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人教版七（下）数学第九章 平面直角坐标系 单元测试培优卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
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阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2023八下·栾城期中）在平面直角坐标系中，长方形的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2017七下·巢湖期末）如果m是任意实数，则点P (m－4，m－1)一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．（2023七下·汤阴期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只电子蚂蚁从点A出发按的规律每秒1个单位长度爬行，则2023秒时蚂蚁所在的位置是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·内江模拟）如图，在平面直角坐标系中，存在动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，点P的坐标是（　　）
A．(2022，1) B．(2021，0) C．(2021，1) D．(2021，2)
5．（新人教版数学七年级下册 第七章平面直角坐标系7.1.2平面直角坐标系同步练习）已知平面内有一点P，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则P点的坐标为（　　）
A．（-1，1）或（1，-1）
B．（1，-1）
C．（ ， ）或（ ， ）
D．（ ， ）
6．（2021七下·上思期中）如图，已知，则点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020七下·北京月考）如图，在平面直角坐标系 中，点 ．点 第1次向上跳动1个单位至点 ，紧接着第2次向左跳动2个单位至点 ，第3次向上跳动1个单位至点 ，第4次向右跳动3个单位至点 ，第5次又向上跳动1个单位至点 ，第6次向左跳动4个单位至点 ，……，照此规律，点 第2020次跳动至点 的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2017七下·大同期末）已知点 在 轴的负半轴上，则点 在（　　）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2017七下·五莲期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A2017的坐标为（　　）
A．（0，4） B．（﹣3，1） C．（0，﹣2） D．（3，1）
10．（2025八下·射洪期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，将线段平移到线，其中一个对应点的坐标是，则另一个对应点的坐标是　 　．
12．（2023七下·潮南期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为　 　．
13．（2023七下·上海期末）如图，若干个点以箭头方向排列，则第1000个点的坐标为　 　．
14．（2019七下·乌兰浩特期中）如图在平面直角坐标系上有点 ，点A第一次跳动至点 ，第四次向右跳动5个单位至点 ， ，依此规律跳动下去，点A第200次跳动至点 的坐标是　 　．
15．（2019七上·哈尔滨月考）已知平面直角坐标系中， 三点的坐标分别是 、 、 ，若点P为直线AB上方坐标轴上一点，满足 与 的面积相等，则点 的坐标为　 　．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．（2019七下·定襄期末）综合与实践
操作发现
如图，在平面直角坐标系中，已知线段 两端点的坐标分别为 ， ，点 的坐标为 ，将线段 沿 方向平移，平移的距离为 的长度.
（1）画出 平移后的线段 ，直接写出点 对应点 的坐标；
（2）连接 ， ， ，已知 平分 ，求证： ；
拓展探索
（3）若点 为线段 上一动点（不含端点），连接 ， ，试猜想 ， 和 之间的关系，并说明理由.
17．（2023八上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的；
（3）在（2）的条件下，点在直线上，若，直接写出点的坐标；
（4）在（2）的条件下，已知，点，点，所围成的区域内包括边界恰有个整点，求的取值范围．
18．（2025七下·番禺期中）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A的坐标___________，B的坐标___________，C的坐标___________；
（2）当P，Q分别在线段上时，连接，当时，求出点P的坐标；
（3）在P，Q运动的过程中，当时，请直接写出和的数量关系．
19．（2025八上·兰州期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称两点为轴距等点．例如，图中的两点即为轴距等点．
（1）已知点，在点中，点的轴距等点是　 　；
（2）若点在第三象限，点与点为轴距等点．
①点的坐标可以是　 　（写出一个即可）；
②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是　 　；
（3）已知点，点，连接．点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得两点为轴距等点，求的最小值．
20．（2024七下·嵩明期末）如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过点作轴于点．
（1）求两点的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若过点作交轴于点，且分别平分，如图2，求的度数．
21．（2023七下·南宁期末）阅读材料回答问题
在平面直角坐标系中，定义，点P沿着水平和竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P，Q两点之间的“横纵距离”.如图所示，点A的坐标为，则A，O两点的“横纵距离”为5．
解决问题
（1）已知点B的坐标为，则B，O两点的“横纵距离”为　 　；A，B两点的“横纵距离”为　 　；
（2）已知点C的坐标为，写出两个与点C的“横纵距离”为3的点的坐标．
（3）拓展延伸
已知D，O两点的“横纵距离”为5；D，C两点的“横纵距离”为3.请写出满足条件的点D的纵坐标的取值范围．
22．（2025七下·望城期末）在平面直角坐标系中，点，，，且，，满足．
（1）直接写出　 　，　 　，　 　；
（2）如图，将线段平移得到线段，其中点对应点为，点对应点为点，点是线段上一点，求的值；
（3）如图，在的条件下，点是线段右侧一点，连接，，与的角平分线交于点，试探究与之间存在的数量关系．
23．（2024七下·广州期中）如图1，在平面直角坐标系中，大正方形OABC的边长为m厘米，小正方形ODEF的边长为n厘米，且．
（1）求点、点的坐标．
（2）起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x轴向右平移，如图2．设平移的时间为t秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．
①当t=1.5时，S=________平方厘米；
②在这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为________平方厘米；
③在小正方形平移过程中，若S=2，则小正方形平移的时间t为________秒．
（3）将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x轴向右平移，在平移过程中，连接AD，过D点作DM⊥AD交直线BC于M，∠DAx的角平分线所在直线和∠CMD的角平分线所在直线交于N（不考虑N点与A点重合的情形），求∠ANM的大小并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】如图可知，点C位于第三象限，
当AB=4时，BC=6，
点C的坐标为：（-3，-2）；
当AB=6时，BC=4，
点C的坐标为：（-2，-3）.
