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第1课时　数列
课后训练巩固提升
A组
1.在数列{an}中,a1=1,an+1=-1(n∈N+),则a1+a2+a3+a4+a5=(　　).
A.-1 B.1
C.0 D.2
答案:A
2.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是(　　).
A.33 B.65
C.66 D.129
解析:设细胞数由先到后排列构成数列{an},则a1=2,an+1=2an-1,
∴=2,
∴数列{an-1}是首项为1,公比为2的等比数列,
∴an-1=1×2n-1.
∴an=2n-1+1,
∴a7=26+1=65.
答案:B
3.已知等比数列{an}的通项公式为an=2·3n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数(与an不相等),构成一个新的数列{bn},那么162是新数列{bn}的(　　).
A.第5项 B.第12项
C.第13项 D.第6项
解析:∵an=2×3n-1,
∴162=2×3n-1,解得n=5.
又每相邻两项之间插入两个数,
∴a5=b13.
答案:C
4.定义:称为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若数列{an}的前n项的“均倒数”为,则数列{an}的通项公式为(　　).
A.an=2n-1 B.an=4n-1
C.an=4n-3 D.an=4n-5
解析: ∵数列{an}的前n项的“均倒数”为,
∴数列{an}的前n项和Sn=(2n-1)n.
∴an=Sn-Sn-1=(2n-1)n-(2n-3)(n-1)(n≥2).
∴an=4n-3(n≥2),
当n=1时,a1=S1=1,满足an=4n-3.
∴an=4n-3(n∈N+).
答案:C
5.(多选题)已知数列{an}是等比数列,公比为q,则下列说法错误的是(　　).
A.若a1B.若a1C.若S3>S2,则a1D.若S3>S2,则a1>a2
解析:等比数列{an}中,q2>0,当a1但a4=a1q3和a5=a2q3不能判断大小(因为q3的正负不确定),故A错误;
当S3>S2时,a1+a2+a3>a1+a2,可得a3>0,即a1q2>0,可得a1>0,由于q不确定,不能确定a1,a2的大小,故C,D错误.
答案:ACD
6.在等差数列{an}中,a1解析　设等差数列{an}的公差为d,因为a10.
因为a3,a6为x2-10x+16=0的两个实根,
所以a3=2,a6=8,所以
解得
所以Sn=-2n+×2=n2-3n,an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)×2=2n-4.
答案:n2-3n　2n-4
7.在正项等比数列{an}中,已知a3=4,a4=a2+6.
(1)求数列{an}的前n项和Sn;
(2)对于(1)中的Sn,设b1=S1,且bn+1-bn=Sn(n∈N+),求数列{bn}的通项公式.
解:(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),
由a3=4及a4=a2+6得,4q=+6,
化简得2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-(舍去负值).
于是a1==1,所以Sn==2n-1,n∈N+.
(2)由已知b1=S1=1,bn+1-bn=Sn=2n-1(n∈N+),
所以当n≥2时,
由累加法得bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n-1+2n-2+…+21)-(n-1)+1=-n+2=2n-n.
又b1=1也适合上式,所以{bn}的通项公式为bn=2n-n,n∈N+.
8.已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)由题设得a1a4=a2a3=8,结合a1+a4=9,
可解得(舍去).
记公比为q.
由a4=a1q3得q=2,
故an=a1qn-1=2n-1.
(2)Sn==2n-1.
因为bn=,
所以Tn=b1+b2+…+bn=()+()+…+()==1-.
B组
1.已知数列{an}的前n项和是Sn,如果Sn=3+2an(n∈N+),那么这个数列一定是(　　).
A.等比数列
B.等差数列
C.除去第一项后是等比数列
D.除去第一项后是等差数列
解析:由题意知,a1=3+2a1,
即a1=-3.
∵Sn=2an+3,an=Sn-Sn-1=(2an+3)-(2an-1+3)(n≥2),
∴an=2an-1(n≥2),
∴=2(n≥2).
∴数列{an}是等比数列,公比为2.
答案:A
2.设数列{an}是等比数列(公比q≠-1),它的前n项和、前2n项和及前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式恒成立的是(　　).
A.X+Z=2Y
B.Y(Y-X)=Z(Z-X)
C.Y2=XZ
D.Y(Y-X)=X(Z-X)
解析　由题意,设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=X,S2n=Y,S3n=Z.因为数列{an}是等比数列(q≠-1),
所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,
即X,Y-X,Z-Y成等比数列,
所以(Y-X)2=X·(Z-Y).
整理,得Y2-XY=ZX-X2,
即Y(Y-X)=X(Z-X).
答案　D
3.(多选题)在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+),则下列说法正确的是(　　).
A.{an}是等差数列
B.{an}是递减数列
C.是等差数列
D.是递增数列
解析:因为an+1=,a1=1,所以an≠0,
所以,
即.
又a1=1,则=1,
所以是以1为首项,为公差的等差数列,且为递增数列.
所以+(n-1)×.
所以an=,
所以{an}不是等差数列,但为递减数列.
答案:BCD
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,若存在自然数p≥10,使得Sp=ap,则当n>p时,Sn与an的大小关系是(　　).
A.an>Sn B.an≥Sn
C.an解析:设数列{an}的公差为d.
∵Sp=ap,
∴Sp-ap=0,即Sp-1=0.
∵a1>0,∴d<0.
Sn=n2+(a1-)n,an=dn+(a1-d).
作出y=x2+x,y=dx+(a1-d)的图象如图所示,
(第4题)
由图象可知,当n>p时,an>Sn.
答案:A
5.已知公差不为零的正项等差数列{an}中,Sn为其前n项和,lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列,若a5=10,则S5=　　　　　.
解析:设{an}的公差为d,则d≠0.
由lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列,得2lg a2=lg a1+lg a4,
∴=a1a4,
即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.
又d≠0,故d=a1,
∴a5=5a1=10,
∴d=a1=2,
∴S5=5a1+×d=30.
答案:30
6.已知{an}是整数组成的数列,a1=1,且点(,an+1)(n∈N+)在函数y=x2+1的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+,求证:bnbn+2<.
(1)解:由已知得an+1=an+1,
∴数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列,
∴an=1+(n-1) ×1=n.
(2)证明　bn+1-bn==2n,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+2n-3+…+2+1==2n-1(n≥2).
当n=1时也符合,∴bn=2n-1.
∵bnbn+2-=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=-5×2n+4×2n=-2n<0,∴bnbn+2<.
7.已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,等差数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a3=7,a5+a7=26,
所以
解得
所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+×2=n2+2n.
即an=2n+1,Sn=n2+2n.
(2)由(1)知an=2n+1,
所以bn=,
所以Tn=,
即数列{bn}的前n项和Tn=.
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