资源简介

6.2　函数的极值
课后训练巩固提升
A组
1.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)(　　).
(第1题)
A.无极大值点,有四个极小值点
B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点
D.有四个极大值点,无极小值点
解析:设y=f'(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值.
答案:C
2.(多选题) 函数y=f(x)的导数y'=f'(x)的图象如图所示,下列结论中正确的有(　　).
(第2题)
A.f(x)在区间(-3,1)上是增函数
B.x=-1是f(x)的极小值点
C.f(x)在区间(2,4)上是减函数,在区间(-1,2)上是增函数
D.x=2是f(x)的极小值点
解析:根据题图知,在区间(-1,2)和(4,+∞)上,f'(x)>0,函数单调递增;
在区间(-3,-1)和(2,4)上,f'(x)<0,函数单调递减,故A错误,C正确;
当x=-1时,f(x)取得极小值,故x=-1是f(x)的极小值点,故B正确;
当x=2时,f(x)取得极大值,故x=2不是f(x)的极小值点,故D错误.
答案:BC
3.(多选题)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(　　).
A.当a>1时,f(x)有三个零点
B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C.存在a,b使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
解析: 由题得,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).当a>1时,x∈(-∞,0),函数f(x)单调递增;x∈(0,a),函数f(x)单调递减;x∈(a,+∞),函数f(x)单调递增.又极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以f(x)有三个零点,A正确.
当a<0时,x=0是f(x)的极小值点,B错误.
任何三次函数不存在对称轴,C错误.
f(1+x)+f(1-x)=12x2-6ax2+6-6a,当a=2时,f(1+x)+f(1-x)=-6=2f(1),D正确.故选AD.
答案:AD
4.已知奇函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R,且a≠0)在x=处取得极值,则ac+2b的值为(　　).
A.3 B.-3 C.0 D.1
解析　∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),∴b=0,∴f'(x)=3ax2+c.
∵f(x)在x=处取得极值,
∴f'+c=0,
∴ac=-3,∴ac+2b=-3.
答案　B
5.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则(　　).
A.a<-1 B.a>-1
C.a<- D.a>-
解析:由题意知方程y'=ex+a=0有大于0的实根,
则a<0,ex=-a,从而x=ln(-a).
∵x>0,∴ln(-a)>0,
∴-a>1,∴a<-1.
答案:A
6.已知函数f(x)=sin x(1+cos x)(0解析:f'(x)=(2cos x-1)(cos x+1).
令f'(x)=0,得cos x=或cos x=-1.
又0当x在区间(0,π)上变化时,f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下表:
x (0,) (,π)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
故当x=时,f(x)有极大值.
答案:
7.已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是　　　　　.
解析　由已知得f'(x)=3x2-3a.
令f'(x)=0,解方程,得x=±.
由函数f(x)的单调性得,函数f(x)在x=-处取得极大值,在x=处取得极小值.
所以f(-)=6,f()=2,
即(-)3+3a+b=6,()3-3a+b=2,
解得a=1,b=4.
代入检验,知符合题意.
所以f'(x)=3x2-3.
令f'(x)<0,解得-1所以函数f(x)的单调递减区间是(-1,1).
答案:(-1,1)
8.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既存在极大值,又存在极小值,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.
解析:f'(x)=3x2+6ax+3(a+2).
要使函数f(x)满足题意,需方程f'(x)=0有两个不同的实根,即Δ=(6a)2-36(a+2)>0,解得a>2或a<-1.
答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)
9.已知函数f(x)=-x4+x3+ax2-2x-2在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
解:(1)由函数f(x)=-x4+x3+ax2-2x-2在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,可知当x=1时函数f(x)取得极小值,∴f'(1)=0.
∵f'(x)=-x3+2x2+2ax-2,
∴f'(1)=-1+2+2a-2=0,解得a=.
(2)由(1)知f(x)=-x4+x3+x2-2x-2,
∴f'(x)=-x3+2x2+x-2=-(x-1)(x+1)(x-2).
令f'(x)=0,解方程,得x1=-1,x2=1,x3=2.
根据x1,x2,x3列表分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∴函数f(x)有极大值f(-1)=-,f(2)=-,极小值f(1)=-.