故选：C
【分析】根据题意画出图形，根据邻边的长度进行讨论即可。
2．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵（m-1）﹣（m﹣4）=m-1﹣m+4=3，
∴点P的纵坐标一定大于横坐标，
∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标，
∴点P一定不在第四象限．
故答案为：D．
【分析】利用作差法比较横纵坐标的大小得：点P的纵坐标一定大于横坐标,即P点坐标一定不会是（+，-），所以P点一定不在第四象限。
3．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解： ∵，，，，
∴四边形ABCD是矩形，AB=CD=2，BC=AD=3，
∴矩形的周长为2（AB+BC）=10，
∴ 一只电子蚂蚁从点A出发爬行一周需10秒，
2023÷10=202······3，
∴ 2023秒时蚂蚁所在的位置在矩形ABCD与x轴的负半轴的交点处，即（-1，0）；
故答案为：C.
【分析】由ABCD的坐标，可得四边形ABCD是矩形，AB=CD=2，BC=AD=3，从而得出一只电子蚂蚁从点A出发爬行一周需10秒，由2023÷10=202······3，求出蚂蚁出发第3秒时的位置即可.
4．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是1，0，2，0；4个数一个循环，
所以2021÷4＝505…1，
所以经过第2021次运动后，
动点P的坐标是（2021，1）.
故答案为：C.
【分析】观察点的坐标变化，可得规律：每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0；4个数一个循环，据此即可求解.
5．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】在选项中，所有的选项都满足横坐标与纵坐标互为相反数的特点。在平面直角坐标系中，点到原点的距离的计算方法是：横坐标的平方加上纵坐标的平方等于距离的平方。由此可以判定，选C.
【分析】弄清平面直角坐标系中点到原点的距离的计算方法，是解答本题的关键。本题考查点的坐标。
6．【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：通过观察可知：
数字是4的倍数的点在第二象限，
∵，
∴点A2020在第二象限，且505即为A2020横纵坐标的绝对值，
∴点A2020的坐标为（-505，505），
故答案为：D.
【分析】根据图形部分点的坐标，可得规律A4n(-n，n)，A4n+1(n，n-1)，A4n+2(n，-n)，A4n+3(-n，-n)，据此求解即可.
7．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】经过观察可得： 和 的纵坐标均为1， 和 的纵坐标均为2， 和 的纵坐标均为3，因此可以推知 点的纵坐标为 ；再观察图可知4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第2020次的跳动得到的横坐标也在y轴的右侧． 的横坐标为1， 的横坐标为2， 的横坐标为3，依此类推可得到 的横坐标为 （n是4的倍数）．故点 的横坐标是 ；所以点 第2020次跳动至点 的坐标是 ．
故答案为：C．
【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第2020次跳动后，纵坐标为 2020÷2=1010 ；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第2020次的跳动得到的横坐标也在y轴的右侧。 的横坐标为1， 的横坐标为2， 的横坐标为3，依此类推可得到 的横坐标．
8．【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵P（m，0）在x轴负半轴上，∴m＜0，∴-m＞0，-m+1＞0，∴点M（-m，-m+1）在第一象限；
故答案为：A.
【分析】根据x轴的负半轴上点的纵坐标等于零，横坐标小于零，得到m＜0，根据不等式性质可以得到-m＞0，-m+1＞0，可以判断点M的象限.
9．【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵A1的坐标为（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2017÷4=504…1，
∴点A2017的坐标与A1的坐标相同，为（3，1）．
故答案为：D．
【分析】对于序号n比较大的求值题，基本方法就是循环法，通过计算几个特殊的实力观察规律，本题就是4个点为一循环，用2017除以4，余数为1，就是循环的第一个点.
10．【答案】B
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：，，
，
由图中点的坐标规律可得，
，，
，
，即，
，即．
故答案为：B．
【分析】
本题主要考查平面直角坐标系中的规律探索，根据图形找到点的规律是解题的关键．通过观察点的坐标变化，找出下标与坐标之间的对应规律，进而利用规律求解特定点的坐标，根据，，可得：，再结合图中点坐标规律可得：，，，由，即可得到，由此可得出答案．
11．【答案】或
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：当点与点对应时，平移规律为：向右平移个单位，向上平移个单位，
∴点对应的点坐标为：，即；
当点与点对应时，平移规律为：向右平移个单位，向下平移个单位，
∴点对应的点坐标为：，即；
∴点的坐标是或，
故答案为：或 ．
【分析】先分类讨论点与点对应和点与点对应再根据点的平移规律，横坐标左减右加，纵坐标上加下减计算即可.
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： ∵点A平移后的对应点D的坐标为，
∴沿轴向右平移3个单位得到，
∵B（4，0），
∴E（4+3，0），即（7，0）；
故答案为：（7，0）.
【分析】由点A平移后的对应点D的坐标为，确定平移的方向和距离，利用B的坐标，从而确定点E的坐标.
13．【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：如图，第1列，（1，0）共1个点，
第2列（2，0）（2，1）共2个点，方向向上，
第3列（3，2）（3，1）（30）共3个点，方向向下，
第4列（4，0）（4，1）（4，2）（4，3）共4个点，方向向上，
第5列（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（5，0）共5个点，方向向下，
······
∴第45列，共45个点，方向向下，
从第1列~45列共1+2+3+···+45==1035个点，
∴ 第1000个点的坐标（45，35）；
故答案为：（45，35）.
【分析】由已知图形中点的坐标排列，分别求出第1、2、3、4、5列点的个数及排列方向，从而得出第45列，共45个点且方向向下，易得从第1列~45列共1035个点，据此即得结论.
14．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】观察发现，第2次跳动至点的坐标是 ，
第4次跳动至点的坐标是 ，
第6次跳动至点的坐标是 ，
第8次跳动至点的坐标是 ，
第2n次跳动至点的坐标是 ，
第200次跳动至点的坐标是 ，
故答案为： ．
【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．
15．【答案】 或
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】①当点 在 轴上，如图
由题意得， ，
．
，
所以 ．
②当点 在 轴上，如图
由题意得 ，
，
，
所以 ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据题意在平面直角坐标系作出 三点，作直线 ，连接 ，可求出 的面积．分析可得点 有两种情况，一种在 轴上，一种在 轴上，分别以 和 为底，求其长度即可．
16．【答案】（1）解：所作线段 如图所示.
点 的坐标为 .
（2）证明：根据平移的性质，可知， ， .
∴ ， .
