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人教版数学八年级下学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2025八下·巴马期中）若，则等于（　　）
A．1 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，，
∴，则，
，
故选：D．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件的综合应用，式子中有两个二次根式，需分别让两个被开方数满足非负条件，即且，联立求解确定x的值，再代入原式求出y的值，最后计算。
2．（2025八下·荔湾期中）把的根号外的适当变形后移入根号内，得（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的化简，首先需确定的取值范围，再根据符号规则将根号外的式子移入根号内。由二次根式有意义的条件可知，被开方数，因此，即，由此可得；将负数移入根号时，需先将其化为（因为负数的平方开根号后需保留符号），再根据二次根式的乘法法则，原式可化为，化简后得到。
3．（2024八下·宁津月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知，，
，
．
故选：A．
【分析】根据数轴上点的位置关系可得，，根据有理数的减法可得a-b>0，再根据二次根式性质化简，再加减加减即可求出答案.
4．（2024八上·鸡泽期中）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（　　）
A．2.2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，
∴点表示的数是；
故选：B．
【分析】结合题意，利用勾股定理求出即可作答.
5．（2025八下·巴马期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．3米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：作，
根据题意得米，
由勾股定理可得，
∴米，
∴米，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，通过作辅助线构建直角三角形，由题意可知米、米，在中利用勾股定理求出的长度，再用即可得到木马上升的高度。
6．（2025八下·金平期中）如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点A，B，C是展开后小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的大小是（　　）
A．60° B．50° C．45° D．30°
【答案】C
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接AC，由图可知∠ACB=90°，由勾股定理可得AC=BC=，则△ACB是一个直角等腰三角形，则∠ABC=45°，
故选择C.
【分析】本题考查正方体展开图、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是连接辅助线AC，构造直角三角形并计算边长，进而判断三角形的形状求角度。首先连接AC，根据正方体展开图的结构，结合棱长为1的条件，利用勾股定理分别计算AC和BC的长度，可得，同时能确定，因此为直角三角形；又因为直角三角形的两条直角边AC和BC相等，所以是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，其底角。
7．（2024·灞桥模拟）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
由题意知，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴是的中点，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故选：B．
【分析】利用ASA证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据三角形的中位线计算求解即可.
8．（2025八下·荔湾期中）如图，长方体的长、宽、高分别为3，2，2，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由处沿长方体表面爬到处，最短路程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意，长方体的长 ，宽 ，高 ，
根据展开图，得到解法如下：
第一种展开图，
根据题意，得
；
第二种展开图中，
根据题意，得
；
第三种展开图中，
根据题意，得
；
故爬行的最短路程为，
故答案为：C．
【分析】本题考查平面展开-最短路径问题和勾股定理，立体图形表面的最短路径需将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”和勾股定理计算。首先，长方体的长、宽、高分别为3、2、2，点是的中点，因此；接下来分三种展开方式分析：第一种展开方式，将长方体的前面和上面展开，此时水平方向长度为，竖直方向长度为，根据勾股定理，路程为；第二种展开方式，将前面和右面展开，水平方向长度为，竖直方向长度为，路程为；第三种展开方式路程更长，无需考虑；比较三种展开方式的路程，最小，因此最短路程为。
9．（2025八下·遵义期中）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，点G是的中点，
，
，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据矩形性质可得，根据等边对等角可得，根据直角三角形斜边上的中线可得，再根据三角形内角和定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2025八上·慈溪期中） 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】如图所示，连接HM.
四边形EFGH是正方形
四边形ABCD是正方形
、且
解得：
故正确答案为：C
【分析】由正方形的性质知DH垂直AE、CG垂直DH，由于点M平分DE，则连接HM，可得HM是直角三角形DHE的斜边DE上的中线，则HM＝DM，再由线段垂直平分线的性质定理得DG＝HG，再由全等三角形的性质结合正方形的性质可得AH＝DG＝HG＝HE，则DH垂直平分AE，同理可得DE＝AD，再由等腰三角形三线合一知DH平分，则由正方形的对边平行结合对顶角相等可得等于等于，再由全等三角形的对应角相等可得，等量代换可得，由等角对等边可得EN＝BN，再由正方形的性质可得DE＝AD＝AB＝DC＝CB＝8，则DN＝8+EN、CN＝8-EN，再在直角三角形DCN中应用勾股定理即可求得EN＝2.
