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综合测评(B)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位是s,s的单位是m),则它在4 s末的瞬时速度为(　　).
A. m/s B. m/s
C.8 m/s D. m/s
解析　∵=Δt+8-,
∴=8-,故选B.
答案　B
2.已知数列{an},a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n≥2,n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除时,假设a4k(k∈N+)能被4整除,应证(　　).
A.a4k+1能被4整除
B.a4k+2能被4整除
C.a4k+3能被4整除
D.a4k+4能被4整除
解析　在数列{a4n}中,相邻两项下标差为4,所以a4k后一项为a4k+4.故选D.
答案　D
3.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.该数列是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第20项为(　　).
A.180 B.200
C.128 D.162
解析　由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,可得偶数项的通项公式为a2n=2n2,则此数列的第20项为2×102=200,故选B.
答案　B
4.已知非常数列{an}满足(an+2-an)2-4(an+2-an+1)·(an+1-an)=0(n∈N+),Sn为数列{an}的前n项和.若S2=4 024,S4 024=2,则S4 026=(　　).
A.4 026 B.-4 026
C.-4 024 D.4 024
解析　∵(an+2-an)2-4(an+2-an+1)(an+1-an)=0,
∴[(an+2-an+1)+(an+1-an)]2-4(an+2-an+1)(an+1-an)=0,化简得[(an+2-an+1)-(an+1-an)]2=0,
∴an+2+an=2an+1,
∴数列{an}为等差数列.
又S2=4 024,S4 024=2,
∴S4 024-S2=a3+a4+…+a4 024=2 011(a3+a4 024)=-4 022,
∴a3+a4 024=a1+a4 026=-2,
∴S4 026==-4 026.
故选B.
答案　B
5.已知函数f(x)=+3sin x,f'(x)为函数f(x)的导函数,则f(2 468)+f(-2 468)+f'(1 234)-f'(-1 234)=(　　).
A.1 234 B.2 468
C.4 D.2
解析　因为f(x)=+3sin x,所以f'(x)=+3cos x.
所以f'(-x)=+3cos(-x)=+3cos x=f'(x),
所以f'(x)为偶函数,
所以f'(1 234)=f'(-1 234).
又f(-x)=+3sin(-x)=-3sin x,
所以f(x)+f(-x)=+3sin x+-3sin x=2,所以f(2 468)+f(-2 468)+f'(1 234)-f'(-1 234)=2.故选D.
答案　D
6.在下列四个图象中,其中一个图象是函数f(x)=x3-ax2+(a2-4)x+8(a≠0)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-2)=(　　).
(第6题)
A. B.- C.- D.
解析　∵f'(x)=x2-2ax+(a2-4),
∴导函数f'(x)的图象开口向上.
又a≠0,
∴f'(x)不是偶函数,其图象不关于y轴对称,故其图象必为图象③.
由图象特征知f'(0)=0,且对称轴x=a>0,
∴a=2,则f(-2)=--8+8=-.故选B.
答案　B
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Πn,若Πn=()n(n+1),则S5=(　　).
A.120 B.366 C.126 D.363
解析　因为=3n(n≥2),
所以an=3n(n≥2).
又a1=Π1=()2=3符合上式,所以an=3n,即数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,则S5==363.
答案　D
8.设Sn为正项数列{an}的前n项和,a2=3,,则a25=(　　).
A.3×223 B.3×224
C.223 D.224
解析　由,得Sn+1(2Sn+1+n-4Sn)=2nSn,则(Sn+1-2Sn)(2Sn+1+n)=0.
因为数列{an}为正项数列,所以2Sn+1+n>0,可得Sn+1=2Sn,则数列{Sn}是公比为2的等比数列,又a2=S2-S1=S1=3,所以Sn=3×2n-1,所以a25=S25-S24=3×223,故选A.
答案　A
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知等比数列{an}的公比q=-,等差数列{bn}的首项b1=12,若a9>b9且a10>b10,则以下说法正确的有(　　).
A.a9a10<0 B.a9>a10
C.b10>0 D.b9>b10
解析　等比数列{an}的公比q=-,故a9和a10异号,故a9a10<0,故A正确;但不能确定a9和a10的大小关系,故B不正确;
∵a9和a10异号,且a9>b9且a10>b10,
∴b9和b10中至少有一个数是负数,
∵b1=12>0,
∴等差数列{bn}的公差d<0,
∴b9>b10,故D正确;
∴b10一定是负数,即b10<0,故C不正确.故选AD.
