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4.2　导数的乘法与除法法则
课后训练巩固提升
1.曲线y=f(x)=在点M处的切线的斜率为(　　).
A.- B.
C.- D.
解析　∵y'=,
∴f'.
答案　B
2.曲线y=f(x)=x+xln x在点(1,1)处的切线方程为(　　).
A.2x+y-1=0
B.2x-y-1=0
C.2x+y+1=0
D.2x-y+1=0
解析　∵f'(x)=(x+xln x)'=1+x'ln x+x(ln x)'=1+ln x+1=2+ln x,∴f'(1)=2+ln 1=2,
∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
答案　B
3.若函数f(x)=excos x,则此函数图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为(　　).
A.0 B.锐角
C.直角 D.钝角
解析　∵f'(x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x),
∴f'(1)=e(cos 1-sin 1).
∵>1>,而由正、余弦函数性质可得cos 1∴f'(1)<0,
即f(x)的图象在(1,f(1))处的切线的斜率k<0.
∴切线的倾斜角是钝角.
答案　D
4.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(　　).
A. B.
C. D.
解析　由题意得tan α=k=y'==-1,
当且仅当ex=,即x=0时,等号成立.
∵ex>0,
∴y'=<0,
即tan α<0,
∴-1≤tan α<0.
∵α为切线的倾斜角,
∴≤α<π.
故选D.
答案　D
5.设函数y=xsin x+cos x的图象上的点(x0,y0)处的切线的斜率为k,若k=g(x0),则函数k=g(x0)的图象大致为(　　).
解析　∵y'=xcos x,
∴g(x0)=x0cos x0,g(x0)为奇函数,排除B,C.
又x0从正方向趋向于0时,g(x0)>0,排除D.
故选A.
答案　A
6.在等比数列{an}中,a1=2,a8=4.若函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8),则f'(0)=(　　).
A.26 B.29
C.212 D.215
解析　因为f'(x)=[x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]'=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]',所以f'(0)=a1a2…a8=(a1a8)4=84=212.
答案　C
7.若曲线f(x)=xsin x+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a=　　　　　.
解析　因为f'(x)=sin x+xcos x,
所以f'=sincos=1.
直线ax+2y+1=0的斜率为-,
根据题意得1×=-1,
解得a=2.
答案　2
8.已知f(x)=xex,则f'(1)=　　　　　;若过点A(a,0)的任意一条直线都不与该曲线C相切,则a的取值范围是　　　　　.
解析　∵f'(x)=(x+1)ex,
∴f'(1)=2e.
设点B(x0,x0)为曲线C上任意一点.
∵f'(x)=ex+xex=(x+1)ex,
∴曲线C在点B处的切线方程为y-x0=(x0+1)(x-x0).
根据题意,切线l不经过点A,则关于x0的方程0-x0=(x0+1)·(a-x0),
即-ax0-a=0无实根.
∴Δ=a2+4a<0,
解得-4答案　2e　(-4,0)
9.已知函数f(x)=excos x-x,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.
解　因为f(x)=excos x-x,
所以f'(x)=ex(cos x-sin x)-1,
所以f'(0)=0.
又因为f(0)=1,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
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