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．（2025八下·黄埔期中）最简二次根式能与合并，则　 　．
【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；解一元一次方程
【解析】【解答】解：，
∵最简二次根式能与合并，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据同类二次根式的定义：被开方数相同且都开二次方的根式，列方程得到，计算即可求解．
12．（2025八下·台山期中）如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要　 　米．
【答案】7
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，米，米，
∴米，
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米．
故答案为：7．
【分析】本题主要考察勾股定理的应用和平移的性质，根据平移的性质可知，铺楼梯的地毯最短长度等于楼梯的水平宽度与垂直高度之和，解题时先在中利用勾股定理求出水平宽度的长度，再将与的长度相加即可得到结果。
13．（2025八下·黄埔期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的边长为　 　．
【答案】4
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在菱形中，对角线相交于点，
∴，
∵为的中点，且，
∴．
故答案为：4．
【分析】
根据菱形的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线与斜边的关系得出，计算即可解答．
14．如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，G为AD 中点，点E在BC的延长线上，F，H分别为CE，GE的中点，∠EHF=∠DGE，CF= ，则AB=　 　.
【答案】4
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】提示：如图，连接CG，过点 C作CM⊥AD，交AD的延长线于点M.
∵F，H分别为CE，GE的中点，
∴FH 是△CEG的中位线.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠DGE=∠E.
∵∠EHF=∠DGE， ∴∠E=∠EHF.
∴HF=EF=CF. ∴CG=2HF=2
∵AB∥CD， ∴∠CDM=∠A=60°.
设DM=x，则CD=2x，CM= x.
∵G为AD的中点， ∴DG=x.
在 Rt△CMG中，由勾股定理得
∴x=2. ∴AB=CD=2x=4.
故答案为：4.
【分析】连接CG，过点C作 交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得C 由AB∥CD，得 设DM=x，则 ，在 中，借助勾股定理得：CG 即可求出x的值，从而解决问题.
15．（2024九上·罗湖月考）如图，正方形的边长为，以为腰作等腰，，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图：过点A作于点H，连接，交于点O，
∵正方形，
∴，，
∵，，
∴，平分，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
又∵，平分，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
设，则，
在和中，，
即，解得∶，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点A作于点H，连接，交于点O，根据正方形性质可得，，根据等腰三角形三线合一性质可得，平分，，根据勾股定理可得AH，根据角平分线定义可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，，则，根据边之间的关系可得EF，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，，根据角之间的关系可得∠DEF，再根据勾股定理可得DF，则，根据勾股定理可得OE，OA，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得X，再根据边之间的关系即可求出答案.
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．（2024八上·青岛期中）计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先根据二次根式的性质进行化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先进行二次根式的乘除运算，再进行合并即可；
（3）利用二次根式的四则混合法则进行计算即可；
（4）首先根据完全平方公式和平方差公式，进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式。
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
17．已知x+y=-5，xy=4，求的值．
【答案】解：∵xy=-S<0，xy=4>0，∴x<0，y<0，
∴原式=
∵xy=4．原式=-2×=-2×2=-4．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先确定x<0，y<0，再化简式子求解即可.
18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，F是AC上一点。若∠EDF=90°，且，求证：
【答案】证明：延长FD到点G，使GD=DF，连接BG，EG
∵D为BC的中点
∴BD=CD
在△BDG和△CDF中
∴△BDG≌△CDF(SAS)
∴BG=CF，∠C=∠GBD
∴BG∥AC
∵ED⊥DF
∴ED垂直平分GF
∴EG=EF
∵
∴BG2+BE2=EG2
∴△EBG是直角三角形，且∠EBG=90°
∵BG∥AC
∴∠A+∠EBG=180°
∴∠BAC=90°
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】延长FD到点G，使GD=DF，连接BG，EG，根据线段中点可得BD=CD，再根据全等三角形判定定理可得△BDG≌△CDF(SAS)，则BG=CF，∠C=∠GBD，根据直线平行判定定理可得BG∥AC，根据垂直平分线判定定理可得ED垂直平分GF，则EG=EF，再根据边之间的关系可得BG2+BE2=EG2，根据勾股定理逆定理可得△EBG是直角三角形，且∠EBG=90°，再根据直线平行性质即可求出答案.
