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综合测评(A)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是an=(　　).
A. B.cos
C.cos π D.cos π
答案　D
2.函数f(x)=在区间[1,4]上的平均变化率n与f(x)在x=1处的瞬时变化率m的大小关系为(　　).
A.m>n B.mC.m=n D.无法比较
解析　平均变化率
n==-.
又f(x)=+x-1,
∴f'(x)=-x-2,
∴m=f'(1)=-1=-.
∴n>m.
答案　B
3.当用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时,n取第一个值n0等于(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
4.已知曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线方程是y=-x+5,则f(5)与f'(5)分别为(　　).
A.5,-1 B.-1,5
C.-1,0 D.0,-1
解析　由题意可知f(5)=-5+5=0,f'(5)=-1.
答案　D
5.已知数列{an}是等差数列,公差d>0,a1+a5=6,a2a4=8,则a6=(　　).
A.2 B.4
C.6 D.8
解析　因为数列{an}是等差数列,a1+a5=6,所以a2+a4=6.又a2a4=8,公差d>0,所以a2=2,a4=4,d=1.所以a6=a4+2d=6.故选C.
答案　C
6.在由正数组成的等比数列{an}中,若a4a5a6=2,则a1a2…a8a9的值为(　　).
A.2 B.4
C.8 D.16
解析　根据等比数列的性质可得,a1a2…a8a9==()3=(a4a5a6)3=23=8,故选C.
答案　C
7.函数f(x)的图象如图所示,则下列关系正确的是(　　).
(第7题)
A.0B.0C.0D.0解析　由题图可知曲线在点B处的切线的斜率大于其在点A处的切线的斜率,且大于0,则有0函数f(x)从2到3的平均变化率为=f(3)-f(2),其几何意义为割线AB的斜率.
由题图可知0故选C.
答案　C
8.已知函数f(x)在R上可导,F(x)=f(x2-1)+f(1-x2),则F'(1)=(　　).
A.-4 B.-2
C.0 D.4
解析　因为F'(x)=2xf'(x2-1)-2xf'(1-x2),所以F'(1)=2f'(0)-2f'(0)=0.故选C.
答案　C
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S6>S7>S5,则下列说法正确的是(　　).
A.S11>0
B.S12<0
C.数列{Sn}中最大项为S11
D.|a6|>|a7|
解析　∵S6>S7>S5,
∴a6>0,a7<0,a6+a7>0.
∴S11=11a6>0,S12=12(a6+a7)>0,由a6>0,a7<0知,数列{Sn}中最大项为S6,因为a6>-a7>0,所以|a6|>|a7|.
答案　AD
10.已知数列{an}的首项为4,且满足2(n+1)an-nan+1=0(n∈N+),则下列结论正确的是(　　).
A.为等差数列
B.{an}为递增数列
C.{an}的前n项和Sn=(n-1)×2n+1+4
D.的前n项和Tn=
解析　由2(n+1)an-nan+1=0得=2×,
所以是以=a1=4为首项,2为公比的等比数列,故A错误;
因为=4×2n-1=2n+1,所以an=n×2n+1,显然递增,故B正确;
因为Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1,2Sn=1×23+2×24+…+n×2n+2,两式作差得-Sn=1×22+23+…+2n+1-n×2n+2=-n×2n+2,故Sn=(n-1)×2n+2+4,故C错误;
因为=n,所以的前n项和Tn=,故D正确.
答案　BD
11.已知函数f(x)=xln x,若0A.x2f(x1)B.x1+f(x1)C.<0
D.当ln x>-1时,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)
解析　设g(x)==ln x,函数单调递增,则g(x2)>g(x1),即,∴x1f(x2)>x2f(x1),故A正确.
设h(x)=f(x)+x,h'(x)=ln x+2不恒大于零,故h(x)不一定是增函数,故B错误.
f(x)=xln x,f'(x)=ln x+1不恒大于零,故f(x)不一定是增函数,故C错误.
ln x>-1,故f'(x)=ln x+1>0,函数单调递增.
故(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]=x1f(x1)+x2f(x2)-x2f(x1)-x1f(x2)>0,
即x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2).
=ln x2>=ln x1,x1f(x2)>x2f(x1),
即x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1),D正确.
故选AD.
答案　AD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.函数y=f(x)=|x|在x=-1处的导数f'(-1)=　　　　　,在区间[-1,1]上的平均变化率为　　　　　.
解析　∵当x<0时,f(x)=|x|=-x,
∴f'(x)=-1.
∴f'(-1)=-1.
在区间[-1,1]上的平均变化率为=0.
答案　-1　0
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,若首项为-1,且满足an+1=Sn-1,则Sn=　　　　　.
解析　因为an+1=Sn-1,所以Sn+1-Sn=Sn-1,即Sn+1=2Sn-1,所以Sn+1-1=2(Sn-1).
又S1=a1=-1,所以数列{Sn-1}是以-2为首项,2为公比的等比数列,所以Sn-1=(-2)×2n-1=-2n,所以Sn=1-2n.
答案　1-2n
14.若函数f(x)=ax3+x恰有3个单调区间,则实数a的取值范围为　　　　　.