∵ 平分 ，
∴ .
∴ .
（3）解： .
理由如下：
如图，过点 作 交 于点 ，
又∵ ，
∴ .
∴ ， .
∴ .
【知识点】平行线的性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）按要求作出图形，并根据平移的性质写出点N的坐标即可；（2）由平移的性质可得出 ， ，再由平行的性质和角平分线的定义可得出 ；（3）过点 作 交 于点 ，由平行的性质容易证明 。
17．【答案】（1）解：如图，
（2）如图：即为所求；
（3）点在直线上，若，
设点的坐标为，
当点在之间时，，，
，
解得：，
点的坐标为，
当点在点下方时，，，
，
解得：，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
（4）如图，
点，点，且，
点与点关于直线对称，
若所围成的区域内包括边界恰有个整点，则需要两点之间恰好有个整点，
当，时，两点之间恰好有个整点，此时；
当，时，两点之间恰好有个整点，此时；
故当点，点分别在，之间时不包含，满足要求；
的取值范围是．
【知识点】点的坐标；线段上的两点间的距离；作图﹣平移；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）分类讨论：设点的坐标为，①当点在之间时，②当点在点下方时，再分别列出方程求出a的值即可；
（4）分类求解：①当，时，②当，时，再分别求出，，可得的取值范围是．
18．【答案】（1）(8，0)，(4，4)，(0，4)
（2）解：过点B作BD⊥AO，垂足为点D，
由题意可得，BC＝4，BD＝4，OA＝8，
设运动时间经过t秒，则AP＝2t，OQ＝t，
∴CQ＝4﹣t，
∴，
，
∵，
∴4t＝2(8-2t)，
解得，t＝2，
∴AP＝2t＝4，
∴OP＝OA-AP＝4，
∴点P的坐标为(4，0)；
（3）∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ＝150°
【知识点】坐标与图形性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性；解含括号的一元一次方程；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）∵+|b-4|+=0，，|b-4|≥0，≥0，∴a-8=0，b-4=0，c-4=0，
解得：a=8，b=4，c=4，
∴A的坐标(8，0)，B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)，
故答案为：(8，0)，(4，4)，(0，4)；
（3）∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°，理由：过点Q作QHx轴，交直线AB与点H，
∵B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)；
∴AOBC，
∵QHAO，BCAO，
∴QHBC，
∴∠OPQ=∠PQH，∠CBQ=∠BQH，
如图，当Q在C的下方时，∠PQH=∠PQB-∠HQB，
∴∠OPQ=∠PQB-∠QBC，
当∠QBC=30°时，∠OPQ=∠PQB-30°，即∠PQB-∠OPQ=30°；
如图，当Q在C的上方时，
∵QHBC，
∴∠HQB=∠CBQ=30°，
∵∠HQB+∠PQB=∠HQP=180°-∠OPQ，
∴∠OPQ=150°-∠PQB，即∠PQB+∠OPQ=150°，
综上所述：∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°．
【分析】(1) 利用算术平方根和偶次方的非负性，求出参数a、b、c的值，进而确定点A、B、C的坐标；
(2) 设运动时间为t秒，表示此时点P和点Q的坐标，并用含t的代数式分别表示△PAB和△QBC的面积。根据题意建立关于t的方程，求解后确定t的值，从而得到点P的坐标；
(3) 过点Q作QHx轴，交AB于点H，利用平行线的性质分析∠OPQ与∠PQB的数量关系。分两种情况讨论：① 当点Q位于点C的上方时，∠PQB-∠OPQ=30°；② 当点Q位于点C的下方时，∠PQB+∠OPQ＝150°。
（1）解：∵+|b-4|+=0，，|b-4|≥0，≥0，
∴a-8=0，b-4=0，c-4=0，
解得：a=8，b=4，c=4，
∴A的坐标(8，0)，B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)，
故答案为：(8，0)，(4，4)，(0，4)；
（2）解：过点B作BD⊥AO，垂足为点D，
由题意可得，BC＝4，BD＝4，OA＝8，
设运动时间经过t秒，则AP＝2t，OQ＝t，
∴CQ＝4﹣t，
∴，
，
∵，
∴4t＝2(8-2t)，
解得，t＝2，
∴AP＝2t＝4，
∴OP＝OA-AP＝4，
∴点P的坐标为(4，0)；
（3）解：∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°，理由：
过点Q作QHx轴，交直线AB与点H，
∵B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)；
∴AOBC，
∵QHAO，BCAO，
∴QHBC，
∴∠OPQ=∠PQH，∠CBQ=∠BQH，
如图，当Q在C的下方时，∠PQH=∠PQB-∠HQB，
∴∠OPQ=∠PQB-∠QBC，
当∠QBC=30°时，∠OPQ=∠PQB-30°，即∠PQB-∠OPQ=30°；
如图，当Q在C的上方时，
∵QHBC，
∴∠HQB=∠CBQ=30°，
∵∠HQB+∠PQB=∠HQP=180°-∠OPQ，
∴∠OPQ=150°-∠PQB，即∠PQB+∠OPQ=150°，
综上所述：∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°．
19．【答案】（1）C
（2）（答案不唯一，满足条件即可）；；
（3）解：设，
∵
∴，且，
∵两点为轴距等点，
∴，
∴，
∴时，，
∴a的最小值为．
【知识点】点的坐标；点到直线的距离；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：（1）点A(5，-1)到x轴距离为|-1|=1，到y轴距离为|5|=5，距离和为5+1=6；
点B(-3，2)：到x轴距离|2|=2，到y轴距离|-3|=3，距离和为3+2=5≠6；
点C：到x轴距离=，到y轴距离=，距离和为+=6，与点A距离和相等；
点D(-1，-3)：到x轴距离|-3|=3，到y轴距离|-1|=1，距离和为1+3=4≠6。
因此，点A的坐标等点是C。
（2） ① 点R(-4，2)到x轴距离|2|=2，到y轴距离|-4|=4，距离和为4+2=6。
设第三象限点E(x，y)，x<0，y<0，
则|x|=-x，|y|=-y，
距离和为-x-y，
令-x-y=6，
可取x=-4，y=-2
故点E可以是(-4，-2)（答案不唯一）。
② 将E向右平移5个单位得E'(x+5，y)，
∵E'与R为轴距等点，∴E'距离和也为6，
E'到x轴距离|y|=-y，到y轴距离|x+5|，
分情况讨论：
若x+5≥0，则|x+5|=x+5，距离和为(x+5)+(-y)=6，即x-y=1。
联立-x-y=6与x-y=1，解得x=，y=-（满足x<0，y<0）；
若x+5＜0，则|x+5|=-(x+5)，距离和为-(x+5)+(-y)=6，即-x-y=11，与-x-y=6矛盾，舍去。
因此，点E的坐标是（，-）。
【分析】(1)先计算点A到两坐标轴距离之和，再分别计算其他点的距离和，找到相等的点；
(2)①利用第三象限坐标特征（横、纵坐标均为负），结合距离和相等列方程找符合条件的点；
②设点E坐标，根据平移规律表示出E'，再结合距离和相等列方程求解；
(3)先确定线段FG上点M的坐标关系，再结合“坐标等点”定义分析直线l上点N的存在性，进而推导a的取值范围。
20．【答案】（1）解：，
．
，
.