19．（2025九上·达川期末）如图，直线，直线与、交于A、B，在上取一点C，使，平分，交于点D，交于点，，交于点E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形
（2）解：由（1）已证：四边形是菱形，∴，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
则四边形的面积为
【知识点】二次根式的实际应用；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质的综合，涉及到平行线性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、直角三角形斜边中线性质以及菱形的判定定理、面积公式．
（1）因为BD平分∠ABC可得，又因为可得，可推出，根据等角对等边可得，从而可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，又因为，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）先根据菱形的性质（对角线互相垂直平分）可得，再根据直角三角形斜边中线定理可得，然后结合勾股定理计算的长，最后利用菱形的面积公式（对角线乘积的一半）计算即可得．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）已证：四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
则四边形的面积为．
20．（2024八下·永定期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，则： ▲ ， ▲ ；（此两空均用含，，的代数式表示，不用化简）根据面积相等，可知 ▲ （化简），故验证了勾股定理．
（2）如图2，在中，，是边上的高，，，求的长；
（3）如图1，，，直接写出的值．
【答案】（1）解：∵如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，
∴，
∴；
则
∵，
∴；
（2）解：在中，，
∴
∵是边上的高，
∴
即
（3）解：∵
∴
∵
∴
结合（1）结论
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】(1)根据正方形的面积等于边长的平方以及直角三角形的面积等于底乘高除以2，进行列式，然后再化简即可验证
(2)先运用勾股定理求出斜边的长度10，再根据等面积法进行列式，代入数值进行化简计算，即可作答.
(3)根据 (1)的结论，代入数值进行计算，即可作答.
21．（2024八上·从江期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简；
例如化简：；
∵且，
∴，
∴．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：__________；__________；
（2）化简：①；②．
【答案】（1），
（2）解：①
，
②
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）解：
；
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案；
（2）①将原式转成，转化成完全平方式，化简即可求得答案．
②将原式转化成，转成完全平方式，化简即可求得答案．
（1）解：
；
故答案为：，；
（2）解：①
，
②
．
22．（2024八上·莲都期末）根据以下素材，探索解决问题．
如何剪出直角三角形的完美线？
素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．
问题解决
（1）项目操作 如图，有一张直角三角形纸片，，，请画出“完美线”示意剪法，并标出两个锐角的度数．
（2）项目探索 如图，在直角三角形纸片中，，过点剪一刀，剪痕与交于点． 你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由．
（3）项目拓展 在中，，，，的“完美线”与交于点，将沿“完美线”翻折得到，求的长度．
【答案】解：（1）如图，过点C作，
∵，
∴，
，
∴为的“完美线”；
如图，作的垂直平分线，交于点E，连接，
∵为直角三角形，为斜边上的中线，
∴，
∴，，
∴为的“完美线”；
（2）当为直角三角形斜边上的高时，如图所示：
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴为的“完美线”；
当为直角三角形斜边上的中线时，如图所示：
∵为直角三角形斜边上的中线，
∴，
∴，，
∴为的“完美线”；
综上分析可知，当为直角三角形斜边上的高时，或为直角三角形斜边上的中线时，为的“完美线”；
（3）∵在中，，，，
∴，，，
当为直角三角形斜边上的高时，如图所示：
∵，，
∴，
根据折叠可知，，，
∴，
∴A、D、三点共线，
∴；
当为直角三角形斜边上的中线时，如图所示：
∵为直角三角形斜边上的中线，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
根据折叠可知，，，
∴，
∴为菱形，
∴，，，
∴，
∴；
综上分析可知，或1．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据新定义作图即可；
（2）根据“完美线”的定义，结合直角三角形的性质分两种情况：斜边上的高，为斜边上的中线，画出图形解答即可；
（3）分两种情况，为斜边上的高，为斜边上的中线，画图解答即可．
23．（2025八下·成都期中）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片ABCD（AB＞BC）折叠，点C落在BA边上的点F处，折痕为BE，连接EF，然后将纸片展开.