解析　由函数f(x)=ax3+x,得f'(x)=3ax2+1.
若a≥0,则f'(x)>0恒成立,此时f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,不满足题意;
若a<0,由f'(x)>0,得-由f'(x)<0,得x<-或x>.
故当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-),单调递减区间为(-∞,-),(,+∞),满足题意.
故a的取值范围为(-∞,0).
答案　(-∞,0)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=x+(x>0),记函数f(x)从x=到x=2的平均变化率为.
(1)求的值;
(2)是否存在x0∈[,2],使得f'(x0)= 若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.
解　(1)由f(x)=x+(x>0),得=0.
(2)假设存在x0∈[,2],使得f'(x0)=.
∵f'(x)=1-,
∴f'(x0)=1-.
由f'(x0)==0,得1-=0,解得x0=±1.
又x0∈[,2],于是x0=1.
故存在x0=1∈[,2],使得f'(x0)=.
16.(15分)某数列的第一项为1,并且对所有的自然数n≥2,数列的前n项之积为n2.
(1)写出这个数列的前五项;
(2)求出这个数列的通项公式.
解　(1)已知a1=1,由题意得a1·a2=22,
∴a2=22.
∵a1·a2·a3=32,
∴a3=.
同理可得a4=,a5=.
因此这个数列的前五项为1,4,.
(2)当n≥3时,a1·a2·…·an=n2,
a1·a2·…·an-1=(n-1)2,两式相除,得an=.
又a2=22满足上式,
∴这个数列的通项公式为an=
17.(15分)某品牌电视生产厂家有A,B两种型号的电视机参加了家电下乡活动,若厂家对A,B两种型号的电视机的投放金额分别为p万元、q万元,农民购买电视机获得的补贴分别为p万元、ln q万元,已知A,B两种型号的电视机的投放总额为10万元,且A,B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元,请你制订一个投放方案,使得在这次活动中农民得到的补贴最多,最多补贴多少万元 (结果精确到0.1万元,参考数据:ln 4≈1.4)
解　设B型号的电视机的投放金额为x(1≤x≤9)万元,则A型号的电视机的投放金额为(10-x)万元,又设农民得到的补贴为y万元.
由题意得y=(10-x)+ln x=ln x-x+1(1≤x≤9),
∴y'=.
令y'=0,得x=4.
令y'>0,得1≤x<4;
令y'<0,得4∴函数y=ln x-x+1在区间[1,4)上单调递增,在区间(4,9]上单调递减.
∴当x=4时,y取得最大值,且ymax=ln 4-×4+1≈1.2,这时,10-x=6.
即厂家对A,B两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时,农民得到的补贴最多,最多补贴约为1.2万元.
18.(17分)已知函数f(x)=2x3-ax2+8.
(1)若f(x)<0对任意x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围;
(2)是否存在整数a,使得函数g(x)=f(x)+4ax2-12a2x+3a3-8在区间(0,2)上存在极小值 若存在,求出所有整数a的值;若不存在,请说明理由.
解　(1)当x∈[1,2]时,由f(x)<0,得a>=2x+.
设h(x)=2x+,x∈[1,2],则h'(x)=2-.
∵h'(x)≤0,
∴h(x)在区间[1,2]上是减函数,
∴h(x)max=h(1)=10.
∵f(x)<0对任意x∈[1,2]恒成立,即a>2x+对任意x∈[1,2]恒成立,
∴a>10,即实数a的取值范围为(10,+∞).
(2)假设存在整数a,使得函数g(x)在区间(0,2)上存在极小值.
∵g(x)=2x3+3ax2-12a2x+3a3,
∴g'(x)=6x2+6ax-12a2=6(x-a)(x+2a),
①若a=0,则g'(x)≥0,g(x)单调递增,无极值.
②若a>0,则当x<-2a或x>a时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当-2a∴当x=a时,g(x)取得极小值.
∵g(x)在区间(0,2)内有极小值,
∴0∴存在整数a=1满足题意.
③若a<0,则当x-2a时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当a∴当x=-2a时,g(x)取得极小值.
∵g(x)在区间(0,2)上有极小值,
∴0<-2a<2,得-1综上,存在整数a=1,使得函数g(x)在区间(0,2)上存在极小值.
19.(17分)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n.设集合M={a1-2,a2-2,a3-2,…,an-1-2},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n},n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当q=2,n=3时,求集合A中所有元素的和;
(3)设Tn=a1+a2q+…+anqn-1,当q=3时,求Tn.
解　(1)∵Sn=n2+2n,n∈N+,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1.
当n=1时,a1=S1=3满足上式,故数列{an}的通项公式为an=2n+1.
(2)当n=3时,a1-2=1,a2-2=3,则M={1,3}.
又q=2,所以由A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3},可得A={7,9,11,13,15,17,19,21},
故集合A中所有元素的和为S=×8=112.
(3)由an=2n+1及q=3,得Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1,①
两边同乘3,得3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n,②
①-②,得-2Tn=3+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)×3n=3+2×-(2n+1)×3n=-2n×3n,
故Tn=n×3n.
1

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