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*§5　数学归纳法
课后训练巩固提升
1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步应验证(　　).
A.当n=1时,不等式成立
B.当n=2时,不等式成立
C.当n=3时,不等式成立
D.当n=4时,不等式成立
解析:由题意知n的最小值为3,所以第一步应验证当n=3时,不等式成立,故选C.
答案:C
2.已知f(n)=+…+,则(　　).
A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=
B.f(n)共有(n+1)项,当n=2时,f(2)=
C.f(n)共有(n2-n)项,当n=2时,f(2)=
D.f(n)共有(n2-n+1)项,当n=2时,f(2)=
解析:由题意知f(n)的最后一项的分母为n2,
故f(2)=,排除选项A,选项C.
又f(n)=+…+,
所以f(n)的项数为n2-n+1.
故选D.
答案:D
3.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1) 时,从n=k到n=k+1,左边需要增乘的代数式为(　　).
A.2k+1 B.2(2k+1)
C. D.
解析:当n=k时,等式左边为(k+1)(k+2)·…·(k+k),而当n=k+1时,等式左边为(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)·(k+3)·…·(k+k+2),前边少了一项(k+1),后边多了两项(k+k+1)(k+k+2),故增乘的代数式为=2(2k+1).
答案:B
4.用数学归纳法证明1++…+1)时,从n=k到n=k+1时,左端增加了　　　　　项.
解析:当n=k时左端有2k-1项,而当n=k+1时左端有2k+1-1项,所以左端增加2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2×2k-2k=2k项.
答案:2k
5.用数学归纳法证明+…+(n∈N+).假设n=k(k∈N+)时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 　.
答案:+…+
6.用数学归纳法证明“当n∈N+时,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数”时,当n=1时,原式为　　　　　;从n=k到n=k+1时需增添的项是　　　　　.
解析:当n=1时,原式应加到25×1-1=24,所以原式为1+2+22+23+24.
从n=k到n=k+1时需添25k+25k+1+…+25(k+1)-1.
答案:1+2+22+23+24　25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4
7.用数学归纳法证明:+…+<1-(n≥2,n∈N+).
证明:(1)当n=2时,左边=,右边=1-.
因为,所以不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,
即+…+<1-,
则当n=k+1时,
+…+<1-=1-=1-<1-=1-.
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)知,对任意n≥2的正整数,不等式都成立.
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