（1）四边形BFEC的形状为　 　；
（2）如图2，点G是BC上一点，且CG=AF，连接AG，AM平分∠GAB交BE于点M，连接AE，猜想AE和ME的数量关系并加以证明；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点M作MN⊥AG，垂足为点N.
①求的值；
②若AN=21，GN=4，请直接写出AD的长度.
【答案】（1）正方形
（2）解：AE=EM，
证明：如答图1，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC =∠C = 90°， AB∥CD，
由折叠， 得△BFE≌△BCE，
∴∠BFE=∠C =90°∠FBE=∠CBE=45°，FE=CE，
∵∠AFE=180°-∠BFE=90°=∠C， AF =CG， FE=CE，
∴△AFE≌△GCE(SAS)，
∴∠AEF =∠GEC， EA = EG.
∵∠AEG=∠AEF+∠FEG=∠GEC+∠FEG=∠CEF=∠AFE=90°，
∴∠EAG=∠EGA=45°，
∵AM平分∠BAG，
∴∠BAM=∠GAM.又∠EAM=∠EAG+∠GAM， ∠EMA=∠EBA+∠BAM，
∠EAG=∠EBA=45°，
∴∠EAM =∠EMA，
∴AE=EM；
（3）解：①如答图2， 过点M作MH⊥AB于点H，作MP⊥EF于点P， 过点E作EQ⊥AG于点Q.
∵∠MHF=∠HFP =∠MPF =90°，
∴四边形MHFP是矩形，
∴PF=MH，PM∥FH，
.∠PME =∠ABE =∠QAE = 45°.
又∠MPE =∠AQE= 90°， ME = AE，
∴△MPE≌△AQE(SAS)，
∴PE=QE，
∵AE =GE， ∠AEG = 90°， EQ⊥AG，
∴AG=2QE=2PE.
∵∠BEC =∠CBE = 45°，
∴BC=CE= EF.
∵AM平分∠BAG， MN⊥AG， MH⊥AB，
∴MN=MH=PF，
②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：(1)四边形BFEC的形状为正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∵将矩形纸片ABCD(AB>BC)折叠，点C落在BA边上的点F处，折痕为BE，
∴四边形BFEC是菱形，
∴四边形BFEC是正方形，
故答案为：正方形；
(3)②由 (2)知△AEG是等腰直角三角形，
∵AN=21， GN=4，
∴AG=25，
∵AM平分∠BAG， MN⊥AG， MH⊥AB，
∴MN=MH，
∵AM=AM，
∴Rt△ANM≌Rt△AHM(HL)，
∴AN=AH=21，
故答案为：.
【分析】(1)根据矩形的性质得到AB∥CD，∠C = 90°， 根据折叠的性质得到 求得 根据正方形的判定定理得到结论；
(2)连接EG，根据矩形的性质得到 =∠C =90°， AB∥CD，根据折叠的性质得到∠BFE=∠C =90°， ∠FBE=∠CBE=45°， FE=CE，根据全等三角形的性质得到∠AEF =∠GEC， EA=EG.求得∠BAM =∠GAM.得到∠EAM =∠EMA， 于是得到结论；
(3)①证明： 如答图2， 过点M作MH⊥AB于点H，作MP⊥EF于点P， 过点E作EQ⊥AG于点Q.根据矩形的性质得到PF=MH，PM∥FH，求得∠PME =∠ABE = ∠QAE = 45°.根据全等三角形的性质得到PE=QE， 求得AG=2QE=2PE.根据角平分线的性质得到MN=MH=PF，于是得到结论；
②由(2)知△AEG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到 根据角平分线的性质得到MN=MH，根据全等三角形的性质得到AH=AH=21，根据勾股定理得到EF，则可得出答案.