答案　AD
10.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N+),则下列说法正确的是(　　).
A.a5=-16
B.S5=-63
C.数列{an}是等比数列
D.数列{Sn+1}是等比数列
解析　因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N+),所以S1=2a1+1,因此a1=-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,故C正确;
因此a5=-1×24=-16,故A正确;
又Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B错误;
因为S1+1=0,所以数列{Sn+1}不是等比数列,故D错误.故选AC.
答案　AC
11.设函数f(x)=,则下列说法正确的是(　　).
A.f(x)的定义域是(0,1)∪(1,+∞)
B.x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方
C.f(x)存在单调递增区间
D.f(x)有且仅有两个极值点
解析　对A选项,要使f(x)=有意义,需满足解得x>0且x≠1,f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),故A正确.
对B选项,由f(x)=,当x∈(0,1)时,ln x<0,f(x)<0,f(x)在(0,1)上的图象都在x轴的下方,故B正确.
对C选项,f'(x)=,
令g(x)=ln x-,
∵g'(x)=>0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵g(2)=ln 2->0,
∴x>2时,g(x)>0,f'(x)>0.
∴f(x)存在单调递增区间,故C正确.
对D选项,g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=ln 1-=-1<0,g(2)=ln 2->0,存在唯一的x0∈(1,2),使g(x0)=0,即f'(x0)=0,当x∈(0,x0)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(x)只有一个极小值点,故D错误.
答案　ABC
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若数列{an}是正项数列,且+…+=n2+3n(n∈N+),则an=　　　　　,+…+=　　　　　.
解析　令n=1,得=4,
∴a1=16.
当n≥2时,+…+=(n-1)2+3(n-1),则=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2,
∴an=4(n+1)2,当n=1时也满足,
∴an=4(n+1)2(n∈N+),
∴=4n+4,
∴+…+=4(1+2+…+n)+4n=2n2+6n.
答案　4(n+1)2　2n2+6n
13.对于数列{an},定义数列{an+1-2an}为数列{an}的“2倍差数列”.若a1=2,数列{an}的“2倍差数列”的通项为2n+1,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　　　　　　.
解析　由题意,可得an+1-2an=2n+1,且a1=2,则=1,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列.
所以=1+(n-1)×1=n,所以an=n×2n,则Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,两式相减可得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1,
解得Sn=(n-1)×2n+1+2.
答案　(n-1)×2n+1+2
14.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=x-sin x.若不等式f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　.
解析　由题意得,当x>0时,f'(x)=1-cos x≥0,则f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,可求得当x<0时,f(x)=x-sin x,故f(x)在R上单调递增,那么由f(-4t)>f(2m+mt2),可得-4t>2m+mt2在R上恒成立.
(方法一)即mt2+4t+2m<0在R上恒成立.
当m≥0时,不等式在R上不恒成立,所以m<0,此时只需Δ=16-8m2<0,所以m<-.
(方法二)分离参数得m<-.
令g(t)=-,求导可得,g'(t)=,令g'(t)>0,则t<-或t>,令g'(t)<0,则-又当t趋于-∞时,g(t)趋于0,g()=-,
所以g(t)min=g()=-,
所以m<-.
答案　(-∞,-)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知f(n)=1++…+,n∈N+,求证:n+f(1)+…+f(n-1)=nf(n)(n≥2,且n∈N+).
证明　(1)当n=2时,左边=2+f(1)=3,右边=2f(2)=3,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,k+f(1)+…+f(k-1)=kf(k).
当n=k+1时,k+1+f(1)+…+f(k-1)+f(k)=1+f(k)+kf(k)=(k+1)f(k)+1=(k+1)·[f(k)+]=(k+1)f(k+1).
即n=k+1时,命题成立.
根据(1)和(2),可知结论正确.
16.(15分)在①a5=b4+2b6,②a3+a5=4(b1+b4),③b2S4=5a2b3这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
设{an}是公比大于0的等比数列,其前n项和为Sn,{bn}是等差数列.已知a1=1,S3-S2=a2+2a1,a4=b3+b5,　　　　　.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,求Tn.
解　(1)选条件①:设等比数列{an}的公比为q,
∵a1=1,S3-S2=a2+2a1,∴q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.
∵q>0,
∴q=2,
∴an=2n-1.
设等差数列{bn}的公差为d,
∵a4=b3+b5,a5=b4+2b6,
∴
解得
∴bn=n.
