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第二章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数f(x)=x2-,则f(x)在区间[1,2]上的平均变化率为(　　).
A.-1 B.3
C.2 D.4
解析:平均变化率为=(4-1)-(1-2)=4.
答案:D
2.若某种树木的高度h(t)(单位:m)与生长时间t(单位:年)之间的关系是h(t)=3t3+,则h'(2)的实际意义为(　　).
A.t=2时树木高度的瞬时变化率
B.t=2时树木的高度
C.t=2是h(t)的极值点
D.t=2时h(t)取最大值
答案:A
3.已知函数g(x)=cos6x-+ln(2x+5)-x,则[g'(0)]'等于(　　).
A.- B.0
C. D.7
解析:∵g'(0)为一个常数,
∴[g'(0)]'=0.
答案:B
4.下列各式正确的是(　　).
A.(sin a)'=cos a(a为常数)
B.(cos x)'=sin x
C.(sin x)'=cos x
D.(x-5)'=-x-6
解析:由导数公式知选项A中(sin a)'=0;选项B中(cos x)'=-sin x;选项D中(x-5)'=-5x-6.
答案:C
5.若函数f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为(　　).
A.0 B.2
C.1 D.-1
解析:f'(x)=x2-2f'(1)·x-1,则f'(1)=12-2f'(1)×1-1,解得f'(1)=0.
答案:A
6.函数f(x)=2x+ex-4的单调递增区间为(　　).
A.(-∞,+∞) B.(-∞,1)
C.(0,+∞) D.-,4
解析:函数f(x)的定义域为R.
∵f'(x)=2+ex>0,
∴f(x)在R上单调递增.
答案:A
7.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如下图所示,则等于(　　).
(第7题)
A. B.
C. D.
解析:由函数f(x)的图象可知,
∴
解得b=-1,c=-2,d=0.
∴f(x)=x3-x2-2x,
从而f'(x)=3x2-2x-2.
∵x1与x2是函数f(x)的极值点,
∴x1,x2是方程f'(x)=0的根,
∴x1+x2=,x1x2=-.
∴=(x1+x2)2-2x1x2=.
答案:C
8.已知函数f(x)=+ln x(a∈R)有两个不相同的零点,则a的取值范围为(　　).
A.(0,) B.(0,]
C.(,+∞) D.(e,+∞)
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=.
①当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,不符合题意;
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=a;
当0a时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(a,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=a处取得极小值,也是最小值f(a),依题意知f(a)<0.
由f(a)=1+ln a<0,得0由于a<1,f(1)=a>0,函数f(x)在区间(a,+∞)上单调递增,
故f(x)在区间(a,+∞)上有唯一的一个零点.
因为0所以0f(a2)=+ln a2=+2ln a,
令g(a)=+2ln a,
当0所以f(a2)=g(a)>g=e-2>0.
又f(a)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,
所以f(x)在区间(0,a)上有唯一的一个零点.
综上,当a∈时,函数f(x)有两个不同的零点.
答案:A
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.如图是导函数y=f'(x)的图象,则下列说法错误的是(　　).
(第9题)
A.(-1,3)为函数y=f(x)的单调递增区间
B.(0,3)为函数y=f(x)的单调递减区间
C.函数y=f(x)在x=0处取得极大值
D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值
解析: 由题图可知,当x<-1时,f'(x)<0,故f(x)单调递减;
当x∈(-1,3)时,f'(x)>0,故f(x)单调递增;
当x∈(3,5)时,f'(x)<0,故f(x)单调递减;
当x>5时,f'(x)>0,故f(x)单调递增,且f'(-1)=0,f'(3)=0,f'(5)=0,则该函数在x=-1和x=5处取得极小值;
在x=3处取得极大值.
答案:BC
10.已知函数f(x)=x3-x+1,则(　　).
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
解析:∵f(x)=x3-x+1,
∴f'(x)=3x2-1.
由3x2-1=0,得x=或x=-.
∴f(x)有2个极值点-,且在区间(-∞,-)内单调递增,在区间(-)内单调递减,在区间(,+∞)内单调递增.
又f=1->0,当x=-2时,f(-2)=-5<0,而f>f>0,
∴f(x)只在区间(-2,-)内存在一个零点,
∴f(x)只有一个零点.
∵f(x)+f(-x)=2,
∴点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心.
由f'(x)=3x2-1=2,解得x=±1,
∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1;
曲线y=f(x)在点(-1,1)处的切线方程为y-1=2(x+1),即y=2x+3.
∴直线y=2x与曲线y=f(x)不相切.
故选AC.
答案:AC
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=e-x(x-1).则下列结论正确的是(　　).
A.f(-1)=0
B.函数f(x)有3个零点
C.若关于x的方程f(x)=m有解,则实数m的取值范围是{m|f(-2)≤m≤f(2)}
D. x1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<2恒成立
解析:f(-1)=-f(1)=0,故A正确.
当x>0时,f(x)=,所以f'(x)=.令f'(x)=0,解得x=2,当00;当x>2时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故当x=2时,函数f(x)取得极大值e-2,且e-2>0.
当0当x>2时,f(x)=>0,所以函数f(x)在(2,+∞)上没有零点,所以函数f(x)在(0,+∞)上仅有一个零点,函数f(x)是定义在R上的奇函数,故函数f(x)在(-∞,0)上仅有一个零点-1.又f(0)=0,故函数f(x)在R上有3个零点.故B正确.作出函数f(x)的大致图象,
(第11题)
由图可知,若关于x的方程f(x)=m有解,则实数m的取值范围是{m|-1由图可知,对任意x1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<|1-(-1)|=2.故D正确.
