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6.3　函数的最值
课后训练巩固提升
1.函数f(x)=x3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值为(　　).
A.-1 B.1 C.2 D.3
解析:f'(x)=3x2-3.令f'(x)=0,得x=±1.
∵f(-2)=-1,f(-1)=3,f(1)=-1,f(2)=3,
∴f(x)在区间[-2,2]上的最大值为3.
答案:D
2.已知函数f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是(　　).
A. B.
C. D.
解析:令f'(x)=2x3-6x2=0,得x=0或x=3.
根据函数的单调性,知函数f(x)在x=3处取得极小值也是最小值,且最小值为f(3)=3m-.
因为不等式f(x)+9≥0恒成立,
即f(x)≥-9恒成立,所以3m-≥-9,
解得m≥.故选A.
答案:A
3.若对任意的x>0,恒有ln x≤px-1(p>0),则p的取值范围是(　　).
A.(0,1] B.(1,+∞)
C.(0,1) D.[1,+∞)
解析:原不等式可化为ln x-px+1≤0,令f(x)=ln x-px+1,则函数f(x)的定义域为(0,+∞),故只需f(x)max≤0.
由f'(x)=-p,得函数f(x)在区间上单调递增;在区间上单调递减.
故f(x)max=f=-ln p,即-ln p≤0,解得p≥1.
答案:D
4.已知函数f(x)=-x3+3x在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是(　　).
A.(-1,) B.(-1,2)
C.(-1,2] D.(1,4)
解析　对函数f(x)进行求导,得f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1).当-10;当x<-1或x>1时,f'(x)<0.
所以函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,故在x=-1处函数f(x)取得极小值-2.
因为函数在区间(a2-12,a)端点处的函数值无法取到,所以区间(a2-12,a)上必存在极小值点x=-1,且此极小值点为最小值点.
由a2-12<-1又因为f(2)=-2,即函数f(x)在x=2处的函数值与在x=-1处的极小值相等,所以为了保证在区间(a2-12,a)上最小值在x=-1处取到,则a≤2.
答案:C
5.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为(　　).
A.1 B. C. D.
解析　根据题意画出函数的图象如图所示,可设|MN|=h(t)=t2-ln t(t>0).
(第5题)
h'(t)=2t-.
当0时,h'(t)>0,函数h(t)在此区间上单调递增.故当t=时,|MN|有最小值.
答案:D
6.(多选题)已知函数f(x)=excos x-x,下列结论正确的是(　　).
A.曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是y=1
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)在区间上的最小值为-
D.f(x)在区间上的最大值为2
解析:因为f(x)=excos x-x,所以f'(x)=ex(cos x-sin x)-1,f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
令h(x)=f'(x),h'(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.
当x∈时,h'(x)≤0,所以f'(x)在区间上单调递减,所以f'(x)≤f'(0)=0,所以f(x)在区间上单调递减.
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-.
答案:AC
7.函数y=f(x)=x-2在区间[0,4]上的最大值是　　　 ,最小值是　　　　　　　　.
解析:y'=1-(x∈(0,4)),令y'=0,得x=1.
∵f(0)=0,f(1)=-1,f(4)=0,∴函数y=x-2在区间[0,4]上的最大值为0,最小值为-1.
答案:0　-1
8.若不等式x2+-m≥0对任意x∈-∞,-恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.
解析:设y=x2+,则y'=2x-.
∵x≤-,∴y'<0,即函数y=x2+在区间上单调递减.
∴当x=-时,y取得最小值-.
∵x2+≥m恒成立,∴m≤-.
答案:
9.已知不等式对任意正实数x恒成立,则实数k的取值范围是　　　　　　　　.
解析　由题意可知kx>0,x>0,∴k>0.
(x>0)恒成立 ln(kx)≤x(x>0)恒成立 ln k≤x-ln x恒成立,
故只需ln k≤x-ln xmin.
设F(x)=x-ln x,x>0,则F'(x)=.
令F'(x)=0,得x=e.
当x>e时,F'(x)>0,函数F(x)在区间(e,+∞)上单调递增;当0所以函数F(x)在x=e处取得极小值,也是最小值,
所以F(x)min=F(e)=·e-ln e=0.
故ln k≤0,即0答案:(0,1]
10.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是　　　　　.(填序号)
①f(x)>0的解集是{x|0②f(-)是极小值,f()是极大值;
③f(x)没有最小值,也没有最大值.
解析:①∵ex>0,x∈R,∴f(x)>0等价于2x-x2>0,即x(x-2)<0,解得0∴f(x)>0的解集为{x|0②f'(x)=ex(2-x2).
令f'(x)=0,解得x=±;令f'(x)>0,解得-或x<-,函数f(x)在区间(-∞,-),(,+∞)上单调递减.
∴当x=-时,f(x)取得极小值;当x=时,f(x)取得极大值,故②正确.
(第10题)
③当x→+∞时,f(x)→-∞;当x→-∞时,f(x)→0.画出函数f(x)的大致图象,如图所示.可知f(x)没有最小值,但是有最大值,故③不正确.
综上可知①②正确.
答案:①②
11.已知函数f(x)=x--aln x.
(1)若f(x)无极值点,求实数a的取值范围;
(2)设g(x)=x+-(ln x)a,当a取(1)中的最大值时,求g(x)的最小值.
解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+.
由于f(x)无极值点,故x2-ax+1≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即a≤x+在区间(0,+∞)上恒成立,只需a≤x+min.
因为x+≥2(当x=1时取等号),即x+min=2,所以a≤2,即a的取值范围为(-∞,2].
(2)由(1)可知,a的最大值为2,当a=2时,g(x)=x+-(ln x)2,则函数g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=1--2ln x·.
设k(x)=x2-2xln x-1,x>0,则k'(x)=2x-2ln x-2=2(x-1-ln x).
设m(x)=ln x-x+1,x>0,则m'(x)=-1=.
当x∈(0,1)时,m'(x)>0,函数m(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,m'(x)<0,函数m(x)单调递减,
∴m(x)≤m(1)=0,即ln x≤x-1.
∴k'(x)≥0,∴k(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
又k(1)=0,∴当x∈(0,1)时,k(x)<0,
即g'(x)<0,函数g(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,k(x)>0,即g'(x)>0,函数g(x)单调递增.
故当x=1时,g(x)取得最小值,最小值为g(1)=2.
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