∴an=2n-1,bn=n.
选条件②:设等比数列{an}的公比为q,
∵a1=1,S3-S2=a2+2a1,
∴q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.
∵q>0,
∴q=2,
∴an=2n-1.
设等差数列{bn}的公差为d,
∵a4=b3+b5,a3+a5=4(b1+b4),
∴
解得
∴bn=n.
∴an=2n-1,bn=n.
选条件③:设等比数列{an}的公比为q,
∵a1=1,S3-S2=a2+2a1,
∴q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.
∵q>0,
∴q=2,
∴an=2n-1.
设等差数列{bn}的公差为d,
∵a4=b3+b5,b2S4=5a2b3,
∴
解得
∴bn=n.
∴an=2n-1,bn=n.
(2)由(1)知,an=2n-1,bn=n,
∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1,①
∴2Tn=1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n,②
①-②,得-Tn=1+21+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=2n-1-n×2n,
∴Tn=(n-1)×2n+1.
17.(15分)为了保护环境,某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进,把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,处理成本y(单位:万元)与处理量x(单位:t)的函数关系近似地满足y=
当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本P(x)最少
解　由题意,可知二氧化碳每吨的平均处理成本P(x)=
①当x∈[10,30)时,P(x)=x2+,所以P'(x)=x-,当x∈(10,20)时,P'(x)<0,P(x)单调递减;当x∈(20,30)时,P'(x)>0,P(x)单调递增,所以当x=20时,P(x)取得最小值P(20)==48.
②当x∈[30,50]时,P(x)=x+-40≥2-40=40,当且仅当x=,即x=40时,P(x)取得最小值P(40)=40.
因为48>40,所以当处理量为40 t时,每吨的平均处理成本最少.
18.(17分)设k为正整数,若数列{an}满足a1=1,且(an+1-an)2=(n+1)k,则称数列{an}为“k次方数列”.
(1)设数列{an}为“2次方数列”,且数列为等差数列,求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}为“4次方数列”,且存在正整数m满足am=15,求m的最小值.
解　(1)因为数列{an}为“2次方数列”,
所以(an+1-an)2=(n+1)2,于是a2-a1=±2.
又a1=1,故a2=-1或a2=3.
当a2=3时,由数列为等差数列,得数列的首项为1,公差为,所以=1+(n-1)×(n+1),所以an=(n2+n),经检验,满足题意;
当a2=-1时,由数列为等差数列,得数列的首项为1,公差为-,所以=1-(n-1)=-n+,所以an=-n2+n,经检验,不满足题意,舍去.
综上所述,数列{an}的通项公式为an=(n2+n).
(2)因为数列{an}为“4次方数列”,所以an+1-an=±(n+1)2,即an=1±22±32±…±n2.
因为am=15,当m≤3时,am的最大值是1+22+32=14,所以m≤3时不成立;
当m=4时,因为1±22±32±42等于-28,-20,-10,-2,4,12,22,30,所以m=4时不成立;
当m=5时,因为1-22+32-42+52=15,所以m的最小值为5.
综上所述,m的最小值为5.
19.(17分)已知函数f(x)=xeax-ex.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x>0时,f(x)<-1,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N+,求证:+…+>ln(n+1).
(1)解　当a=1时,f(x)=xex-ex,f'(x)=xex.
当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
故函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,在(-∞,0)内单调递减.
(2)解　函数g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1(x≥0),g(x)≤g(0)=0对任意x≥0恒成立.
又g'(x)=eax+axeax-ex,g'(0)=0.
令h(x)=g'(x),h'(x)=aeax+a(eax+axeax)-ex=a(2eax+axeax)-ex,
则h'(0)=2a-1.
①当h'(0)=2a-1>0,即a>时,h'(0)=>0,
所以 x0>0,使得当x∈(0,x0)时,有>0 g'(x)>0 g(x)单调递增 g(x0)>g(0)=0矛盾;
②当h'(0)=2a-1≤0,即a≤时,g'(x)=eax+axeax-ex=eax+ln(1+ax)-ex≤-ex≤-ex=0 g(x)在[0,+∞)内单调递减,g(x)≤g(0)=0,符合题意.
综上所述,实数a的取值范围为-∞,].
(3)证明　求导易得t->2ln t(t>1).
令t=,
则>2ln>ln>ln.
故ln=ln(×…×)=ln(n+1),
即+…+>ln(n+1).
得证.
10

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