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第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
第2课时 二次根式的性质
1. 理解二次根式的三个性质 (a≥0)， (a≥0) 和 (a≥0) . 会运用二次根式的性质进行有关计算和化简. (重点)
2. 通过对 的化简，了解分类讨论的思想；利用乘方与开方互为逆运算推导结论 (a≥0)，感受数学知识的内在联系 . (难点)
3. 经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，体验发现的快乐.
≥0
＝
＝
＝
数字猜猜猜
游戏规则：老师在心里想一个二次根式，比如 ，提示信息：这个二次根式的值是一个整数，大家来猜一猜 x 可能是哪些数。
如：这个二次根式的值是 2，同学们猜 x 是多少？
如：这个二次根式的值是 4，同学们猜 x 是多少？
追问：二次根式的值可以是 －3 吗？
探究点1：≥0(a≥0)
问题1：当 a≥0 时， 表示什么含义？其数值有什么特点？
当 a＞0 时， 表示 a 的算术平方根，因此＞0；
当 a＝0 时， 表示 0 的算术平方根，因此＝0；
所以当 a≥0 时，≥0 ，
即当 a 是非负数时， 也是非负数.
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
(1) a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a≥0；
(2) 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数或式非负
二次根式的值非负
探究点1：≥0 (a≥0)
【归纳小结】
二次根式 的双重非负性
探究点1：≥0 (a≥0)
例1 已知实数 m，n 满足｜m - 2｜+ = 0，
则 m = ，n = .
问题2：我们还学过哪些非负数？
答：一个数的绝对值；一个数的偶次幂.
∴ m - 2＝0，n - 1＝0.
分析：
∴ m＝2，n＝1.
2
1
1. 已知 (x－2) ＋ ＝0，则 xy 的值为 .
【练一练】
2. 若 ＝ 3－x，则 x 的值为 .
－2
3
探究点1：≥0(a≥0)
问题3：根据算术平方根的意义填空：
;
＝ ;
因此，3.
分析： 是 3 的算术平方根，根据算术平方根的意义，
是一个平方等于 3 的非负数.
3
0.5
0
因此，
同理， 分别是 0.5， ，0，的算术平方根.
探究点2：(a≥0)
【知识要点】
注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.a 可以是数，也可以是式.
一般地， ＝a (a≥0).
探究点2：(a≥0)
例2 计算：
解析：
积的乘方：
(ab)2 = a2b2
探究点2：(a≥0)
3. 计算：
【练一练】
分数的乘方：
探究点2：(a≥0)
探究点3：(a≥0)
问题4：填空：
＝ ；
2
0.1
0
【拓展】当 a＞0 时，
当 a＝0 时，
a
0
＝a (a≥0).
即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.
一般地，根据算术平方根的意义：
【知识要点】
【思考】当 a 为任意实数时， 都有意义. 如果上式中的 a 为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
不成立.
探究点3：(a≥0)
问题5：填空：
＝ ；
2
0.1
猜想：
证明：
探究点3：(a≥0)
当 a＜0 时， = -a
∵ a＜0，∴ -a＞0，则
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
a (a≥0)，
-a (a＜0).
【知识要点】
＝|a|＝
问题6：如果 a 是任意实数，那么如何化简 ？
0 (a＝0)，
探究点3：(a≥0)
例3 化简：
探究点3：(a≥0)
4. 计算：
【练一练】
例4 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简：
解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a -b＜0，
∴ 原式 = | a | - | b | + | a - b |
= - a - b - (a - b)
= -2a.
a
b
例5 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简：
分析：
利用三角形三边关系
三边长均为正数，
a + b + c＞0
两边之和大于第三边，
b + c - a＞0，c - b - a＜0
解：∵ a、b、c 是 △ABC 的三边长，
∴ a + b + c＞0，b + c＞a，b + a＞c，
∴ 原式 = | a + b + c| - | b + c - a | + | c - b - a |
= a + b + c - ( b + c - a ) + ( b + a - c)
= a + b + c - b - c + a + b + a - c
= 3a + b - c．
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a 取任何实数
a
| a |
意义
表示一个非负数 a 的算术平方根的平方
表示一个实数 a 的平方的算术平方根
议一议：如何区别 与 ？
探究点3：(a≥0)
性质
拓展性质
二次根式
( a 为全体实数 )
≥0 (a≥0)
(a≥0)
(a≥0)
1. 化简 的结果是(　B　)
A. －3 B. 3
C. ±3 D. 9
2. 用一个x的值说明“ ＝x”是错误的，则x的
值可以是(　C　)
A. 2 B. 0
C. －1 D. 1
B
C
3. 若｜a－3｜＋ ＝0，则 2a＋b＝ .
4. (1)若 ＝4－m，则m的取值范围
是 ；
(2)若 ＝－a，则a的可能取值为
__________________(请写出一个符合条件的无理数).
5　
m≤ 4　
－ (答案不唯一)　
5. 计算：
(1)(2 )2； (2) ；
解：原式＝ .
解：原式＝20.
(2) 原式＝ .
(3) ； (4) .
解：原式＝π－3.
(3) 原式＝ .
(4) 原式＝π－3.
6. 已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，
化简： － .
易错通关：去根号时，注意符号
解：由数轴可得a－b＞0，a＋b＜0，
故原式＝a－b＋a＋b＝2a.

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