1 / 1人教版数学八年级下学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2025八下·巴马期中）若，则等于（　　）
A．1 B．5 C． D．
2．（2025八下·荔湾期中）把的根号外的适当变形后移入根号内，得（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·宁津月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．0
4．（2024八上·鸡泽期中）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（　　）
A．2.2 B． C． D．
5．（2025八下·巴马期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．3米
6．（2025八下·金平期中）如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点A，B，C是展开后小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的大小是（　　）
A．60° B．50° C．45° D．30°
7．（2024·灞桥模拟）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025八下·荔湾期中）如图，长方体的长、宽、高分别为3，2，2，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由处沿长方体表面爬到处，最短路程为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·遵义期中）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
10．（2025八上·慈溪期中） 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（　　）
A． B． C．2 D．
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．（2025八下·黄埔期中）最简二次根式能与合并，则　 　．
12．（2025八下·台山期中）如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要　 　米．
13．（2025八下·黄埔期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的边长为　 　．
14．如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，G为AD 中点，点E在BC的延长线上，F，H分别为CE，GE的中点，∠EHF=∠DGE，CF= ，则AB=　 　.
15．（2024九上·罗湖月考）如图，正方形的边长为，以为腰作等腰，，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则　 　．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．（2024八上·青岛期中）计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
17．已知x+y=-5，xy=4，求的值．
18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，F是AC上一点。若∠EDF=90°，且，求证：
19．（2025九上·达川期末）如图，直线，直线与、交于A、B，在上取一点C，使，平分，交于点D，交于点，，交于点E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
20．（2024八下·永定期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，则： ▲ ， ▲ ；（此两空均用含，，的代数式表示，不用化简）根据面积相等，可知 ▲ （化简），故验证了勾股定理．
（2）如图2，在中，，是边上的高，，，求的长；
（3）如图1，，，直接写出的值．
21．（2024八上·从江期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简；
例如化简：；
∵且，
∴，
∴．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：__________；__________；
（2）化简：①；②．
22．（2024八上·莲都期末）根据以下素材，探索解决问题．
如何剪出直角三角形的完美线？
素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．
问题解决
（1）项目操作 如图，有一张直角三角形纸片，，，请画出“完美线”示意剪法，并标出两个锐角的度数．
（2）项目探索 如图，在直角三角形纸片中，，过点剪一刀，剪痕与交于点． 你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由．
（3）项目拓展 在中，，，，的“完美线”与交于点，将沿“完美线”翻折得到，求的长度．
23．（2025八下·成都期中）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片ABCD（AB＞BC）折叠，点C落在BA边上的点F处，折痕为BE，连接EF，然后将纸片展开.
（1）四边形BFEC的形状为　 　；
（2）如图2，点G是BC上一点，且CG=AF，连接AG，AM平分∠GAB交BE于点M，连接AE，猜想AE和ME的数量关系并加以证明；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点M作MN⊥AG，垂足为点N.
①求的值；
②若AN=21，GN=4，请直接写出AD的长度.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，，
∴，则，
，
故选：D．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件的综合应用，式子中有两个二次根式，需分别让两个被开方数满足非负条件，即且，联立求解确定x的值，再代入原式求出y的值，最后计算。
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的化简，首先需确定的取值范围，再根据符号规则将根号外的式子移入根号内。由二次根式有意义的条件可知，被开方数，因此，即，由此可得；将负数移入根号时，需先将其化为（因为负数的平方开根号后需保留符号），再根据二次根式的乘法法则，原式可化为，化简后得到。
3．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知，，
，
．
故选：A．
【分析】根据数轴上点的位置关系可得，，根据有理数的减法可得a-b>0，再根据二次根式性质化简，再加减加减即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，
∴点表示的数是；
故选：B．
【分析】结合题意，利用勾股定理求出即可作答.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：作，
根据题意得米，
由勾股定理可得，
∴米，
∴米，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，通过作辅助线构建直角三角形，由题意可知米、米，在中利用勾股定理求出的长度，再用即可得到木马上升的高度。
6．【答案】C
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接AC，由图可知∠ACB=90°，由勾股定理可得AC=BC=，则△ACB是一个直角等腰三角形，则∠ABC=45°，
故选择C.