（2）解：轴于点，
，
．
∵，
∴，
的坐标为或.
（3）解：过点作，如图，
轴，，
，
．
，
，
．
分别平分，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；角的运算；平行线的判定与性质；算术平方根的性质（双重非负性）；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再求出点A、C的坐标即可；
（2）先求出，再结合，求出AP的长，从而可得点P的坐标；
（3）过点作，先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可．
（1）解：，
．
，
；
（2）轴于点，
，
．
∵，
∴，
的坐标为或；
（3）解：过点作，如图，
轴，，
，
．
，
，
．
分别平分，
，
．
21．【答案】（1）4；9
（2）设与点C的“横纵距离”为3的点的坐标为，
则，
当时，，解得或，
与点C的“横纵距离”为3的点的坐标为，；（答案不唯一）
（3）设，
D，O两点的“横纵距离”为5，D，C两点的“横纵距离”为3，
，，
，
，
，
．
将代入，得，
整理得，
当时，，无解，不合题意；
当时，，解得，不合题意；
当时，，符合题意；
点D的纵坐标的取值范围．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据“横纵距离”的意义并结合A、B、O三点的坐标即可求解；
（2）设与点C的“横纵距离”为3的点的坐标为（x，y），然后根据“横纵距离”的意义可得关于x、y的方程，再根据绝对值的非负性即可求解；
（3）设D（x，y），根据“横纵距离”的意义并结合题意可得关于x、y的含绝对值的方程组，再根据绝对值的非负性即可求解.
22．【答案】（1）6；-3；2
（2）解：依题意，，，，，
设直线AB的表达式为y=mx+n，将点(6，0)、(0，-3)代入得
，解得，于是直线AB的表达式为
由平移的性质知AB||CD，故直线CD的表达式可设为
将点C(0，2)代入CD的表达式即有t=2，即直线CD的表达式为
点P在直线CD上，将点P(2k-1，3)代入CD的表达式得
解得；
（3）解：与的角平分线交于点，
可设，，
分别过点，作，，
则，
，，，
则，
，
又，
即，
，
．
【知识点】平行线的性质；坐标与图形变化﹣平移；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：(1)因为，，|c-2|≥0，且，
故且且|c-2|=0，得a=6，b=-3，c=2；
(2)依题意，，，，，
设直线AB的表达式为y=mx+n，将点(6，0)、(0，-3)代入得
，解得，于是直线AB的表达式为
由平移的性质知AB||CD，故直线CD的表达式可设为
将点C(0，2)代入CD的表达式即有t=2，即直线CD的表达式为
点P在直线CD上，将点P(2k-1，3)代入CD的表达式得
解得；
【分析】(1)由二次根式和绝对值的非负性可得a、b、c的值；
(2)利用待定系数法求出直线AB的表达式，由平行关系知，可设CD的表达式为，代入点C的坐标即可得CD的表达式为，再将点P的坐标代入即可求得k的值；
(3)过点，作，利用两直线平行，内错角相等，同旁内角相等，可得角度关系∠MAD=∠1，∠2=∠NMF=∠1+x，∠3=∠BCN，由此得x+y=∠MNC-∠MAD，同时∠MAD+2x+2y=180°，即得．
23．【答案】（1）解：∵．，，
，，
（2）①3；②4；③1秒或5秒；
（3）解：如图3，当点N在射线MG的反向延长线上时，
过D作DQ∥x轴，过N作NP∥x轴，
∵MN平分∠CMD，
∴设∠CMG=∠DMG=y，则∠PNM=∠NMB=y，
∠MDQ=∠CMD=2y，
∵DM⊥AD，
∴∠ADQ=∠OAD=90° 2y，
∴∠DAx=180° ∠OAD=180° （90° 2y）=90°+2y，
∵AN平分∠DAx，
∴∠NAx=∠DAx=45°+y=∠PNA，
∴∠ANM=∠PNA ∠PNM=45°+y y=45°，
当点N在射线MG上时，
同理∠ANG=45°，
∴∠ANM=135°，
综上：∠ANM=135°或45°．
【知识点】平行线的判定与性质；平移的性质；用坐标表示平移；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①、当t=1.5时，小正方形向右移动1.5cm，
S=2×1.5=3cm2；
②、如图1所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为灰色平行四边形，
面积为2×2=4cm2；
③、如图2，小正方形平移距离为4+1=5cm，
∴小正方形平移的距离为1cm或5cm，
∴t=1或5；
综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒；
故答案为：①3；②4；③1秒或5秒.
