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第一章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列{an}中,“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:在等差数列中,由a10,所以an+1=an+d>an,即an反过来,由an0,所以a3=a1+2d>a1,即a1在等差数列{an}中,“a1答案:C
2.如果-4,a,b,c,-16成等比数列,那么(　　).
A.b=8,ac=64
B.b=-8,ac=64
C.b=8,ac=-64
D.b=-8,ac=-64
解析:∵b2=(-4)×(-16)=64=ac,b与首项-4同号,∴b=-8.
答案:B
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=170,则a7+a9+a11的值为(　　).
A.10 B.20
C.25 D.30
解析:∵S17=17a9=170,∴a9=10,
∴a7+a9+a11=3a9=30.
答案:D
4.在等比数列{an}中,anA.6 B.
C. D.
解析:∵a4a9=a2a11=6,
又a4+a9=5,且an∴a4=2,a9=3,
∴q5=,
∴.
答案:B
5.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+…+=2+…+时,若已假设当n=k(k≥2,且为偶数)时,命题为真,则还需要用归纳假设再证(　　).
A.当n=k+1时,等式成立
B.当n=k+2时,等式成立
C.当n=2k+2时,等式成立
D.当n=2(k+2)时,等式成立
解析:因为假设n=k(k≥2,且为偶数),所以下一个偶数为k+2,故选B.
答案:B
6.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题,“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例为“衰分比”.现有38石粮食,按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”,已知甲分得18石粮食,则“衰分比”为(　　).
A. B.
C. D.
解析:设“衰分比”为q,则18+18q+18q2=38,解得q=或q=-(舍去).
答案:A
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,Sn=x·3n-1-,则x的值为(　　).
A. B.-
C. D.-
解析:a1=S1=x-,
a2=S2-S1=3x--x+=2x,
a3=S3-S2=9x--3x+=6x.
∵数列{an}为等比数列,
∴=a1a3,
∴4x2=6x,
解得x=(x=0舍去).
答案:C
8.把正整数按一定的规律排成三角形数阵,如图所示.设aij(i,j∈N+)是这个三角形数阵中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8,若aij=2 015,则i与j的和为(　　).
(第8题)
A.109 B.110
C.111 D.112
解析:由数阵知第一行有1个奇数,第3行有3个奇数,第5行有5个奇数,……第61行有61个奇数,故前61行共有1+3+5+…+61==961个奇数.而2 015是数阵中的第1 008个奇数,故2 015应是第63行中的第47个数,则i+j=63+47=110.
答案:B
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则下列式子正确的是(　　).
A.an=2n-5
B.an=3n-10
C.Sn=n2-4n
D.Sn=n2-2n
解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
由a5=5,S4=0可得
解得
所以an=-3+2(n-1)=2n-5,Sn=n×(-3)+×2=n2-4n.
答案:AC
10.已知数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n-1an=(23-3n)·2n-23.令bn=,Sn是数列{bn}的前n项积,Tn=a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2,则(　　).
A.a5-a3=-6
B.{bn}为单调递增的等比数列
C.当n=6时,Sn取得最大值
D.当n=6时,Tn取得最大值
解析　对于A,当n=1时,a1=17,当n≥2时,a1+2a2+4a3+…+2n-2an-1=(26-3n)2n-1-23,则2n-1an=(20-3n)2n-1,即an=20-3n.
又a1=17满足an=20-3n,所以an=20-3n.则a5-a3=-6,A正确.
对于B,=220-3n,所以{}为单调递减的等比数列,B错误.
对于C,由题可知b6>1,且b7<1,所以当n=6时,Sn取得最大值,C正确.
对于D,又因为a1a2a3>0,a2a3a4>0,a3a4a5>0,a4a5a6>0,a5a6a7<0,a6a7a8>0,a7a8a9<0,a8a9a10<0,…,且a5a6a7+a6a7a8=a6a7(a5+a8)=a6a7(a6+a7)<0,所以当n=4时,Tn最大,D错误.
答案　AC
11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,且S2=4a1,a2是a1+1与a3的等差中项,数列{bn}满足bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,则下列说法正确的是(　　).
A.数列{an}的通项公式为an=3n-1
B.Sn=3n-1
C.Tn=
D.Tn的取值范围是[)
解析　S2=a1+a2=4a1,
所以a2=3a1,q==3,
又2a2=a3+(a1+1),
即6a1=a1+(a1+1),a1=2.
所以an=2×3n-1,A错误;
Sn==3n-1,B正确;
bn=,Tn=()+()+…+()=,C正确;
易知Tn=是关于n的递增函数,所以Tn≥T1=.
又Tn<,所以Tn∈[),D正确.
答案　BCD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　　.
解析　由等比数列的性质可知a10a11+a9a12=2e5 a1a20=e5,于是a1a2·…·a20=(e5)10=e50,故ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2·…·a20)=ln e50=50.
答案　50
13.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i行第j列的数为ai,j(i,j∈N+),则
(1)a9,9=　　　　　;
(2)表中的数82共出现　　　　　次.