【分析】本题考查正方体展开图、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是连接辅助线AC，构造直角三角形并计算边长，进而判断三角形的形状求角度。首先连接AC，根据正方体展开图的结构，结合棱长为1的条件，利用勾股定理分别计算AC和BC的长度，可得，同时能确定，因此为直角三角形；又因为直角三角形的两条直角边AC和BC相等，所以是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，其底角。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
由题意知，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴是的中点，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故选：B．
【分析】利用ASA证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据三角形的中位线计算求解即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意，长方体的长 ，宽 ，高 ，
根据展开图，得到解法如下：
第一种展开图，
根据题意，得
；
第二种展开图中，
根据题意，得
；
第三种展开图中，
根据题意，得
；
故爬行的最短路程为，
故答案为：C．
【分析】本题考查平面展开-最短路径问题和勾股定理，立体图形表面的最短路径需将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”和勾股定理计算。首先，长方体的长、宽、高分别为3、2、2，点是的中点，因此；接下来分三种展开方式分析：第一种展开方式，将长方体的前面和上面展开，此时水平方向长度为，竖直方向长度为，根据勾股定理，路程为；第二种展开方式，将前面和右面展开，水平方向长度为，竖直方向长度为，路程为；第三种展开方式路程更长，无需考虑；比较三种展开方式的路程，最小，因此最短路程为。
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，点G是的中点，
，
，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据矩形性质可得，根据等边对等角可得，根据直角三角形斜边上的中线可得，再根据三角形内角和定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】如图所示，连接HM.
四边形EFGH是正方形
四边形ABCD是正方形
、且
解得：
故正确答案为：C
【分析】由正方形的性质知DH垂直AE、CG垂直DH，由于点M平分DE，则连接HM，可得HM是直角三角形DHE的斜边DE上的中线，则HM＝DM，再由线段垂直平分线的性质定理得DG＝HG，再由全等三角形的性质结合正方形的性质可得AH＝DG＝HG＝HE，则DH垂直平分AE，同理可得DE＝AD，再由等腰三角形三线合一知DH平分，则由正方形的对边平行结合对顶角相等可得等于等于，再由全等三角形的对应角相等可得，等量代换可得，由等角对等边可得EN＝BN，再由正方形的性质可得DE＝AD＝AB＝DC＝CB＝8，则DN＝8+EN、CN＝8-EN，再在直角三角形DCN中应用勾股定理即可求得EN＝2.
11．【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；解一元一次方程
【解析】【解答】解：，
∵最简二次根式能与合并，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据同类二次根式的定义：被开方数相同且都开二次方的根式，列方程得到，计算即可求解．
12．【答案】7
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，米，米，
∴米，
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米．
故答案为：7．
【分析】本题主要考察勾股定理的应用和平移的性质，根据平移的性质可知，铺楼梯的地毯最短长度等于楼梯的水平宽度与垂直高度之和，解题时先在中利用勾股定理求出水平宽度的长度，再将与的长度相加即可得到结果。
13．【答案】4
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在菱形中，对角线相交于点，
∴，
∵为的中点，且，
∴．
故答案为：4．
【分析】
根据菱形的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线与斜边的关系得出，计算即可解答．
14．【答案】4
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】提示：如图，连接CG，过点 C作CM⊥AD，交AD的延长线于点M.
∵F，H分别为CE，GE的中点，
∴FH 是△CEG的中位线.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠DGE=∠E.
∵∠EHF=∠DGE， ∴∠E=∠EHF.
∴HF=EF=CF. ∴CG=2HF=2
∵AB∥CD， ∴∠CDM=∠A=60°.
设DM=x，则CD=2x，CM= x.
∵G为AD的中点， ∴DG=x.
在 Rt△CMG中，由勾股定理得
∴x=2. ∴AB=CD=2x=4.
故答案为：4.
【分析】连接CG，过点C作 交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得C 由AB∥CD，得 设DM=x，则 ，在 中，借助勾股定理得：CG 即可求出x的值，从而解决问题.