【分析】
（1）由非负数的性质以及算术平方根的性质可得出，的值，则答案可求出；
（2）①1.5秒时，小正方形向右移动，即可计算出重叠部分的面积；
②画出图形，计算所得图形面积即可；
③小正方形的高不变，根据就即可求出小正方形平移的距离和时间；
（3）分当点在射线的反向延长线上或当点在射线上时，
过作轴，过作轴，设，则，，则，，得出，从而得出．
1 / 1人教版七（下）数学第九章 平面直角坐标系 单元测试培优卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2023八下·栾城期中）在平面直角坐标系中，长方形的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】如图可知，点C位于第三象限，
当AB=4时，BC=6，
点C的坐标为：（-3，-2）；
当AB=6时，BC=4，
点C的坐标为：（-2，-3）.
故选：C
【分析】根据题意画出图形，根据邻边的长度进行讨论即可。
2．（2017七下·巢湖期末）如果m是任意实数，则点P (m－4，m－1)一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵（m-1）﹣（m﹣4）=m-1﹣m+4=3，
∴点P的纵坐标一定大于横坐标，
∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标，
∴点P一定不在第四象限．
故答案为：D．
【分析】利用作差法比较横纵坐标的大小得：点P的纵坐标一定大于横坐标,即P点坐标一定不会是（+，-），所以P点一定不在第四象限。
3．（2023七下·汤阴期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只电子蚂蚁从点A出发按的规律每秒1个单位长度爬行，则2023秒时蚂蚁所在的位置是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解： ∵，，，，
∴四边形ABCD是矩形，AB=CD=2，BC=AD=3，
∴矩形的周长为2（AB+BC）=10，
∴ 一只电子蚂蚁从点A出发爬行一周需10秒，
2023÷10=202······3，
∴ 2023秒时蚂蚁所在的位置在矩形ABCD与x轴的负半轴的交点处，即（-1，0）；
故答案为：C.
【分析】由ABCD的坐标，可得四边形ABCD是矩形，AB=CD=2，BC=AD=3，从而得出一只电子蚂蚁从点A出发爬行一周需10秒，由2023÷10=202······3，求出蚂蚁出发第3秒时的位置即可.
4．（2022·内江模拟）如图，在平面直角坐标系中，存在动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，点P的坐标是（　　）
A．(2022，1) B．(2021，0) C．(2021，1) D．(2021，2)
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是1，0，2，0；4个数一个循环，
所以2021÷4＝505…1，
所以经过第2021次运动后，
动点P的坐标是（2021，1）.
故答案为：C.
【分析】观察点的坐标变化，可得规律：每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0；4个数一个循环，据此即可求解.
5．（新人教版数学七年级下册 第七章平面直角坐标系7.1.2平面直角坐标系同步练习）已知平面内有一点P，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则P点的坐标为（　　）
A．（-1，1）或（1，-1）
B．（1，-1）
C．（ ， ）或（ ， ）
D．（ ， ）
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】在选项中，所有的选项都满足横坐标与纵坐标互为相反数的特点。在平面直角坐标系中，点到原点的距离的计算方法是：横坐标的平方加上纵坐标的平方等于距离的平方。由此可以判定，选C.
【分析】弄清平面直角坐标系中点到原点的距离的计算方法，是解答本题的关键。本题考查点的坐标。
6．（2021七下·上思期中）如图，已知，则点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：通过观察可知：
数字是4的倍数的点在第二象限，
∵，
∴点A2020在第二象限，且505即为A2020横纵坐标的绝对值，
∴点A2020的坐标为（-505，505），
故答案为：D.
【分析】根据图形部分点的坐标，可得规律A4n(-n，n)，A4n+1(n，n-1)，A4n+2(n，-n)，A4n+3(-n，-n)，据此求解即可.
7．（2020七下·北京月考）如图，在平面直角坐标系 中，点 ．点 第1次向上跳动1个单位至点 ，紧接着第2次向左跳动2个单位至点 ，第3次向上跳动1个单位至点 ，第4次向右跳动3个单位至点 ，第5次又向上跳动1个单位至点 ，第6次向左跳动4个单位至点 ，……，照此规律，点 第2020次跳动至点 的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】经过观察可得： 和 的纵坐标均为1， 和 的纵坐标均为2， 和 的纵坐标均为3，因此可以推知 点的纵坐标为 ；再观察图可知4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第2020次的跳动得到的横坐标也在y轴的右侧． 的横坐标为1， 的横坐标为2， 的横坐标为3，依此类推可得到 的横坐标为 （n是4的倍数）．故点 的横坐标是 ；所以点 第2020次跳动至点 的坐标是 ．
故答案为：C．
【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第2020次跳动后，纵坐标为 2020÷2=1010 ；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第2020次的跳动得到的横坐标也在y轴的右侧。 的横坐标为1， 的横坐标为2， 的横坐标为3，依此类推可得到 的横坐标．
8．（2017七下·大同期末）已知点 在 轴的负半轴上，则点 在（　　）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵P（m，0）在x轴负半轴上，∴m＜0，∴-m＞0，-m+1＞0，∴点M（-m，-m+1）在第一象限；
故答案为：A.
【分析】根据x轴的负半轴上点的纵坐标等于零，横坐标小于零，得到m＜0，根据不等式性质可以得到-m＞0，-m+1＞0，可以判断点M的象限.
9．（2017七下·五莲期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A2017的坐标为（　　）
A．（0，4） B．（﹣3，1） C．（0，﹣2） D．（3，1）
【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵A1的坐标为（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2017÷4=504…1，
∴点A2017的坐标与A1的坐标相同，为（3，1）．
故答案为：D．
【分析】对于序号n比较大的求值题，基本方法就是循环法，通过计算几个特殊的实力观察规律，本题就是4个点为一循环，用2017除以4，余数为1，就是循环的第一个点.
10．（2025八下·射洪期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：，，
，
由图中点的坐标规律可得，
，，
，
，即，
，即．
故答案为：B．
【分析】
本题主要考查平面直角坐标系中的规律探索，根据图形找到点的规律是解题的关键．通过观察点的坐标变化，找出下标与坐标之间的对应规律，进而利用规律求解特定点的坐标，根据，，可得：，再结合图中点坐标规律可得：，，，由，即可得到，由此可得出答案．
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，将线段平移到线，其中一个对应点的坐标是，则另一个对应点的坐标是　 　．
【答案】或
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：当点与点对应时，平移规律为：向右平移个单位，向上平移个单位，
∴点对应的点坐标为：，即；
当点与点对应时，平移规律为：向右平移个单位，向下平移个单位，
∴点对应的点坐标为：，即；
∴点的坐标是或，
故答案为：或 ．
【分析】先分类讨论点与点对应和点与点对应再根据点的平移规律，横坐标左减右加，纵坐标上加下减计算即可.
