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7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题
课后训练巩固提升
1.设底面为正三角形的直棱柱的体积为V,那么当其表面积最小时,底面边长为(　　).
A. B.
C. D.2
解析:设底面边长为x,侧棱长为l,则V=x2·l,从而l=.
S表=2×x2+3xl=x2+.
S表'=x-.
令S表'=0,解得x=.
由函数S表=x2+的单调性,可得当x=时,表面积取得极小值也是最小值.
故选C.
答案:C
2.某公司生产某种产品,每年固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知年营业收入R与年产量x的关系是R(x)=则当年利润最大时,每年生产的产品是(　　).
A.100单位
B.150单位
C.200单位
D.300单位
解析:由题意得,年总成本为C(x)=20 000+100x,年利润为P(x)=R(x)-C(x)=
所以P'(x)=
当0≤x≤400时,令P'(x)=0,得x=300.
根据函数P(x)的单调性,可得当x=300时,年利润P(x)最大,最大值为25 000元,而当x>400时,年利润P(x)<20 000,
故当x=300时,年利润最大.
答案:D
3.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团优惠方案:达到100人的团体,每人收费1 000元.如果团体的人数超过100,那么每超过1人,每人收费降低5元,但团体人数不能超过180(不到100人不组团),要使旅行社收费最多,旅游团组团人数应为(　　).
A.130 B.140
C.150 D.160
解析: 设组团人数比100人多x人,则旅游团共有(100+x)人,每人收费(1 000-5x)元,其中0≤x≤80.
设旅行社收费y元,则y=(100+x)(1 000-5x)(0≤x≤80).
y'=(1 000-5x)+(100+x)(-5)=-10x+500,令y'=0,得x=50,当x∈(0,50)时,y'>0,函数y=(100+x)(1 000-5x)单调递增;当x∈(50,80)时,y'<0,函数y=(100+x)(1 000-5x)单调递减.
所以当x=50时,y取得极大值,也是最大值.
所以当组团人数为150时,旅行社收费最多.
答案:C
4.为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长为a米,高为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米,当a=　　　　　,b=　　　　　时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.(A,B孔的面积忽略不计)
(第4题)
解析:设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k(k>0)为比例系数.
根据题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),得b=(0于是y=.
令y'==0,得a=6或a=-10(舍去).
因为只有一个极值点,
所以此极值点即为最值点.
当a=6时,b=3,即当a为6,b为3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
答案:6　3
5.请你设计一个包装盒.如图,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上, 且是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.
(第5题)
(1)某客户要求包装盒的侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值
(2)某客户要求包装盒的容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
解:设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm.
由已知得a=x,h=(30-x),0(1)侧面积S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,所以当x=15时,S取得最大值.
(2)V=a2h=2(-x3+30x2),V'=6x(20-x).
令V'=0,得x=0(舍去)或x=20.
当x∈(0,20)时,V'>0,函数V=2(-x3+30x2)单调递增;
当x∈(20,30)时,V'<0,函数V=2(-x3+30x2)单调递减.
所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.
此时,即包装盒的高与底面边长的比值为.
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