菱形可得AC平分∠DCB，继而可得∠DCB＝2∠ACB＝120°．
【解答】解：连接AC，由题意得AC＝30cm，
由条件可知AB＝BC＝AC＝30cm，AC平分∠DCB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DCB＝2∠ACB＝120°，
故答案为：120．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠EFC＝α，则∠BAE等于 　　 （用含α的式子表示）．
【分析】根据正方形的性质可得AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，易证△GAE≌△FAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠AEG，进一步根据∠BAE＝90°﹣∠AEF求解即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，G、B、E三点共线，如图所示：
则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴∠AEF＝∠AEG，
∵∠EFC＝α，
∴∠FEC＝90°﹣α．
∴，
∴，
故答案为：．
16．（3分）在矩形纸片ABCD中，已知AD＝4，AB＝3，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为 　或3　 ．
【分析】分两种情况：①当∠EFC＝90°时，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理列式求出AC，设BE＝x，表示出CE，根据翻折变换的性质可得AF＝AB，EF＝BE，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；②当∠CEF＝90°时，判断出四边形ABEF是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE＝AB．
【解答】解：①当∠EFC＝90°时，如图1，
∵∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，
∴点A、F、C共线，
∵矩形ABCD的边AD＝4，
∴BC＝AD＝4，
在Rt△ABC中，AC5，
设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝4﹣x，
由翻折的性质得，AF＝AB＝3，EF＝BE＝x，
∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得x，
即BE；
②当∠CEF＝90°时，如图2，
由翻折的性质得，∠AEB＝∠AEF90°＝45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE＝AB＝3，
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，已知点E、F分别在 ABCD的边AB、CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．
【分析】由“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB＝CD，AB∥CD．然后根据图形中相关线段间的和差关系求得BE＝FD，易证四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∵AE＝CF．
∴BE＝FD，BE∥FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴DE＝BF．
18．（8分）如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且AE∥CF，连接AE，CF．
求证：BE＝DF．
【分析】由平行四边形的性质推出AD＝BC，AD∥BC，判定四边形AECF是平行四边形，得到AF＝CE，即可证明BE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣CE，
∴BE＝CF．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE、AF分别为BC、CD上的高，且∠EAF＝40°，求平行四边形ABCD各内角的度数．
【分析】由AE、AF分别为BC、CD上的高，且∠EAF＝40°，即可求得∠C的度数，又由平行四边形的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵AE、AF分别为BC、CD上的高，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∵∠EAF＝40°，
∴∠C＝360°﹣∠EAF﹣∠AEC﹣∠AFC＝140°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C＝140°，∠B＝∠D＝180°﹣∠C＝40°．
∴平行四边形ABCD各内角的度数分别为：140°，40°，140°，40°．
20．（8分）如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO＝OC，OB＝OD且∠1＝∠2．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为AO上一点，连接BE，若AE＝4，AB＝6，EB＝2，求AO的长．
【分析】（1）根据AO＝OC，OB＝OD，可得四边形ABCD是平行四边形，然后证明AB＝CB，进而可以解决问题；
（2）根据菱形的对角线互相垂直，设OE＝x，利用勾股定理求出x的值，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵AO＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△ABO和Rt△EBO中，根据勾股定理得：OB2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣OE2，
设OE＝x，
∵AE＝4，AB＝6，EB＝2，AO＝4+x，
∴62﹣（4+x）2＝（2）2﹣x2，
解得：x＝1，
∴AO＝AE+OE＝4+1＝5．
21．（8分）阅读理解我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
问题解决
（1）判断图1中的中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）当图1中的四边形ABCD的对角线添加条件 AC＝BD且AC⊥BD 时，这个中点四边形EFGH是正方形．
拓展延伸
（3）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）连接AC、BD，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明；
（2）根据正方形的判定定理解答；
（3）连接AC与BD，证明△AMC≌△DMB，得到AC＝DB，根据菱形的判定定理证明．
【解答】解：（1）四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC、BD，
∵E，F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EFAC，同理HG∥AC，GHAC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形，
