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人教版数学八年级下学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-3章）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2022八下·沧州渤海新月考）在，，，，中，最简二次根式的个数为(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·资阳期末）估计 的值应在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
4．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE，CE.若AB＝5，BC＝3，则AE2－CE2等于（　　)
A．7 B．9 C．16 D．25
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，且EF＝4.若求△EFG的面积，只需要知道以下哪条线段的长？(　　)
A．AC B．BC C．CD D．AD
6．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（　　）
A． m B．2 m C． m D．2 m
7．（2024八下·江门月考）如图，在中，，是边上中线，是的中位线，若，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在菱形ABCD中， ，点 E，F分别在边AB，BC上， 的周长为 ，则AD的长为(　　).
A． B． C． D．
9．（2025八下·义乌月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8
10．（2025八下·南宁期中）如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．（2025八下·宁海期中）已知|2024-a|+=a，则a-20242=　 　.
12．（2024八下·镇海区期末）若，则的取值范围是　 　.
13．（2024八下·安次月考）若的整数部分为a，小数部分为b，则　 　，代数式的值是　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交边AD，BC于点E，F.若AB＝4，AD＝8，则BF的长为　 　.
15．（2025八下·广东期中）在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是　 　；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是　 　．
阅卷人 三、解答题
得分
16．计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
17．（2025八下·广元期中）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求的值．
18． 如图， 在 Rt 中， ， 求斜边 上的高 ．
19．（2025八下·巴马期中）随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力．某周周末，小明和小亮相约去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
20．（2024八下·西安月考）如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
21．（2025八下·临海期中）图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，．
（1）求证：；
（2）当篮筐离地高度时．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②此时伸缩杆的长度为 ▲ cm；
（3）受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围．
22．（2024八下·亭湖月考）（1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点E、F．求证：四边形是菱形．
请你帮小明写出证明过程．
（2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形纸片沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边、于点E、F，若，求折痕的长．
（3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，若，，求四边形的面积．
23．（2022八下·禹州期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点，交DA的延长线于点F.若，则射线BF是∠ABC的一条三等分线.
证明：如图（2），取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴，ADBC.在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴……
（1）任务一：上面证明过程中得出“”的依据是　 　；
（2）任务二：完成材料证明中的剩余部分；
（3）任务三：如图（3），在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若，，请直接写出BF的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】，不是最简二次根式；
的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；
、符合最简二次根式的定义，所以它是最简二次根式；
它不是最简二次根式；
综上所述，上述二次根式中是最简二次根式的个数是2个，
故选：B.
【分析】根据二次根式的定义“二被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”解答即可．
2．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知，所需要钢材长度=AB+BC+AC+BD=AB+BC+(AD+DC)+BD，
∵ AD=4m，DC=1m，BD=2m，
∴ 钢材长度=AB+BC+(4+1)+2=AB+BC+7，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AB=，
在Rt△BDC中，由勾股定理可得：BC=，
∴ 所需钢材长度=，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理算出直角三角形 ABD 和 BCD 的斜边 AB 与 BC 的长度，再把所有边长相加，即可得到焊接钢架所需的总钢材长度。
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴，即，
故选：B.
【分析】由根式乘法运算对目标算式进行化简，进而根据无理数大小估算得出目标算式介于的整数之间.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，
∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOE中，
在Rt△COE中，
在Rt△AOB中，
在Rt△COB中，
故答案为：C.
【分析】连接AC， 与BD交于点O， 根据题意可得AC⊥BD， 在在Rt△AOE与Rt△COE中， 利用勾股定理可得 ，在在Rt△AOB与Rt△COB中，继续利用勾股定理可得 求解即可得.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点G作于点P，
为直角三角形，
∵ E、G分别是AD、AC的中点，
∵F、G分别是BC、AC的中点，
∴GF是 的中位线，
为等腰三角形，
的面积与线段CD的长有关，
故选： C.
【分析】根据三角形中位线定理得到 从而得到4 为等腰三角形，根据三角形的面积公式解答即可.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，是边上中线，，
∴，
∵是的中位线，
∴，
故选：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线可得AB，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接BD，作DH⊥AB，垂足为 H.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD∥BC.
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC=180°-∠A=120°.
∴AD=BD，∠ABD=∠A=∠ADB=60°.
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=120°-60°=60°.
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS).
∴DE=DF，∠ADE=∠FDB.
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠EDB+∠ADE=∠ADB=60°.
∴△DEF 是等边三角形.