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图：过点A作于点H，连接，交于点O，
∵正方形，
∴，，
∵，，
∴，平分，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
又∵，平分，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
设，则，
在和中，，
即，解得∶，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点A作于点H，连接，交于点O，根据正方形性质可得，，根据等腰三角形三线合一性质可得，平分，，根据勾股定理可得AH，根据角平分线定义可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，，则，根据边之间的关系可得EF，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，，根据角之间的关系可得∠DEF，再根据勾股定理可得DF，则，根据勾股定理可得OE，OA，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得X，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先根据二次根式的性质进行化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先进行二次根式的乘除运算，再进行合并即可；
（3）利用二次根式的四则混合法则进行计算即可；
（4）首先根据完全平方公式和平方差公式，进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式。
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
17．【答案】解：∵xy=-S<0，xy=4>0，∴x<0，y<0，
∴原式=
∵xy=4．原式=-2×=-2×2=-4．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先确定x<0，y<0，再化简式子求解即可.
18．【答案】证明：延长FD到点G，使GD=DF，连接BG，EG
∵D为BC的中点
∴BD=CD
在△BDG和△CDF中
∴△BDG≌△CDF(SAS)
∴BG=CF，∠C=∠GBD
∴BG∥AC
∵ED⊥DF
∴ED垂直平分GF
∴EG=EF
∵
∴BG2+BE2=EG2
∴△EBG是直角三角形，且∠EBG=90°
∵BG∥AC
∴∠A+∠EBG=180°
∴∠BAC=90°
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】延长FD到点G，使GD=DF，连接BG，EG，根据线段中点可得BD=CD，再根据全等三角形判定定理可得△BDG≌△CDF(SAS)，则BG=CF，∠C=∠GBD，根据直线平行判定定理可得BG∥AC，根据垂直平分线判定定理可得ED垂直平分GF，则EG=EF，再根据边之间的关系可得BG2+BE2=EG2，根据勾股定理逆定理可得△EBG是直角三角形，且∠EBG=90°，再根据直线平行性质即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形
（2）解：由（1）已证：四边形是菱形，∴，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
则四边形的面积为
【知识点】二次根式的实际应用；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质的综合，涉及到平行线性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、直角三角形斜边中线性质以及菱形的判定定理、面积公式．
（1）因为BD平分∠ABC可得，又因为可得，可推出，根据等角对等边可得，从而可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，又因为，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）先根据菱形的性质（对角线互相垂直平分）可得，再根据直角三角形斜边中线定理可得，然后结合勾股定理计算的长，最后利用菱形的面积公式（对角线乘积的一半）计算即可得．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）已证：四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
则四边形的面积为．
20．【答案】（1）解：∵如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，
∴，
∴；
则
∵，
∴；
（2）解：在中，，
∴
∵是边上的高，
∴
即
（3）解：∵
∴
∵
∴
结合（1）结论
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】(1)根据正方形的面积等于边长的平方以及直角三角形的面积等于底乘高除以2，进行列式，然后再化简即可验证
(2)先运用勾股定理求出斜边的长度10，再根据等面积法进行列式，代入数值进行化简计算，即可作答.
(3)根据 (1)的结论，代入数值进行计算，即可作答.