2 3 4 5 6 7 …
3 5 7 9 11 13 …
4 7 10 13 16 19 …
5 9 13 17 21 25 …
6 11 16 21 26 31 …
7 13 9 25 31 37 …
… … … … … … …
解析　(1)a9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2,……第9行的公差为9,设第9行的首项b1=10,则b9=10+8×9=82,所以a9,9=82.
(2)第1行数组成的数列a1,j(j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,
所以a1,j=2+(j-1)·1=j+1,第i行数组成的数列ai,j(j=1,2,…)是以i+1为首项,公差为i的等差数列,
所以ai,j=(i+1)+(j-1)i=ij+1,
由题意ai,j=ij+1=82,
即ij=81,且i,j∈N+,
所以81=81×1=27×3=9×9=3×27=1×81,
故表格中82共出现5次.
答案　(1)82　(2)5
14.已知数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=　　　　　.
解析　当n为偶数时,有an+2+an=3n-1,
则(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92,
因为前16项和为540,所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448.
当n为奇数时,有an+2-an=3n-1,由累加法得an+2-a1=3(1+3+5+…+n)-n2+n+,所以an+2=n2+n++a1,
所以a1+(×12+1++a1)+(×32+3++a1)+(×52+5++a1)+ (×72+7++a1)+(×92+9++a1)+(×112+11++a1)+(×132+13++a1)=448,
解得a1=7.
答案　7
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知数列{an}是首项为1的等差数列,且公差不为零.而等比数列{bn}的前三项分别是a1,a2,a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若b1+b2+…+bk=85,求正整数k的值.
解　(1)设数列{an}的公差为d,
∵a1,a2,a6成等比数列,
∴=a1·a6,
∴(1+d)2=1×(1+5d),
∴d2=3d,
∵d≠0,
∴d=3,
∴an=1+(n-1)×3=3n-2.
(2)数列{bn}的首项为1,公比q==4.
∵b1+b2+…+bk=,
∴=85,
∴4k=256,
∴k=4,
∴正整数k的值为4.
16.(15分)用数学归纳法证明:1++…+1).
证明　(1)当n=2时,左边=1+,右边=2,左边<右边,不等式成立.
(2)假设当n=k时(k≥2,k∈N+),不等式成立,
即1++…+则当n=k+1时,有1++…++…+所以当n=k+1时不等式成立.
由(1)和(2)知,对于任意大于1的正整数n,不等式均成立.
17.(15分)已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,且满足Sn=2n+m(m∈R).
(1)求m的值及数列{an}的通项公式;
(2)设bn=|log2an-5|,求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)因为Sn=2n+m,
所以当n≥2时,Sn-1=2n-1+m,
所以an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).
因为数列{an}为等比数列,
所以an=2n-1.
因为a1=S1,
即21-1=21+m,
所以m=-1.
综上m=-1,an=2n-1.
(2)由(1)知bn=|n-6|,当1≤n≤6时,Tn=-·n=,
当n>6时,Tn=T6+·(n-6)=15+,
所以Tn=
18.(17分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且an和Sn满足4Sn=(an+1)2(n=1,2,3,…).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn;
(3)在(2)的条件下,对任意n∈N+,Tn>都成立,求整数m的最大值.
解　(1)∵4Sn=(an+1)2,①
∴4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2),②
①-②,得4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2.
∴4an=(an+1)2-(an-1+1)2.
化简得(an+an-1)(an-an-1-2)=0.
∵an>0,
∴an-an-1=2(n≥2).
由4a1=(a1+1)2,得a1=1,
∴{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)∵bn=),
∴Tn=+…+()]=.
(3)由(2)知Tn=,
Tn+1-Tn=)>0.
∴数列{Tn}是递增数列.
∴[Tn]min=T1=.
∴,
∴m<.
∴整数m的最大值是7.
19.(17分)已知数列{an}是等差数列,Sn为{an}的前n项和,且a10=19,S10=100;数列{bn}对任意n∈N+,总有b1·b2·b3·…·bn-1·bn=an+2成立.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)记cn=(-1)n,求数列{cn}的前n项和Tn.
解　(1)设{an}的公差为d,
则a10=a1+9d=19,S10=10a1+×d=100,
解得a1=1,d=2,
∴an=2n-1.
∴b1·b2·b3·…·bn-1·bn=2n+1,①
当n=1时,b1=3;
当n≥2时,b1·b2·b3·…·bn-1=2n-1,②
①÷②,得bn=(n≥2),
∵当n=1时,b1=3适合上式,
∴bn=(n∈N+).
(2)由已知cn=(-1)n,
得cn=(-1)n=(-1)n(),
则Tn=c1+c2+c3+…+cn
=-+…+(-1)n.
当n为偶数时,
Tn=-+…+(-1)n
=+…+
=-1+
=-.
当n为奇数时,
Tn=-+…+(-1)n
=+…+
=-1-
=-.
综上,Tn=
8

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