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6.1　函数的单调性
课后训练巩固提升
A组
1.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下面结论正确的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　
(第1题)
A.在区间(-2,1)上,函数f(x)单调递增
B.在区间(1,3)上,函数f(x)单调递减
C.在区间(4,5)上,函数f(x)单调递增
D.在区间(2,3)上,函数f(x)不是单调函数
解析:由f'(x)的图象知,在区间(-3,-2),(2,4)上,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,在区间(1,2),(4,5)上,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故选C.
答案:C
2.函数y=x·e-x的单调递减区间为(　　).
A.(-∞,0) B.(-∞,1)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
解析:y'=e-x-x·e-x=e-x(1-x),
由y'<0,得x>1.
因此,函数y=x·e-x的单调递减区间为(1,+∞).
答案:D
3.已知函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x),则f(x)的单调递减区间为(　　).
A.(-2,0) B.(-1,0)
C.(0,+∞) D.(0,1)
解析:函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=(x>-1).
令f'(x)<0,得-1答案:B
4.函数y=x3+ax2+bx-3(a,b∈R)在区间(-∞,1),(3,+∞)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减,则a+b的值为(　　).
A.-1 B.-2 C.1 D.2
解析:∵y'=x2+2ax+b,且原函数在区间(-∞,1),(3,+∞)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减,
∴1与3是关于x的方程x2+2ax+b=0的两根.
∴1+3=-2a,1×3=b,可得a=-2,b=3.
∴a+b=1.
答案:C
5.已知函数f(x),g(x)满足当x∈R时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,若a>b,则有(　　).
A.f(a)g(a)=f(b)g(b)
B.f(a)g(a)>f(b)g(b)
C.f(a)g(a)D.f(a)g(a)与f(b)g(b)的大小关系不定
解析:由题意知[f(x)g(x)]'>0,从而函数y=f(x)g(x)在R上是增函数,又a>b,所以f(a)g(a)>f(b)g(b).
答案:B
6.函数f(x)=xln(-x)的单调递减区间为　　　　　　　　;单调递增区间为　　　　　　　.
解析:函数f(x)的定义域为(-∞,0),
f'(x)=ln(-x)+x··(-1)=ln(-x)+1.
令f'(x)<0,得x>-;
令f'(x)>0,得x<-.
故函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
答案:
7.若函数f(x)=ex-ax-1在区间(-2,3)上为减函数,则a的取值范围为　　　　　.
解析:由题意知,f'(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立.
即a≥ex在x∈(-2,3)上恒成立.
∵-2当a=e3时,f'(x)=ex-e3在x∈(-2,3)上,f'(x)<0,即f(x)在(-2,3)上为减函数,∴a≥e3.
答案:[e3,+∞)
8.设p:函数f(x)=x3+2x2+mx+1在区间(-∞,+∞)上单调递增,q:m≥,则p是q的　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
解析:f'(x)=3x2+4x+m.若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0在区间(-∞,+∞)上恒成立,
由Δ≤0,得m≥,故p q;
反之,若m≥,则f'(x)≥0,且不恒等于0,即f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,故q p.
因此,p是q的充要条件.
答案:充要
9.设函数f(x)在区间(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x),若在区间(a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=x3+x2在区间(1,4)上为“凸函数”,则实数t的取值范围是　 .
解析:由f(x)=x3+x2可得f'(x)=x3-tx2+3x,f″(x)=3x2-2tx+3.
因为f(x)=x3+x2在区间(1,4)上为“凸函数”,所以当x∈(1,4)时,f″(x)=3x2-2tx+3<0恒成立,即t>恒成立.
令g(x)=.因为g'(x)=>0在区间(1,4)上恒成立,所以函数g(x)在区间(1,4)上单调递增,所以t≥g(4)=,所以实数t的取值范围是.
答案:
10.求函数f(x)=的单调区间.
解:∵2+cos x≠0,
∴函数f(x)的定义域为R.
f'(x)=.
令f'(x)=0,得cos x=-,
从而x=2kπ±,k∈Z.
当x∈(k∈Z)时,cos x>-,则f'(x)>0;
当x∈(k∈Z)时,cos x<-,则f'(x)<0,
故函数f(x)的单调递增区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z),单调递减区间为2kπ+,2kπ+(k∈Z).
B组
1.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　).
A.y=sin x B.y=xe2
C.y=x3-x D.y=ln x-x
解析:显然函数y=sin x在区间(0,+∞)上不单调,故排除A;
对于函数y=xe2,因为e2为大于零的常数,所以不用求导就知函数y=xe2在区间(0,+∞)上单调递增;
对于C,y'=3x2-1=3,
故函数在区间上单调递增,
在区间上单调递减;
对于D,y'=-1(x>0),故函数在区间(1,+∞)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增.故选B.
答案:B
2.(多选题)若函数y=exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数y=f(x)具有性质M.下列函数中,不具有性质M的是(　　).
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
解析:设函数g(x)=exf(x),对于A,g(x)=ex·2-x=x,在定义域R上为增函数,具有性质M.
对于B,g(x)=ex·x2,则g'(x)=x(x+2)ex,由g'(x)>0得x<-2或x>0,g(x)=ex·x2在定义域R上不是增函数,不具有性质M.
对于C,g(x)=ex·3-x=x在定义域R上是减函数,不具有性质M.
对于D,g(x)=excos x,则g'(x)=excosx+,g'(x)>0在定义域R上不恒成立,不具有性质M.
答案:BCD
3.设函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　).
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
解析:令F(x)=.∵f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,∴F(x)为奇函数.
F'(x)=,
∵当x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,
∴F'(x)>0,
∴函数F(x)在区间(-∞,0)上单调递增.
又F(3)==0,且F(-3)=-F(3)=0,
∴当x<-3时,F(x)<0;
当-30.
又F(x)为奇函数,
∴当03时,F(x)>0.
而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式(g(x)恒不为0),
∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).
答案:D
4.已知函数y=f(x)对任意的x∈-,满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(　　).
A.B.C.f(0)>2f
D.f(0)>
解析:因为函数y=f(x)对任意的x∈,满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0,
所以'=>0,
所以函数在区间上单调递增.
因为-<-<-,
所以,
即故A正确.
答案:A
5.已知在R上的可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)·f'(x)>0的解集为　 .
(第5题)
解析:由函数f(x)的图象可知,在区间(-∞,-1)上,f'(x)>0;在区间(-1,1)上,f'(x)<0;在区间(1,+∞)上,f'(x)>0.
由(x2-2x-3)f'(x)>0,得
解得x<-1或-13.
故不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)
6.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则实数b的取值范围是　　　　　　　　　　.
解析:若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则关于x的方程y'=-4x2+b=0有两个不相等的实数根.由Δ>0,得b>0.
答案:(0,+∞)
7.定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件:
①f'(-1)=0;
②f(x)的导函数是偶函数;
③f(x)在x=0处的切线与第一象限、第三象限的平分线垂直.
求函数y=f(x)的解析式和单调区间.
解:函数f(x)的导数f'(x)=3ax2+2bx+c.
已知f'(-1)=3a-2b+c=0.①
由f(x)的导函数是偶函数,得b=0.②
又f(x)在x=0处的切线与第一象限、第三象限的平分线垂直,所以f'(0)=c=-1.③
由①②③,得a=,b=0,c=-1,
即f(x)=x3-x+3.所以f'(x)=x2-1.
令f'(x)>0,得x<-1或x>1;令f'(x)<0,得-17

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