∵EFAC，EHBD，AC＝BD，
∴EH＝EF，
∴四边形EFGH为菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
故答案为：AC＝BD且AC⊥BD；
（3）四边形EFGH为菱形．
证明：连接AC与BD，
∵△AMD和△MCB为等边三角形，
∴AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM，
∴∠AMC＝∠DMB，
在△AMC和△DMB中，
，
∴△AMC≌△DMB，
∴AC＝DB，
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，
∴EF∥AC，EFAC，GH∥AC，GHAC，HEDB，∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC＝DB，
∴EF＝HE，
∴四边形EFGH为菱形．
22．（10分）如图，在由相同小正方形组成的8×6网格中，每个小正方形的顶点叫作格点．四边形ABCD的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中，先在CD上画点E，使得∠ABE＝45°，再在AB上画点F，使得AF＝CE；
（2）在图2中，在CD上画点G，使得CG＝AD；
（3）在图3中，M是AB上一点，在CD上画点N，使得MN∥AD．
【分析】（1）利用格点，过点A作GA⊥AB，GA＝AB，连接BG交CD于点E，连接AC，BD，交于点O，连接EO并延长，交AB于点F即可；
（2）延长BC到M，使BM＝AB＝5，连接AM，取AM的中点O，连接BO并延长交CD于点G即可；
（3）取AD的中点P，BC的中点Q，连接MC，交PQ于点O，连接BO并延长，交CD于点N，连接MN即可．
【解答】解：（1）过点A作GA⊥AB，GA＝AB，连接BG交CD于点E，连接AC，BD，交于点O，连接EO并延长，交AB于点F，则E、F即为所求作的点，如图所示：
∵GA⊥AB，GA＝AB，
∴，
∵AD＝BC，，
∴四边形ABCD为平行四边形；
∴AB∥CD，AO＝CO，
∴∠FAC＝∠ECA，∠AFO＝∠CEO，
∴△AOF≌△COE，
∴AF＝CE；
（2）延长BC到M，使BM＝AB＝5，连接AM，取AM的中点O，连接BO并延长交CD于点G，则G点即为所求作的点，如图所示：
∵AB＝BM，O为AM的中点，
∴BO平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，
∴∠ABG＝∠BGC＝∠CBG，
∴BC＝CG，
∴CG＝AD；
（3）取AD的中点P，BC的中点Q，连接MC，交PQ于点O，连接BO并延长，交CD于点N，连接MN，则MN即为所求，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，P为AD的中点，Q为BC的中点，
∴AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，，，
∴AP＝BQ，
∴四边形ABQP为平行四边形，
∴PQ∥AB，
∴，
∴CO＝MO，
∵AB∥CD，
∴∠OBM＝∠ONC，∠OMB＝∠OCN，
∴△OMB≌△OCN，
∴BM＝CN，
∴四边形BCNM为平行四边形，
∴MN∥BC．即MN∥AD．
23．（10分）如图1，在矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠DMF＝∠ABF．
（1）若AD＝2，DE＝1，求AP的长；
（2）求证：PB＝PF+FM；
（3）若矩形ABCD改为 ABCD，如图2，（2）中的结论成立吗？若成立，请证明；不成立，说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质和勾股定理求出AE，即可得出AP的长；
（2）延长BF、CD交于点N，由矩形的性质得出CN∥AB，得出∠N＝∠PBA，∠NEP＝∠BAP，由ASA证明△NEP≌△BAP，得出PB＝PN，再证出FN＝FM，即可得出结论；
（3）延长BF、CD交于点N，由矩形的性质得出CN∥AB，得出∠N＝∠PBA，∠NEP＝∠BAP，由ASA证明△NEP≌△BAP，得出PB＝PN，再证出FN＝FM，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADE＝90°，
∴AE，
∵点P为线段AE的中点，
∴AP＝PEAE；
（2）证明：延长BF、CD交于点N，如图1所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴CN∥AB，
∴∠N＝∠PBA，∠NEP＝∠BAP，
在△NEP和△BAP中，，
∴△NEP≌△BAP（ASA），
∴PB＝PN，
∵∠DMF＝∠ABF，
∴∠N＝∠DMF，
∴FN＝FM，
∴PB＝PN＝PF+FN＝PF+FM；
（3）解：成立；理由如下：
延长BF、CD交于点N，如图2所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CN∥AB，
∴∠N＝∠PBA，∠NEP＝∠BAP，
在△NEP和△BAP中，，
∴△NEP≌△BAP（ASA），
∴PB＝PN，
∵∠DMF＝∠ABF，
∴∠N＝∠DMF，
∴FN＝FM，
∴PB＝PN＝PF+FN＝PF+FM．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C，D重合），垂直于BE的一条直线MN分别交BC，BE，AD于点M，P，N，正方形ABCD的边长为6．
（1）如图1，当点M和点C重合时，若AN＝4，求△CDN的面积为　6　 ．
（2）在（1）的条件下求线段PM的长度；
（3）如图2，当点M在BC边上时，判断线段AN，MB，EC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）求出DN＝2，由三角形面积公式求解即可；
（2）证△DMN≌△CBE（AAS），得MN＝BE，再由勾股定理得BE＝MN＝2，然后由三角形面积关系求解即可；
（3）过点N作NF⊥BC于N，证△EBC≌△MNF（ASA），得FM＝EC，进而得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABD是正方形，
∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，
∵AN＝4，
∴DN＝AD﹣AN＝2，
∴△CDN的面积CD×DN6×2＝6，
故答案为：6；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠D＝∠BCE＝90°，
∵BE⊥MN，点M和点C重合，
∴MD＝BC＝6，∠DMN+∠BCP＝90°，∠CBE+∠BCP＝90°，
∴∠DMN＝∠CBE，
在△DMN和△CBE中，
，
∴△DMN≌△CBE（AAS），
∴MN＝BE，DN＝CE，
∵AN＝4，
∴CE＝DN＝AD﹣AN＝6﹣4＝2，
由勾股定理得：MN2，
∴BE＝2，
∵MN⊥BE，
∴△BME的面积BE×PMBC×CE，
∴PM；
（3）线段AN、MB、EC之间的数量关系为：AN+EC＝MB，理由如下：
过点N作NF⊥BC于N，如图2所示：
则四边形ANFB为矩形，
∴AN＝BF，NF＝AB＝BC，
∵MN⊥BE，
∴∠EBC+∠PMB＝90°，∠MNF+∠NMF＝90°，
∴∠EBC＝∠MNF，
在△EBC和△MNF中，
，
∴△EBC≌△MNF（ASA），
∴FM＝EC，
∴MB＝BF+FM＝AN+EC，
即AN+EC＝MB．

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