答案:ABD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出一个定理:
如果函数y=f(x)满足如下条件:
(1)在闭区间[a,b]上是连续不断的;
(2)在区间(a,b)上都有导数.
那么在区间(a,b)上至少存在一个实数t,使得f(b)-f(a)=f'(t)(b-a),其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)=x2在区间[0,1]上的“拉格朗日中值”t=　　　　　.
解析:因为g(x)=x2,所以g'(x)=2x,结合“拉格朗日中值”的定义可得g'(t)==1,所以g'(t)=2t=1,解得t=.
答案:
13.在直径为d的圆木中,截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁,则矩形面的长为　　　　　.(强度与bh2成正比,其中h为矩形的长,b为矩形的宽)
解析:截面如图所示,设抗弯强度系数为k,抗弯强度为ω,
(第13题)
则ω=kbh2(k>0).
∵h2=d2-b2,
∴ω=kb(d2-b2)=-kb3+kd2b,ω'=-3kb2+kd2.
令ω'=0,则b2=,
解得b=d或b=-d(舍去).
由函数ω的单调性,得当b=d时,函数ω取得极大值也是最大值,此时,h=d.
答案:d
14.已知函数f(x)=x-ln(x+a),若a=2,则f'(0)=　　　　　;若f(x)的最小值为0,其中a>0,则a的值为　　　　　.
解析:f(x)的定义域为(-a,+∞),
f'(x)=1-.
当a=2时,f'(x)=1-,
故f'(0)=1-.
由f'(x)=0,
解得x=1-a>-a.
当-a当x>1-a时,f'(x)>0,f(x)在区间(1-a,+∞)上单调递增.
因此,f(x)在x=1-a处取得最小值,由题意知f(1-a)=1-a=0,故a=1.
答案:　1
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=x3-+2.
(1)求函数f(x)在区间[1,4]上的平均变化率;
(2)求曲线y=f(x)在点(1,2)处切线的斜率.
解:(1)平均变化率为.
(2)由f(x)=x3-+2,得f'(x)=3x2+,所以切线的斜率k=f'(1)=3×12+.
16.(15分)求函数y=f(x)=x4-2x2+2在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
解:由y=x4-2x2+2,得y'=4x3-4x=4x(x+1)(x-1),令y'=0,得x=-1或x=0或x=1.
∵f(-1)=1,f(0)=2,f(1)=1,f(-3)=65,f(3)=65,
∴函数y=f(x)=x4-2x2+2在区间[-3,3]上的最大值为65,最小值为1.
17.(15分)已知函数f(x)=+ln x.
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求正实数a的取值范围;
(2)当a>0时,讨论函数f(x)在区间(,2)上的单调性.
解:(1)由已知得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(a>0).
依题意≥0对x∈[1,+∞)恒成立,即ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立,也即a≥对x∈[1,+∞)恒成立,
故a≥=1,即a≥1.
(2)f'(x)=(a>0),
令f'(x)<0,得x<;
令f'(x)>0,得x>.
故函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增.
①当,即a≥2时,函数f(x)在区间(,2)上单调递增.
②当≥2,即0③当<2,即18.(17分)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,求证:f(x)≤--2.
(1)解:由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+2a+1=.
若a≥0,则f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若a<0,则当x∈(0,-)时,f'(x)>0;
当x∈(-,+∞)时,f'(x)<0.
故函数f(x)在区间(0,-)上单调递增,在区间(-,+∞)上单调递减.
(2)证明:由(1)知,当a<0时,函数f(x)在x=-处取得极大值,也是最大值,所以f(x)≤f,最大值为f=ln-1-.
设g(a)=f-(--2)=ln(-)++1(a<0),则g'(a)=.
令g'(a)=0,得a=-;
令g'(a)<0,得-令g'(a)>0,得a<-,所以函数g(a)在区间(-∞,-)上单调递增;
在区间(-,0)上单调递减.
所以函数g(a)在a=-处取得极大值,也是最大值,最大值为g=0.
所以g(a)≤0在a<0时恒成立,即f≤--2在a<0时恒成立.
所以f(x)≤f≤--2(a<0),不等式成立.
19.(17分)函数f(x)=(a∈R).
(1)当a=e时,试求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间(0,1)上有极值,试求a的取值范围.
解:(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=e时,f(x)=,则f'(x)=.
令m(x)=ex-ex,x>0,则m'(x)=ex-e.
当x∈(0,1)时,m'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,m'(x)>0.
∴m(x)在区间(0,1)上单调递减;在区间(1,+∞)上单调递增.
∴m(x)≥m(1)=0,即对任意的x∈(0,+∞),ex-ex≥0恒成立,
∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞);单调递减区间为(0,1).
(2)若f(x)在区间(0,1)上有极值,则f'(x)在区间(0,1)上有零点.
由f'(x)==0,得ex-ax=0,
则a=.
设g(x)=,则当x∈(0,1)时,g'(x)=<0恒成立,
∴g(x)在区间(0,1)上单调递减,
∴g(x)>g(1)=e.
∴当a>e时,方程f'(x)=0在区间(0,1)上有解.
设h(x)=ex-ax,
则h'(x)=ex-a,
当a>e时,h'(x)<0对x∈(0,1)恒成立,
∴h(x)在区间(0,1)上单调递减.
又h(0)=1>0,h(1)=e-a<0,
∴h(x)=0在区间(0,1)上有唯一解x0.
当x∈(0,x0)时,f'(x)<0;
当x∈(x0,1)时,f'(x)>0,
∴当a>e时,f(x)在区间(0,1)上有唯一极值;当a≤e时,f(x)在区间(0,1)上单调递减,不存在极值.
综上所述,a∈(e,+∞).
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