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§4　数列在日常经济生活中的应用
课后训练巩固提升
1.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3 L,下面3节的容积共4 L,则第5节的容积为(　　).
A.1 L B. L
C. L D. L
解析　设所构成的等差数列{an}的公差为d,
则有
解得
则a5=a1+4d=,
故第5节的容积为 L.
答案　B
2.中国的古建筑是美学和哲学的体现.如图1是某古建筑物中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步的比分别为=0.5,=k1,=k2,=k3,若k1,k2,k3是公差为0.1的等差数列,直线OA的斜率为0.725,则k3=(　　).
图1
图2
(第2题)
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
解析　不妨设OD1=DC1=CB1=BA1=1,则DD1=0.5,CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3.
由题意得=0.725,
即=0.725.
∵k1=k3-0.2,k2=k3-0.1,
∴=0.725.
解得k3=0.9.
故选D.
答案　D
3.一卷卷筒纸,其内圆直径为4 cm,外圆直径为12 cm,一共卷60层.若把各层都视为同心圆,π取3.14,则这个卷筒纸的长度约为　　　　m.(结果精确到个位)
解析　因为各层同心圆的直径构成等差数列,
所以l=πd1+πd2+…+πd60=60π×=480π≈1 507.2(cm)≈15 m.
答案　15
5.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
(1)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;
(2)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列.
(1)解　根据题意知Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2).
(2)证明　T1=a1,对n≥2反复使用上述关系式,得
Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an,①
在①式两端同乘1+r,得
(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r),②
②-①,得rTn=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)]-an=[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-an.
即Tn=(1+r)n-n-.
记An=(1+r)n,Bn=-n,则Tn=An+Bn.
其中{An}是以(1+r)为首项,以1+r(r>0)为公比的等比数列;{Bn}是以-为首项,-为公差的等差数列.
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