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28.2.2 应用举例
第1课时 视角问题
易错点睛
如图，AB 是伸缩式的遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度是 m.(假设夏至的正午时刻阳光与地平面夹角为60°)
【点睛】应正确理解题意，构造直角三角形求解.
A基础题夯实
知识点 仰角与俯角
1.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m 的C 处，测得黄鹤楼顶部 A 的俯角为 45°，底部 B 的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 m.(参考数据：
2.如图，无人机在空中 A 处测得某校旗杆顶部B 的仰角为30°，底部C 的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD 为6m ，则该校的旗杆高约为 m.( 结果精确到0.1)
3.如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，小明想利用这个观景平台测量对面山顶C 处的海拔高度，他在该观景平台上选定了一点 A，在点 A 处测得点C 的仰角∠CAE=42°,再在AE上选一点B,在点 B 处测得点C 的仰角∠CBE=45°,AB=10m.求山顶C 处的海拔高度.(小明身高忽略不计，结果精确到 1m .参考数据：
B中档题运用
4.如图，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30 m的A 处用仪器测得 ，向百货大楼的方向走 10 m，到达 B 处时，测得， 仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度(结果保留小数点后一位).
(参考数据：
5.如图，计划在山顶A 的正下方沿直线CD 方向开通穿山隧道EF.在点E 处测得山顶A 的仰角为 ,在距 E 点 80 m的 C 处测得山顶A 的仰角为 从与 F 点相距10 m 的 D 处测得山顶A 的仰角为 点C,E,F,D 在同一直线上.求隧道 EF 的长度.
综合题探究
6.如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中 P 处，测得楼CD 楼顶D 处的俯角为 测得楼 AB 楼顶A 处的俯角为已知楼AB 和楼CD之间的距离BC为100m,楼AB 的高度为10m,从楼AB 的A 处测得楼CD 的D 处的仰角为(点A,B,C,D,P 在同一平面内).
(1)求楼CD 的高度(结果保留根号)；
(2)求此时无人机距离地面 BC 的高度.
第2 课时 方位角、坡度问题
易错点睛
一斜坡的坡度i=1：2，高度为2m，那么这一斜坡的坡长为 m.
【点睛】坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比.
A基础题夯实
知识点1 坡角、坡比
1.若一斜坡坡角为30°，则该斜坡的坡度为1： .
2.公园的一处台阶高出地面1.3m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列说法正确的是( )
A.斜坡 AB 的坡度是 tan10° B.
C.斜坡AB 的坡度是 10° D.
3.(2025绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的斜面坡度 堤坝高 BC=15 m,则迎水坡面 AB 的长是 m.
4.如图，斜坡AB 上相邻两棵树间的坡面距离为1.8m.若该斜坡的坡角为 24°，则相邻两棵树的株距(水平距离)为 m(用三角函数表示).
知识点2 方位角
5.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的 方向(填方位角).
6.一艘轮船在小岛 A 的北偏东60°方向距小岛80海里的 B 处，沿正西方向航行4小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的平均速度为 海里/时.
7.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72°方向，距离灯塔100 nmile的A 处，它沿正南方向行驶一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东40°方向上的 B 处，则此时B 处距离灯塔 P 的距离约为 nmile.(结果取整数.参考数据：
B中档题运用
8.(2025长沙中考)如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C 在道路b 上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b 上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C 位于景点B 的北偏东60°方向上，位于景点A 的北偏东 方向上，景点B位于景点 D 的南偏西 方向上.已知AB=800 m.
(1)求 的度数；
(2)求景点 C 与景点 D 之间的距离.(结果保留根号)
综合题探究
9.(2025烟台中考)烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A 航行，小组同学们收集到以下信息：
位置信息 码头 A 在灯塔 B 北偏西 14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔 B 北偏东53°方向的 C 处
15：00时，渔船航行至灯塔 B 东北方向的D 处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头 A 附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔B 的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A
(参考数据：sin37°≈ 5).
28.2.2 应用举例
第1课时视角问题
易错点睛
基础题夯实
1.51 2.13.8
3.解:过点 C 作CD⊥AE,交 AE 的延长线于点D.
设CD=x,在Rt△CBD 中,
∠CBD=45°=∠BCD,
∴BD=CD=x,
在 Rt△CAD 中,∠CAD=42°,
∵AB=10,
解得x=90,即CD=90,
∴山顶C 处的海拔高度为1 600+90=1690(m).
中档题运用
4.解:在 Rt△ADC 中,∠DAC=30°,AC=30,
10 ≈17.32,
∵AB=10,
∴BC=AC-AB=20,
在 Rt△BCE 中,∠EBC=48°,
∴EC=BC·tan48°≈20×1.111=22.22,
∴DE=EC-DC≈22.22-17.32=4.9.
答:广告牌ED 的高度约为4.9 m.
5.解:过点 A 作AH⊥DE,垂足为 H,设EH= x m,
在 Rt△AEH 中,∠AEH=45°,
∴AH=EH·tan45°=x,
∵CE=80,
∴CH=CE+EH=80+x,在 Rt△ACH 中,∠ACH=30°,
经检验 是原方程的解，
在 Rt△AHD 中,∠ADH=45°,
答:隧道 EF 的长度为(80 +70) m.
综合题探究
6.解:(1)过点 A 作AE⊥CD 于点E,则∠DAE=30°.
由题意,可得 AE=BC=100,EC=AB=10,
在 Rt△AED 中,∠DAE=30°,
解得
∴楼CD的高度为
(2)过点 P 作 PG⊥BC 于点 G,交AE 于点 F,过点 D 作 DH⊥PG 于点H.
设EF=x,则PH=DH=x,AF=100-x,PF = PH + HF =x+
在Rt△PAF 中,PF=AF·tan∠PAF,
解得
∴PG=PF+FG=100+10=110.
答：此时无人机距离地面 BC 的高度为110 m.
第2课时 方位角、坡度问题
易错点睛
基础题夯实
1. 2. A3.15
4.1.8cos24°5.北偏东70°
6.(10+10 ) 7.148
中档题运用
8.解:(1)由题意知,∠CBM=90°-60°=30°,∠CAM=90°-30°=60°,∴∠ACB=∠CAM-∠CBM=60°-30°=30°;
(2)∵∠CBM=∠ACB=30°,
∴AC=AB=800,
∴在 Rt△ACM 中,
400,
400
∴BM=BA+AM=1200,
∵∠BDM=45°,
∴DM=BM=1200,
∴CD=DM-CM=1200-400 答：景点C 与景点 D 之间的距离为(1200-400 )m.
综合题探究
9.解:(1)过点 B 作BE⊥AC 于点 E.依题意,知∠EBC=53°,∠EBD=
∴∠C=90°-∠EBC=37°.
设BE=x,
则.DE=x,CE=DE+CD=x+5.
∵在Rt△BCE 中,
解得x=15,
即 BE=15(海里).
答：渔船在航行过程中到灯塔B 的最短距离为15 海里；
(2)在 Rt△ABE 中,∠ABE=14°,BE=15.
∴AE = BE ·tan∠ABE = 15·tan14°≈15×0.25=3.75,
∴AC=AE+DE+CD=3.75+15+5=23.75.
∵23.75÷10=2.375(小时)<3(小时),∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A.

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