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第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
第1课时 二次根式的概念
1. 理解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式，感悟利用数学符号表示实际问题的意义.
(重点)
2. 掌握二次根式有无意义的条件，领会数学分类讨论思想. (重点)
3. 会求二次根式的被开方数中字母的取值范围，在解题过程中利用不等式（组）模型来培养全面思考问题的正确习惯.(难点)
(1) 16 的平方根是什么？16 的算术平方根是什么？
(2) 0 的平方根是什么？0 的算术平方根是什么？
(3) －7 有没有平方根？有没有算术平方根？
(4) 表示什么
回答下列问题：
±4
4
0
0
没有
没有
7 的算术平方根
平方根的性质
(1) 正数有 个平方根且互为 数
(2) 0 的平方根是_____
(3) 负数_____平方根
(4) 非负数 a 的平方根表示为 .
算术平方根的性质
(1) 正数只有____个算术平方根
(2) 0 的算术平方根是___
(3) 负数_____算术平方根
(4) 非负数 a 的算术平方根表示为 .
两
相反
0
没有
没有
0
一
自学提示
自学教材第2页：
完成教材思考上提出的问题.
思考：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：
(1) 一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m ，则它的宽为 m.
探究点1：二次根式的概念
解析：
长方形的面积 130＝长(2x)×宽(x)
2x2＝130
x2＝65
(2)一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 .
解析：
S大正方形 = a2 ＋1
边长 =
探究点1：二次根式的概念
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t (单位：s) 与开始落下时离地面的高度 h (单位：m) 的关系近似为 h = 5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为
开始落下的高度 h = 5t2 (t＞0)
解析：
h = 5t2
．
探究点1：二次根式的概念
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示 65，S， 的算术平方根．
①根指数都为 2;
②被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ．
探究点1：二次根式的概念
注意：a 可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外在特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数(式) a≥0
二次根式的定义
探究点1：二次根式的概念
一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫作二次根式. 二次根式也是代数式.
通过上述的学习，同学们可以自己举出具体的二次根式吗？
问题3：在二次根式 中，为什么 a 不能是负数？
因为实数范围内，负数没有算术平方根.
探究点1：二次根式的概念
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
√
√
√
×
×
探究点1：二次根式的概念
√
×
×
×
当 x≥2 时， 在实数范围内有意义.
有意义
例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义
解：由 x－2≥0，得 x≥2.
探究点2：二次根式有意义的条件
a≥0
练一练：当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
x≥3
x≤0
全体实数
x≠0
x＞0
x≥0
探究点2：二次根式有意义的条件
【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x≤5.
总结
(1) 单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
探究点2：二次根式有意义的条件
答案：2≤x≤3.
多个二次根式相加如 有意义的
条件：
总结
探究点2：二次根式有意义的条件
(3) x＞1.
二次根式要求：
x - 1＞0
二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：
A＞0。
总结
x - 1≥0
分式要求：
探究点2：二次根式有意义的条件
分式要求：x - 1≠0
二次根式要求：x + 3≥0
二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A≥0 且 B≠0.
总结
x≥-3 且 x≠1
探究点2：二次根式有意义的条件
(2) ∵ 无论 x 为何实数，-x2 - 2x - 3 = -(x + 1)2 - 2＜0，
∴ 无论 x 为何实数， 在实数范围内都无意义.
【变式题2】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1) ∵无论 x 为何实数，-x + 2x - 1 = -(x - 1) ≤0，
∴ 当 x = 1 时， 在实数范围内有意义.
探究点2：二次根式有意义的条件
答：前者 x 为全体实数；后者 x≥0.
探究点2：二次根式有意义的条件
归纳:被开方式是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
问题 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
呢？
探究点3：二次根式的求值
例3 (1) 当 a＝－2 时，二次根式 的值是 ；
(2) 当 a＝ 时，二次根式 的值是 ；
(3) 当 a＝4 时，二次根式 的值是 ；
2
3
1
归纳总结：把未知数的值代入二次根数求值，注意化简
探究点3：二次根式的求值
练一练
(1) 当 x＝－6 时，二次根式 的值是 ；
(2) 当 a＝7 时，二次根式 的值是 ；
(3) 当 x＝－1 时，二次根式 的值是 .
2
2
概念
二次根式
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式
代入求值
有意义的条件
被开方数大于等于0，即a≥0
若二次根式出现在分母位置时，还需保证分母不为0
数的
算术
平方根
1. 下列各式中，不是二次根式的是(　B　)
A. B.
C. D.
B
2. 要使式子 有意义，则x的取值范围
是(　D　)
A. x＞0 B. x≥－202
C. x≥202 D. x≤202
D
3. 当m＝2时， ＝ 　 　.
4. [高频易错]若a＝ ＋ ＋2，则a
＝ ，b＝ .
　
2　
1　
(1) ； (2) .
解：∵2x2＋1＞0，
∴x为一切实数.
5. [教材变式]求使下列各式有意义的x的取值范围：
解：(1) 由题意得4－3x＞0，解得x＜ .
(2) ∵2x2＋1＞0，∴x为一切实数.
6. [教材变式]有一个面积为360cm2的正方形纸片，
将正方形纸片裁剪后拼出一个长宽之比为4∶3的长方
形，若正方形纸片和拼出的长方形纸片面积相等，
试求出长方形纸片的长与宽.
解：设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x·3x＝360，
解得x＝ 或x＝－ (舍去).
则4x＝4 ，3x＝3 .
即长方形纸片的长和宽分别是4 cm，3 cm.
解：设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x·3x＝360，
解得x＝ 或x＝－ (舍去).
则4x＝4 ，3x＝3 .
即长方形纸片的长和宽分别是4 cm，3 cm.

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