12．（2023七下·潮南期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： ∵点A平移后的对应点D的坐标为，
∴沿轴向右平移3个单位得到，
∵B（4，0），
∴E（4+3，0），即（7，0）；
故答案为：（7，0）.
【分析】由点A平移后的对应点D的坐标为，确定平移的方向和距离，利用B的坐标，从而确定点E的坐标.
13．（2023七下·上海期末）如图，若干个点以箭头方向排列，则第1000个点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：如图，第1列，（1，0）共1个点，
第2列（2，0）（2，1）共2个点，方向向上，
第3列（3，2）（3，1）（30）共3个点，方向向下，
第4列（4，0）（4，1）（4，2）（4，3）共4个点，方向向上，
第5列（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（5，0）共5个点，方向向下，
······
∴第45列，共45个点，方向向下，
从第1列~45列共1+2+3+···+45==1035个点，
∴ 第1000个点的坐标（45，35）；
故答案为：（45，35）.
【分析】由已知图形中点的坐标排列，分别求出第1、2、3、4、5列点的个数及排列方向，从而得出第45列，共45个点且方向向下，易得从第1列~45列共1035个点，据此即得结论.
14．（2019七下·乌兰浩特期中）如图在平面直角坐标系上有点 ，点A第一次跳动至点 ，第四次向右跳动5个单位至点 ， ，依此规律跳动下去，点A第200次跳动至点 的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】观察发现，第2次跳动至点的坐标是 ，
第4次跳动至点的坐标是 ，
第6次跳动至点的坐标是 ，
第8次跳动至点的坐标是 ，
第2n次跳动至点的坐标是 ，
第200次跳动至点的坐标是 ，
故答案为： ．
【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．
15．（2019七上·哈尔滨月考）已知平面直角坐标系中， 三点的坐标分别是 、 、 ，若点P为直线AB上方坐标轴上一点，满足 与 的面积相等，则点 的坐标为　 　．
【答案】 或
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】①当点 在 轴上，如图
由题意得， ，
．
，
所以 ．
②当点 在 轴上，如图
由题意得 ，
，
，
所以 ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据题意在平面直角坐标系作出 三点，作直线 ，连接 ，可求出 的面积．分析可得点 有两种情况，一种在 轴上，一种在 轴上，分别以 和 为底，求其长度即可．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．（2019七下·定襄期末）综合与实践
操作发现
如图，在平面直角坐标系中，已知线段 两端点的坐标分别为 ， ，点 的坐标为 ，将线段 沿 方向平移，平移的距离为 的长度.
（1）画出 平移后的线段 ，直接写出点 对应点 的坐标；
（2）连接 ， ， ，已知 平分 ，求证： ；
拓展探索
（3）若点 为线段 上一动点（不含端点），连接 ， ，试猜想 ， 和 之间的关系，并说明理由.
【答案】（1）解：所作线段 如图所示.
点 的坐标为 .
（2）证明：根据平移的性质，可知， ， .
∴ ， .
∵ 平分 ，
∴ .
∴ .
（3）解： .
理由如下：
如图，过点 作 交 于点 ，
又∵ ，
∴ .
∴ ， .
∴ .
【知识点】平行线的性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）按要求作出图形，并根据平移的性质写出点N的坐标即可；（2）由平移的性质可得出 ， ，再由平行的性质和角平分线的定义可得出 ；（3）过点 作 交 于点 ，由平行的性质容易证明 。
17．（2023八上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的；
（3）在（2）的条件下，点在直线上，若，直接写出点的坐标；
（4）在（2）的条件下，已知，点，点，所围成的区域内包括边界恰有个整点，求的取值范围．
【答案】（1）解：如图，
（2）如图：即为所求；
（3）点在直线上，若，
设点的坐标为，
当点在之间时，，，
，
解得：，
点的坐标为，
当点在点下方时，，，
，
解得：，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
（4）如图，
点，点，且，
点与点关于直线对称，
若所围成的区域内包括边界恰有个整点，则需要两点之间恰好有个整点，
当，时，两点之间恰好有个整点，此时；
当，时，两点之间恰好有个整点，此时；
故当点，点分别在，之间时不包含，满足要求；
的取值范围是．
【知识点】点的坐标；线段上的两点间的距离；作图﹣平移；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）分类讨论：设点的坐标为，①当点在之间时，②当点在点下方时，再分别列出方程求出a的值即可；
（4）分类求解：①当，时，②当，时，再分别求出，，可得的取值范围是．
18．（2025七下·番禺期中）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A的坐标___________，B的坐标___________，C的坐标___________；
（2）当P，Q分别在线段上时，连接，当时，求出点P的坐标；
（3）在P，Q运动的过程中，当时，请直接写出和的数量关系．
【答案】（1）(8，0)，(4，4)，(0，4)
（2）解：过点B作BD⊥AO，垂足为点D，
由题意可得，BC＝4，BD＝4，OA＝8，
设运动时间经过t秒，则AP＝2t，OQ＝t，
∴CQ＝4﹣t，
∴，
，
∵，
∴4t＝2(8-2t)，
解得，t＝2，
∴AP＝2t＝4，
∴OP＝OA-AP＝4，
∴点P的坐标为(4，0)；
（3）∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ＝150°
【知识点】坐标与图形性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性；解含括号的一元一次方程；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）∵+|b-4|+=0，，|b-4|≥0，≥0，∴a-8=0，b-4=0，c-4=0，
