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习题课——用导数研究函数的单调性、极值、最值
课后训练巩固提升
1.函数y=x2-ln x的单调递减区间为(　　).
A.(-1,1] B.(0,1)
C.[1,+∞) D.(0,+∞)
解析:函数y=x2-ln x,则此函数的定义域为(0,+∞),y'=x-(x>0).
令y'<0,得0所以此函数的单调递减区间为(0,1).
答案:B
2. 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　).
(第2题)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
解析:由题图可知,f'(-2)=0,f'(2)=0,当x<-2时,f'(x)>0;当-2当12时,f'(x)>0.
由此可得函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
答案:D
3.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-axa>,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于(　　).
A. B. C. D.1
解析:由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.
已知当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-axa>.
因为a>,所以0<<2.
令f'(x)=-a=0,得x=,当00,函数f(x)在区间上单调递增;
当所以f(x)max=f=-ln a-1=-1,解得a=1.
答案:D
4.函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a(a,b∈R)在x=1处取得极大值10,则的值为(　　).
A.- B.-2
C.-2或- D.2或-
解析:f'(x)=3x2+2ax+b.
由题意得,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,①
f'(1)=3+2a+b=0,②
联立①②,得
当a=-2,b=1时,f'(x)=3x2-4x+1.
令f'(x)=0,解得x=或x=1,易知f(x)在x=1处取极小值.
故a=-2,b=1不符合题意.
当a=-6,b=9时,f'(x)=3x2-12x+9,令f'(x)=0,解得x=1或x=3,易知f(x)在x=1处取极大值.故a=-6,b=9满足题意.所以=-.
答案:A
5.设函数y=f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x2,则下面不等式在R上恒成立的是(　　).
A.f(x)>0 B.f(x)<0
C.f(x)>x D.f(x)解析:∵2f(x)+xf'(x)>x2(x≠0),
∴当x>0时,2xf(x)+x2f'(x)>x3>0;当x<0时,2xf(x)+x2f'(x)0时,[x2f(x)]'>0;当x<0时,[x2f(x)]'<0.
设F(x)=x2f(x)(x≠0),则函数F(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,
∴F(x)>F(0),即x2f(x)>0(x≠0),
∴f(x)>0(x≠0).
当x=0时,由题意知,2f(0)>0,即f(0)>0.
故f(x)>0在R上恒成立.
答案:A
6.函数y=2x-+6的极大值是　　　　　.
答案:3
7.已知函数f(x)=则函数f(x)的值域为　　　　　;若函数g(x)=f(x)-k有3个零点,则k的取值范围是　　　　　.
解析:因为f(x)=当x<1时,f(x)=(x+1)ex,则f'(x)=(x+2)ex,当x<-2时,f'(x)<0,当-20,即y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,1)上单调递增,则当x=-2时取得极小值,且f(-2)=-e-2.当x≥1时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,函数图象如图所示:
(第7题)
由函数图象可知函数的值域为[-1,+∞),函数g(x)=f(x)-k有3个零点,即y=f(x)的图象与直线y=k有3个交点,所以-e-2答案:[-1,+∞)　(-e-2,0)
8.设函数f(x)=ln x-ax2-bx,若x=1是f(x)的极大值点,则实数a的取值范围为　　　　　.
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-ax-b.
由f'(1)=0,得b=1-a.
所以f'(x)=-ax+a-1=.
①若a≥0,当00,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以x=1是f(x)的极大值点.
②若a<0,由f'(x)=0,得x=1或x=-.
因为x=1是f(x)的极大值点,
所以->1,解得-1综上,实数a的取值范围是(-1,+∞).
答案:(-1,+∞)
9.已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.
解　(1)当a=1时,f(x)=ex-x-1,
则切点为(1,e-2).
又f'(x)=ex-1,k=f'(1)=e-1,
故所求切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),
整理得(e-1)x-y-1=0.
(2)由题得,f'(x)=ex-a.
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,则f(x)在R上为增函数,无极值,所以a>0.
令f'(x)=0,得x=ln a.
当f'(x)<0时,x当f'(x)>0时,x>ln a,故函数f(x)在区间(-∞,ln a)上单调递减,在区间(ln a,+∞)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(ln a)=a-aln a-a3<0,即1-ln a-a2<0.
令g(x)=-x2-ln x+1,x>0,g'(x)=-2x-<0,所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
又g(1)=0,所以g(a)1,故a的取值范围为(1,+∞).
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