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习题课——导数的概念及运算法则
课后训练巩固提升
1.函数f(x)可导,则等于(　　).
A.f'(x) B.f'(2) C.f(x) D.f(2)
答案:B
2.下列结论中正确的是(　　).
A.若y=cos,则y'=-sin
B.若y=sin x2,则y'=2xcos x2
C.若y=cos 5x,则y'=-sin 5x
D.若y=xsin 2x,则y'=xsin 2x
解析:对于A,y=cos,则y'=sin,故A错误;
对于B,y=sin x2,则y'=2xcos x2,故B正确;
对于C,y=cos 5x,则y'=-5sin 5x,故C错误;
对于D,y=xsin 2x,则y'=sin 2x+xcos 2x,故D错误.
故选B.
答案:B
3.设直线y=x+b是曲线y=f(x)=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为(　　).
A.ln 2-1 B.ln 2-2
C.2ln 2-1 D.2ln 2-2
解析　设切点坐标为(x0,ln x0)(x0>0),则f'(x0)=,即x0=2,∴切点坐标为(2,ln 2).
又切点在直线y=x+b上,
∴ln 2=1+b,即b=ln 2-1.
答案:A
4.已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,a=f',f'(x)是f(x)的导函数,则过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程为(　　).
A.3x-y-2=0
B.4x-3y+1=0
C.3x-y-2=0或3x-4y+1=0
D.3x-y-2=0或4x-3y+1=0
解析:由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,
得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x,
则a=f'=3-2sin +2cos =1.
∵点P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,∴b=1.
∴点P的坐标为(1,1).
由y=x3,得y'=3x2.
当P为切点时,切线的斜率k=3×12=3.
此时,切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
当P不是切点时,设切点坐标为(x0,),则切线的斜率k=3.
∴切线方程为y-=3(x-x0).
将点P的坐标代入切线方程,得1-=3(1-x0),
∴2-3+1=0,即2-2+1=0,
即(x0-1)2(2x0+1)=0,可得切点坐标为-,-,此时,切线方程为y+,
即3x-4y+1=0.
综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0,故选C.
答案:C
5.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f'(π)=,则φ=　　　　　;若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=　　　　　.
解析:f'(x)=-sin(x+φ).
由条件知,f'(π)=-sin(π+φ)=sin φ=, ∴sin φ=.
∵0<φ<π,∴φ=或φ=.
又f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sin(x+φ+),
若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,即0=2sin(φ+),∴φ+=kπ(k∈Z).
∵φ∈(0,π),∴φ=.
答案:
6.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线.令g(x)=xf(x),其中g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=　　　　　.
(第6题)
解析:由题图可知切点坐标为(3,1),将其代入直线l的方程得k=-,则f'(3)=-.
又因为g(x)=xf(x),
所以g'(x)=f(x)+xf'(x),
所以g'(3)=f(3)+3f'(3),
由题图可知f(3)=1,所以g'(3)=1+3×=0.
答案:0
7. 已知曲线y=f(x)=a(a>0)与曲线y=g(x)=ln 有公共点,且在公共点处的切线相同,求a的值.
解:设公共点的坐标为(m,ln )(m>0).
∵函数f(x)=a(a>0)的导函数f'(x)=,函数g(x)=ln x的导函数g'(x)=,
∴f'(m)=,g'(m)=.
由f'(m)=g'(m),
即(m>0),
得a=.
又ln=a=1,
∴=e,则a=.
8.若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y=f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,求实数a的值.
解:易知点O(0,0)在曲线y=f(x)=x3-3x2+2x上.
当O(0,0)是切点时,
由f'(x)=3x2-6x+2,得f'(0)=2,即直线l的斜率为2,故直线l的方程为y=2x.
由得x2-2x+a=0,
依题意Δ=4-4a=0,解得a=1.
当O(0,0)不是切点时,设直线l与曲线y=f(x)=x3-3x2+2x相切于点P(x0,y0),则y0=-3+2x0.
由f'(x)=3x2-6x+2,得直线l的斜率k=f'(x0)=3-6x0+2.①
又k=-3x0+2,②
联立①②,解得x0=或x0=0(舍去),k=-.
故直线l的方程为y=-x.
由得x2+x+a=0,
依题意Δ=-4a=0,解得a=.
综上,a=1或a=.
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