解得：a=8，b=4，c=4，
∴A的坐标(8，0)，B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)，
故答案为：(8，0)，(4，4)，(0，4)；
（3）∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°，理由：过点Q作QHx轴，交直线AB与点H，
∵B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)；
∴AOBC，
∵QHAO，BCAO，
∴QHBC，
∴∠OPQ=∠PQH，∠CBQ=∠BQH，
如图，当Q在C的下方时，∠PQH=∠PQB-∠HQB，
∴∠OPQ=∠PQB-∠QBC，
当∠QBC=30°时，∠OPQ=∠PQB-30°，即∠PQB-∠OPQ=30°；
如图，当Q在C的上方时，
∵QHBC，
∴∠HQB=∠CBQ=30°，
∵∠HQB+∠PQB=∠HQP=180°-∠OPQ，
∴∠OPQ=150°-∠PQB，即∠PQB+∠OPQ=150°，
综上所述：∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°．
【分析】(1) 利用算术平方根和偶次方的非负性，求出参数a、b、c的值，进而确定点A、B、C的坐标；
(2) 设运动时间为t秒，表示此时点P和点Q的坐标，并用含t的代数式分别表示△PAB和△QBC的面积。根据题意建立关于t的方程，求解后确定t的值，从而得到点P的坐标；
(3) 过点Q作QHx轴，交AB于点H，利用平行线的性质分析∠OPQ与∠PQB的数量关系。分两种情况讨论：① 当点Q位于点C的上方时，∠PQB-∠OPQ=30°；② 当点Q位于点C的下方时，∠PQB+∠OPQ＝150°。
（1）解：∵+|b-4|+=0，，|b-4|≥0，≥0，
∴a-8=0，b-4=0，c-4=0，
解得：a=8，b=4，c=4，
∴A的坐标(8，0)，B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)，
故答案为：(8，0)，(4，4)，(0，4)；
（2）解：过点B作BD⊥AO，垂足为点D，
由题意可得，BC＝4，BD＝4，OA＝8，
设运动时间经过t秒，则AP＝2t，OQ＝t，
∴CQ＝4﹣t，
∴，
，
∵，
∴4t＝2(8-2t)，
解得，t＝2，
∴AP＝2t＝4，
∴OP＝OA-AP＝4，
∴点P的坐标为(4，0)；
（3）解：∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°，理由：
过点Q作QHx轴，交直线AB与点H，
∵B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)；
∴AOBC，
∵QHAO，BCAO，
∴QHBC，
∴∠OPQ=∠PQH，∠CBQ=∠BQH，
如图，当Q在C的下方时，∠PQH=∠PQB-∠HQB，
∴∠OPQ=∠PQB-∠QBC，
当∠QBC=30°时，∠OPQ=∠PQB-30°，即∠PQB-∠OPQ=30°；
如图，当Q在C的上方时，
∵QHBC，
∴∠HQB=∠CBQ=30°，
∵∠HQB+∠PQB=∠HQP=180°-∠OPQ，
∴∠OPQ=150°-∠PQB，即∠PQB+∠OPQ=150°，
综上所述：∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°．
19．（2025八上·兰州期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称两点为轴距等点．例如，图中的两点即为轴距等点．
（1）已知点，在点中，点的轴距等点是　 　；
（2）若点在第三象限，点与点为轴距等点．
①点的坐标可以是　 　（写出一个即可）；
②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是　 　；
（3）已知点，点，连接．点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得两点为轴距等点，求的最小值．
【答案】（1）C
（2）（答案不唯一，满足条件即可）；；
（3）解：设，
∵
∴，且，
∵两点为轴距等点，
∴，
∴，
∴时，，
∴a的最小值为．
【知识点】点的坐标；点到直线的距离；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：（1）点A(5，-1)到x轴距离为|-1|=1，到y轴距离为|5|=5，距离和为5+1=6；
点B(-3，2)：到x轴距离|2|=2，到y轴距离|-3|=3，距离和为3+2=5≠6；
点C：到x轴距离=，到y轴距离=，距离和为+=6，与点A距离和相等；
点D(-1，-3)：到x轴距离|-3|=3，到y轴距离|-1|=1，距离和为1+3=4≠6。
因此，点A的坐标等点是C。
（2） ① 点R(-4，2)到x轴距离|2|=2，到y轴距离|-4|=4，距离和为4+2=6。
设第三象限点E(x，y)，x<0，y<0，
则|x|=-x，|y|=-y，
距离和为-x-y，
令-x-y=6，
可取x=-4，y=-2
故点E可以是(-4，-2)（答案不唯一）。
② 将E向右平移5个单位得E'(x+5，y)，
∵E'与R为轴距等点，∴E'距离和也为6，
E'到x轴距离|y|=-y，到y轴距离|x+5|，
分情况讨论：
若x+5≥0，则|x+5|=x+5，距离和为(x+5)+(-y)=6，即x-y=1。
联立-x-y=6与x-y=1，解得x=，y=-（满足x<0，y<0）；
若x+5＜0，则|x+5|=-(x+5)，距离和为-(x+5)+(-y)=6，即-x-y=11，与-x-y=6矛盾，舍去。
因此，点E的坐标是（，-）。
【分析】(1)先计算点A到两坐标轴距离之和，再分别计算其他点的距离和，找到相等的点；
(2)①利用第三象限坐标特征（横、纵坐标均为负），结合距离和相等列方程找符合条件的点；
②设点E坐标，根据平移规律表示出E'，再结合距离和相等列方程求解；
(3)先确定线段FG上点M的坐标关系，再结合“坐标等点”定义分析直线l上点N的存在性，进而推导a的取值范围。
20．（2024七下·嵩明期末）如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过点作轴于点．
（1）求两点的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若过点作交轴于点，且分别平分，如图2，求的度数．
【答案】（1）解：，
．
，
.
（2）解：轴于点，
，
．
∵，
∴，
的坐标为或.
