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1.2　数列的函数特性
课后训练巩固提升
1.已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是(　　).
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.以上都不是
解析:∵an+1-an=>0,
∴an+1>an,∴{an}是递增数列.
答案:A
2.给出下列说法:
①已知数列{an},an=(n∈N+),那么是这个数列的第10项,且最大项为第一项;
②数列{an}:,2,…的一个通项公式是an=;
③已知数列{an},an=kn-5,且a8=11,则a17=29;
④已知an+1=an+3,则数列{an}是递增数列.
其中正确的有(　　).
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析:对于①,令an= n=10(n=-12舍去),易知最大项为第一项.①正确.
对于②,数列{an}:,2,…即为,…,亦为,…,故an=.②正确.
对于③,an=kn-5,且a8=11 k=2 an=2n-5 a17=29.③正确.
对于④,由an+1-an=3>0,易知④正确.
答案:A
3.对任意的a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an(n∈N+),则函数y=f(x)的图象是(　　).
解析:由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象,只有A满足,故选A.
答案:A
4.(多选题)对于数列{an},若存在正整数k(k≥2),使得ak>ak-1,ak>ak+1,则称ak是数列{an}的“峰值”,k是数列{an}的“峰值点”.在数列{an}中,若an=,下面哪些数不能作为数列{an}的“峰值点”(　　).
A.2 B.3
C.6 D.12
解析:因为an=,所以a1=0,a2=3,a3=,a4=3,a5=,a6=,a7=,a11=,a12=,a13=,只有a3>a2,a3>a4,所以“3”是“峰值点”,其他选项不是.故选ACD.
答案:ACD
5.已知数列{an},an=an+m(a>0,n∈N+),满足a1=2,a2=4,则{an}是　　　　　数列.(填“递增”或“递减”)
解析:∵
∴(舍去).∴an=2n,
∴{an}是递增数列.
答案:递增
6.已知数列{an},an=n2-kn(n∈N+),且{an}为递增数列,则k的取值范围是　　　　　　.
解析:an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,又{an}为递增数列,故应有an+1-an>0,即2n+1-k>0恒成立,分离参数得k<2n+1,故只需k<3即可.
答案:(-∞,3)
7.已知数列{an}的通项an,画出数列的图象.
(1)an=(-1)n×2;
(2)an=.
解:如图,
(1)
(2)
　　　　　　(第7题)
8.已知数列{an},an=1+(n∈N+,a∈R,且a≠0).
(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求a的取值范围.
解: (1)∵a=-7,∴an=1+(n∈N+).
结合函数f(x)=1+的单调性,
可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N+).
∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.
(2)an=1+=1+,
由对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,
结合函数f(x)=1+的单调性,可知5<<6,即-104

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