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第2课时　导数及其应用
课后训练巩固提升
A组
1.若函数f(x)=α2-cos x,则f'(α)等于(　　).
A.sin α B.cos α
C.2α+sin α D.2α-sin α
答案:A
2.函数y=f(x)的导函数y'=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　).
(第2题)
解析:设导函数y'=f'(x)的图象与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1,x2,x3(其中x1<00,所以函数f(x)在(-∞,x1),(x2,x3)上单调递减,在(x1,x2),(x3,+∞)上单调递增,观察各选项,只有D选项符合.
答案:D
3.已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f'(x)>1,则f(x)>x的解集是(　　).
A.(0,1)
B.(-1,0)∪(0,1)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:不等式f(x)>x可化为f(x)-x>0.
设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1,由题意知g'(x)=f'(x)-1>0,∴函数g(x)在R上单调递增.
又g(1)=f(1)-1=0,∴g(x)>g(1),
即f(x)-x>0的解集为(1,+∞).故选C.
答案:C
4.经过点(2,0)且与曲线y=相切的直线方程为　　　　　　　　　　.
解析:设切点坐标为(x0,),x0≠0,则=-,解得x0=1,所以切点为(1,1),斜率为-1.
故直线方程为x+y-2=0.
答案:x+y-2=0
5.若函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.
解析:f'(x)= (ax-)'=a+,由题意得,a+≥0对x∈(0,+∞)恒成立,即a≥-对x∈(0,+∞)恒成立,所以a≥0.
答案:[0,+∞)
6.某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒,其表面积为定值S.若罐头盒的底面半径为r,则罐头盒的体积V与r之间的函数关系式为　　　　　　　　　　　　　;当r=　　　　　时,罐头盒的体积最大.
解析:由题意得,罐头盒的高h=,则V=πr2·Sr-πr3(0V'=S-3πr2.
令V'=0,得r=,令V'>0,得0所以函数V=Sr-πr3在区间(0,)上单调递增,在区间()上单调递减.
故当r=时,V最大.
答案:V=Sr-πr3(07.求下列函数的导数:
(1)y=sin x-x+1;
(2)y=-2ex·x3;
(3)y=-2x.
解:(1)y'=(sin x-x+1)'=cos x-1.
(2)y'=(-2ex·x3)'=(-2ex)'·x3+(-2ex)·(x3)'=-2exx3-6x2ex.
(3)y'=(-2x)'=()'-(2x)'=
-2xln 2=-2xln 2.
8.设函数f(x)=aln x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
解:(1)因为f(x)=aln x+x+1,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.
由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线的斜率为0,则f'(1)=a-=0,解得a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-ln x+x+1(x>0),f'(x)=-.
令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-(舍去).
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.
B组
1.已知函数f(x)=xln x,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于(　　).
A.1 B.2 C.±1 D.e
解析:因为函数f(x)=xln x,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1,于是有x0ln x0+ln x0+1=1,解得x0=1或x0=-1(舍去),故选A.
答案:A
2.设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　).
A.(1,2] B.[4,+∞)
C.(-∞,2] D.(0,3]
解析:易知f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=x-.又x>0,由f'(x)=x-≤0,得0因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,所以解得1答案:A
3.函数f(x)=的图象为(　　).
解析:因为f(x)=,所以f'(x)=.
当x<1时,f'(x)>0,函数f(x)=在区间(-∞,1)上单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减,只有选项A中图象符合,故选A.
答案:A
4.若函数f(x)在区间(0,+∞)上可导,且满足f(x)>-xf'(x),则一定有(　　).
A.函数F(x)=在区间(0,+∞)上单调递增
B.函数F(x)=在区间(0,+∞)上单调递减
C.函数G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递增
D.函数G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递减
解析　G(x)=xf(x),则x>0时,G'(x)=xf'(x)+f(x)>0,故G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故选C.
答案:C
5.已知a∈R,设函数f(x)=若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为(　　).
A.[0,1] B.[0,2]
C.[0,e] D.[1,e]
解析　当x≤1时,f(x)=x2-2ax+2a≥0恒成立,且f(x)的图象关于x=a对称,
所以当a≥1时,f(x)min=f(1)=1>0恒成立,当a<1时,f(x)min=f(a)=2a-a2≥0,解得0≤a<1.
综上,a≥0.
当x>1时,由f(x)=x-aln x≥0恒成立,即a≤恒成立.设g(x)=,则g'(x)=.
令g'(x)=0,得x=e,且当1e时,g'(x)>0,g(x)min=g(e)=e,故a≤e.
综上,a的取值范围是[0,e].
答案:C
6.已知函数y=f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示,记k1=f'(1),k2=f'(2),k3=f(2)-f(1),则k1,k2,k3之间的大小关系为　　　　　　　.(请用“>”连接)
(第6题)
解析:由导数的几何意义可知k1=f'(1)与k2=f'(2)分别表示曲线在点A与点B处的切线的斜率,而k3=f(2)-f(1)=表示直线AB的斜率,结合图象知k1>k3>k2.
答案:k1>k3>k2
7.设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.试用t表示实数a,b,c.
解:因为函数f(x),g(x)的图象都过点(t,0),
所以f(t)=0,即t3+at=0.
因为t≠0,所以a=-t2.
由g(t)=0,得bt2+c=0,即c=ab.
又因为函数f(x),g(x)的图象在点(t,0)处有相同的切线,所以f'(t)=g'(t).
而f'(x)=3x2+a,g'(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.
将a=-t2代入上式得b=t,从而c=ab=-t3.
故a=-t2,b=t,c=-t3.
8.设函数f(x)=ln x-a(x-1)ex,其中a∈R.
(1)若a≤0,讨论f(x)的单调性;
(2)若0(1)解:由已知得函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-[aex+a(x-1)ex]=.
因为当a≤0时,1-ax2ex>0,从而f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
(2)证明:由(1)知,f'(x)=.
设g(x)=1-ax2ex(x>0).
因为g'(x)=-axex(2+x),且0又g(1)=1-ae>0,且ln >1,g(ln)=1-a(ln )2=1-(ln )2<0,所以方程g(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解,从而f'(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解,不妨设为x0,则1当x∈(0,x0)时,f'(x)==0,
所以f(x)在区间(0,x0)上单调递增;
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)==0,所以f(x)在区间(x0,+∞)上单调递减,因此x0是函数f(x)的极大值点,也是唯一的极值点.
设h(x)=ln x-x+1(x>0),当x>1时,h'(x)=-1<0,则h(x)在区间(1,+∞)上单调递减,从而当x>1时,h(x)1时,ln x所以f(ln )=ln(ln )-a(ln -1)=ln(ln )-ln +1=h(ln )<0,
又因为f(x0)>f(1)=0,所以f(x)在区间(x0,+∞)上有唯一零点.
又因为f(x)在区间(0,x0)上有唯一零点1,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上恰有两个零点.
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