B组
1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)为偶函数,且在区间(0,1)上存在极大值,则f'(x)的图象可能为(　　).
解析:∵f(x)是偶函数,∴f'(x)是奇函数.
函数f(x)在区间(0,1)上存在极大值,设极大值点为x=x0,即在区间(0,x0)上,f'(x)>0,在区间(x0,1)上,f'(x)<0,故选C.
答案:C
2.(多选题)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则(　　)
A.x=3是函数f(x)的极小值点
B.当0C.当1D.当-1f(x)
解析: ∵f(x)=(x-1)2(x-4),∴函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=3(x-1)(x-3).
令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1或x=3.
当x<1或x>3时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当1∴x=3是函数f(x)的极小值点,∴A正确.
当0当10,即f(2x-1)>-4,∴C正确.
当-1f(x),∴D正确.故选ACD.
答案: ACD
3.已知当函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时x的值分别为0和,则(　　).
A.a-2b=0 B.2a-b=0
C.2a+b=0 D.a+2b=0
解析:y'=3ax2+2bx,由题意知0和是方程3ax2+2bx=0的两根,
所以0+=-,所以a=-2b,即a+2b=0.
答案:D
4.若函数y=f(x)存在n-1(n∈N+)个极值点,则称y=f(x)为n折函数,例如f(x)=x2为2折函数.已知函数f(x)=(x+1)ex-x(x+2)2,则f(x)为(　　).
A.2折函数 B.3折函数
C.4折函数 D.5折函数
解析:f'(x)=(x+2)ex-(x+2)(3x+2)=(x+2)(ex-3x-2),令f'(x)=0,得x=-2或ex=3x+2.易知x=-2是f(x)的一个极值点.又ex=3x+2,结合函数图象(图象略),曲线y=ex与直线y=3x+2有两个交点.又e-2≠3×(-2)+2=-4,所以函数y=f(x)有3个极值点,则f(x)为4折函数.
答案:C
5.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为6,则实数a=　　　　　;
(2)若函数f(x)在区间(-1,3)上既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.
解析:(1)f'(x)=3x2+2ax+a+6,则f'(1)=3+2a+a+6=3a+9,由题意知,3a+9=6,解得a=-1.
(2)∵函数f(x)在区间(-1,3)上既有极大值又有极小值,∴方程f'(x)=3x2+2ax+a+6=0在区间(-1,3)上有两个不同的实数根.
∴解得-答案:(1)-1　(2)-,-3
6.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导数),给出下列结论:
(第6题)
①函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;
②函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增;
③函数f(x)在x=-处取得极大值;
④函数f(x)在x=1处取得极小值.
其中正确的是　　　　　.(填序号)
解析:对于①,由题图知,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,故f'(x)>0,
所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故①正确.
对于②,当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,故f'(x)<0;
当x∈(0,1)时,xf'(x)<0,故f'(x)<0.
所以当x∈(-1,0)∪(0,1)时,f'(x)<0,故函数f(x)在区间(-1,0),(0,1)上单调递减,故②错误.
对于③,由②知f(x)在区间(-1,0)上单调递减,
所以x=-不是极值点,故③错误.
对于④,f'(1)=0,且函数f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在x=1处取得极小值,故④正确.
故填①④.
答案:①④
7.设函数f(x)=x3-2x2+ax(a∈R)在其图象上一点A(2,f(2))处的切线的斜率为-1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间(b-1,b)上的极值.
解:(1)函数f(x)的导数f'(x)=x2-4x+a,由题意得f'(2)=-4+a=-1,所以a=3,故f(x)=x3-2x2+3x.
(2)由(1)知f'(x)=x2-4x+3.
令f'(x)=x2-4x+3=0,解方程,得x1=1,x2=3.
根据x1,x2列表分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下表:
x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值0 ↗
所以当b≤1或b-1≥3时,函数f(x)无极值;
当b-1<1,且b>1时,函数f(x)在x=1处取得极大值,此时函数无极小值;
当b-1<3,且b>3时,函数f(x)在x=3处取得极小值0,此时函数无极大值;
当b-1≥1,且b≤3时,函数f(x)无极值.
故当b∈(-∞,1]∪[2,3]∪[4,+∞)时,函数f(x)无极值;
当b∈(1,2)时,函数f(x)在x=1处取得极大值,此时函数无极小值;
当b∈(3,4)时,函数f(x)在x=3处取得极小值0,此时函数无极大值.
7

展开更多......

收起↑