21．【答案】（1），
（2）解：①
，
②
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）解：
；
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案；
（2）①将原式转成，转化成完全平方式，化简即可求得答案．
②将原式转化成，转成完全平方式，化简即可求得答案．
（1）解：
；
故答案为：，；
（2）解：①
，
②
．
22．【答案】解：（1）如图，过点C作，
∵，
∴，
，
∴为的“完美线”；
如图，作的垂直平分线，交于点E，连接，
∵为直角三角形，为斜边上的中线，
∴，
∴，，
∴为的“完美线”；
（2）当为直角三角形斜边上的高时，如图所示：
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴为的“完美线”；
当为直角三角形斜边上的中线时，如图所示：
∵为直角三角形斜边上的中线，
∴，
∴，，
∴为的“完美线”；
综上分析可知，当为直角三角形斜边上的高时，或为直角三角形斜边上的中线时，为的“完美线”；
（3）∵在中，，，，
∴，，，
当为直角三角形斜边上的高时，如图所示：
∵，，
∴，
根据折叠可知，，，
∴，
∴A、D、三点共线，
∴；
当为直角三角形斜边上的中线时，如图所示：
∵为直角三角形斜边上的中线，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
根据折叠可知，，，
∴，
∴为菱形，
∴，，，
∴，
∴；
综上分析可知，或1．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据新定义作图即可；
（2）根据“完美线”的定义，结合直角三角形的性质分两种情况：斜边上的高，为斜边上的中线，画出图形解答即可；
（3）分两种情况，为斜边上的高，为斜边上的中线，画图解答即可．
23．【答案】（1）正方形
（2）解：AE=EM，
证明：如答图1，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC =∠C = 90°， AB∥CD，
由折叠， 得△BFE≌△BCE，
∴∠BFE=∠C =90°∠FBE=∠CBE=45°，FE=CE，
∵∠AFE=180°-∠BFE=90°=∠C， AF =CG， FE=CE，
∴△AFE≌△GCE(SAS)，
∴∠AEF =∠GEC， EA = EG.
∵∠AEG=∠AEF+∠FEG=∠GEC+∠FEG=∠CEF=∠AFE=90°，
∴∠EAG=∠EGA=45°，
∵AM平分∠BAG，
∴∠BAM=∠GAM.又∠EAM=∠EAG+∠GAM， ∠EMA=∠EBA+∠BAM，
∠EAG=∠EBA=45°，
∴∠EAM =∠EMA，
∴AE=EM；
（3）解：①如答图2， 过点M作MH⊥AB于点H，作MP⊥EF于点P， 过点E作EQ⊥AG于点Q.
∵∠MHF=∠HFP =∠MPF =90°，
∴四边形MHFP是矩形，
∴PF=MH，PM∥FH，
.∠PME =∠ABE =∠QAE = 45°.
又∠MPE =∠AQE= 90°， ME = AE，
∴△MPE≌△AQE(SAS)，
∴PE=QE，
∵AE =GE， ∠AEG = 90°， EQ⊥AG，
∴AG=2QE=2PE.
∵∠BEC =∠CBE = 45°，
∴BC=CE= EF.
∵AM平分∠BAG， MN⊥AG， MH⊥AB，
∴MN=MH=PF，
②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：(1)四边形BFEC的形状为正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∵将矩形纸片ABCD(AB>BC)折叠，点C落在BA边上的点F处，折痕为BE，
∴四边形BFEC是菱形，
∴四边形BFEC是正方形，
故答案为：正方形；
(3)②由 (2)知△AEG是等腰直角三角形，
∵AN=21， GN=4，
∴AG=25，
∵AM平分∠BAG， MN⊥AG， MH⊥AB，
∴MN=MH，
∵AM=AM，
∴Rt△ANM≌Rt△AHM(HL)，
∴AN=AH=21，
故答案为：.
【分析】(1)根据矩形的性质得到AB∥CD，∠C = 90°， 根据折叠的性质得到 求得 根据正方形的判定定理得到结论；
(2)连接EG，根据矩形的性质得到 =∠C =90°， AB∥CD，根据折叠的性质得到∠BFE=∠C =90°， ∠FBE=∠CBE=45°， FE=CE，根据全等三角形的性质得到∠AEF =∠GEC， EA=EG.求得∠BAM =∠GAM.得到∠EAM =∠EMA， 于是得到结论；
(3)①证明： 如答图2， 过点M作MH⊥AB于点H，作MP⊥EF于点P， 过点E作EQ⊥AG于点Q.根据矩形的性质得到PF=MH，PM∥FH，求得∠PME =∠ABE = ∠QAE = 45°.根据全等三角形的性质得到PE=QE， 求得AG=2QE=2PE.根据角平分线的性质得到MN=MH=PF，于是得到结论；
②由(2)知△AEG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到 根据角平分线的性质得到MN=MH，根据全等三角形的性质得到AH=AH=21，根据勾股定理得到EF，则可得出答案.
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