（3）解：过点作，如图，
轴，，
，
．
，
，
．
分别平分，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；角的运算；平行线的判定与性质；算术平方根的性质（双重非负性）；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再求出点A、C的坐标即可；
（2）先求出，再结合，求出AP的长，从而可得点P的坐标；
（3）过点作，先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可．
（1）解：，
．
，
；
（2）轴于点，
，
．
∵，
∴，
的坐标为或；
（3）解：过点作，如图，
轴，，
，
．
，
，
．
分别平分，
，
．
21．（2023七下·南宁期末）阅读材料回答问题
在平面直角坐标系中，定义，点P沿着水平和竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P，Q两点之间的“横纵距离”.如图所示，点A的坐标为，则A，O两点的“横纵距离”为5．
解决问题
（1）已知点B的坐标为，则B，O两点的“横纵距离”为　 　；A，B两点的“横纵距离”为　 　；
（2）已知点C的坐标为，写出两个与点C的“横纵距离”为3的点的坐标．
（3）拓展延伸
已知D，O两点的“横纵距离”为5；D，C两点的“横纵距离”为3.请写出满足条件的点D的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）4；9
（2）设与点C的“横纵距离”为3的点的坐标为，
则，
当时，，解得或，
与点C的“横纵距离”为3的点的坐标为，；（答案不唯一）
（3）设，
D，O两点的“横纵距离”为5，D，C两点的“横纵距离”为3，
，，
，
，
，
．
将代入，得，
整理得，
当时，，无解，不合题意；
当时，，解得，不合题意；
当时，，符合题意；
点D的纵坐标的取值范围．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据“横纵距离”的意义并结合A、B、O三点的坐标即可求解；
（2）设与点C的“横纵距离”为3的点的坐标为（x，y），然后根据“横纵距离”的意义可得关于x、y的方程，再根据绝对值的非负性即可求解；
（3）设D（x，y），根据“横纵距离”的意义并结合题意可得关于x、y的含绝对值的方程组，再根据绝对值的非负性即可求解.
22．（2025七下·望城期末）在平面直角坐标系中，点，，，且，，满足．
（1）直接写出　 　，　 　，　 　；
（2）如图，将线段平移得到线段，其中点对应点为，点对应点为点，点是线段上一点，求的值；
（3）如图，在的条件下，点是线段右侧一点，连接，，与的角平分线交于点，试探究与之间存在的数量关系．
【答案】（1）6；-3；2
（2）解：依题意，，，，，
设直线AB的表达式为y=mx+n，将点(6，0)、(0，-3)代入得
，解得，于是直线AB的表达式为
由平移的性质知AB||CD，故直线CD的表达式可设为
将点C(0，2)代入CD的表达式即有t=2，即直线CD的表达式为
点P在直线CD上，将点P(2k-1，3)代入CD的表达式得
解得；
（3）解：与的角平分线交于点，
可设，，
分别过点，作，，
则，
，，，
则，
，
又，
即，
，
．
【知识点】平行线的性质；坐标与图形变化﹣平移；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：(1)因为，，|c-2|≥0，且，
故且且|c-2|=0，得a=6，b=-3，c=2；
(2)依题意，，，，，
设直线AB的表达式为y=mx+n，将点(6，0)、(0，-3)代入得
，解得，于是直线AB的表达式为
由平移的性质知AB||CD，故直线CD的表达式可设为
将点C(0，2)代入CD的表达式即有t=2，即直线CD的表达式为
点P在直线CD上，将点P(2k-1，3)代入CD的表达式得
解得；
【分析】(1)由二次根式和绝对值的非负性可得a、b、c的值；
(2)利用待定系数法求出直线AB的表达式，由平行关系知，可设CD的表达式为，代入点C的坐标即可得CD的表达式为，再将点P的坐标代入即可求得k的值；
(3)过点，作，利用两直线平行，内错角相等，同旁内角相等，可得角度关系∠MAD=∠1，∠2=∠NMF=∠1+x，∠3=∠BCN，由此得x+y=∠MNC-∠MAD，同时∠MAD+2x+2y=180°，即得．
23．（2024七下·广州期中）如图1，在平面直角坐标系中，大正方形OABC的边长为m厘米，小正方形ODEF的边长为n厘米，且．
（1）求点、点的坐标．
（2）起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x轴向右平移，如图2．设平移的时间为t秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．
①当t=1.5时，S=________平方厘米；
②在这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为________平方厘米；
③在小正方形平移过程中，若S=2，则小正方形平移的时间t为________秒．
（3）将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x轴向右平移，在平移过程中，连接AD，过D点作DM⊥AD交直线BC于M，∠DAx的角平分线所在直线和∠CMD的角平分线所在直线交于N（不考虑N点与A点重合的情形），求∠ANM的大小并说明理由．
【答案】（1）解：∵．，，
，，
（2）①3；②4；③1秒或5秒；
（3）解：如图3，当点N在射线MG的反向延长线上时，
过D作DQ∥x轴，过N作NP∥x轴，
∵MN平分∠CMD，
∴设∠CMG=∠DMG=y，则∠PNM=∠NMB=y，
∠MDQ=∠CMD=2y，
∵DM⊥AD，
∴∠ADQ=∠OAD=90° 2y，
∴∠DAx=180° ∠OAD=180° （90° 2y）=90°+2y，
∵AN平分∠DAx，
∴∠NAx=∠DAx=45°+y=∠PNA，
∴∠ANM=∠PNA ∠PNM=45°+y y=45°，
当点N在射线MG上时，
同理∠ANG=45°，
∴∠ANM=135°，
综上：∠ANM=135°或45°．
【知识点】平行线的判定与性质；平移的性质；用坐标表示平移；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①、当t=1.5时，小正方形向右移动1.5cm，
S=2×1.5=3cm2；
②、如图1所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为灰色平行四边形，
面积为2×2=4cm2；
③、如图2，小正方形平移距离为4+1=5cm，
∴小正方形平移的距离为1cm或5cm，
∴t=1或5；
综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒；
故答案为：①3；②4；③1秒或5秒.
【分析】
（1）由非负数的性质以及算术平方根的性质可得出，的值，则答案可求出；
（2）①1.5秒时，小正方形向右移动，即可计算出重叠部分的面积；
②画出图形，计算所得图形面积即可；
③小正方形的高不变，根据就即可求出小正方形平移的距离和时间；
（3）分当点在射线的反向延长线上或当点在射线上时，
过作轴，过作轴，设，则，，则，，得出，从而得出．
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