∵△DEF的周长是3 ∴DE= ∵AD=BD，DH⊥AB，
∵在Rt△DHE中，
解得 负值舍去).
，
故答案为：C.
【分析】连结BD，作 ，垂足为H，先证明 是等边三角形，再根据SAS证明 ，得到 是等边三角形，根据周长求出边长D 设AH=x，则HE=2-x，DH= 在 中，根据勾股定理列方程求出x，进而得到AD=2x的值.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，
即，
解得CD=4.8，
∴EF=4.8
故答案为：D.
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，交于点，如图，
，，
．
，
四边形为矩形．
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
．
．
．
正确；
延长，交于，交于点，
，
．
由知：，
．
．
，
．
．
即：，
．
正确；
由知：．
即：．
正确；
点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
．
．
由知：，
的最小值为，
错误．
综上所述，正确的结论为：．
故答案为：A．
【分析】如图，连接， 交于点
由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形为矩形，则；再证（SAS），得，等量代换得；
②结合①结论， 得，则；由，则，由四边形为正方形，得，即，所以，即，垂直定义得；
③由②中的结论DE⊥FG， =45°，可得=45°；
④由点为上一动点，当时，根据垂线段最短，此时最小，AC为，由知，则为，则 FG的最小值为3错误，所以正确结论为 ①②③ 。
11．【答案】2025
【知识点】二次根式的概念；实数的绝对值
【解析】【解答】解：
∴，
∴，
∴原式为：
解得：，
∴
故答案为：2025.
【分析】根据二次根式有意义的条件确定变量a的取值范围，然后通过绝对值的性质将原式化简，最后解方程求出a的值并代入所求表达式中.
12．【答案】a≤1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由得|a-1|-|2-a|=-1，
①当a≤1时，有1-a-(2-a)=-1去括号得-1=-1，符合题意；
②当a≥2时，有a-1-(a-2)=-1去括号得1=-1，不符合题意；
③当1综合所述：a≤1
故答案为：a≤1.
【分析】化简二次根式后分a≤1，a≥2，113．【答案】；2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵1＜＜2，
∴-1＞-＞-2，
∴2＞3-＞1，
∴3-的整数部分为a=1，小数部分为b=3--1=2-，
∴（+2） b
=（+2） （2-）
=4-2
=2.
故答案为：2-；2.
【分析】先运用算术平方根的知识估算出a，b的值，再代入求解。
14．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接FA，如图所示，
∵ EF是AC的垂直平分线，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=8，
设BF=x，则CF=8-x，
解得x=3，
即BF=3，
故答案为：3.
【分析】先连接FA，根据线段垂直平分线的性质可知.FA=FC，再根据矩形的性质可知AB=CD，AD=BC，然后根据勾股定理即可求得BF的值.
15．【答案】；16
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：当点A，P，D三点共线时最小，
此时，
∴，
∴，
根据勾股定理，得，，
则，
∴．
这个代数式得最小值是；
根据题意，得，
如图所示，我们将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值.
当点A，P，D三点共线时最小，
此时，则，
∴，
根据勾股定理，得，
即，
解得则，
∴.
在中，，
∴，
∴．
这个代数式得最小值是16．
故答案为：；16．
【分析】当点A，P，D三点共线时最小，此时，则，根据边之间的关系可得PC，根据勾股定理可得AP，PD，根据边之间的关系可得最小值；根据题意，得，将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值，当点A，P，D三点共线时最小，此时，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得则，再根据含30°角的直角三角形性质可得DP，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】（1）解：
．
（2）解：
=
（3）解：
=
（4）解：
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）先化简各根式，再根据运算法则进行计算即可。也可以先用乘法分配律展开算式，再化简；
（2）可以先计算小括号内的算式，再与相除得出结果。也可以先分别相除，再把结果相加减即可；
（3）根据根式的运算法则，结合平方差公式进行计算即可；
（4）可以运用完全平方公式展开各式，再合并，也可以运用平方差公式进行计算。
17．【答案】（1）解：；
（2）解：∵，∴，
∴，则，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式把分母有理化即可；
（2）把a分母有理化化简，整理得到，即可得到，然后整体代入计算解题．
（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴．
18．【答案】解：在Rt△ABC中，
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】先根据勾股定理计算出斜边，再用面积法求出斜边上的高CD即可。特别要注意题中二次根式的运算过程。
19．【答案】（1）解：由题意可知：米，米，米，在中，由勾股定理得，，
∴（负值已舍去），
∴（米），
答：风筝的垂直高度为17.65米；
（2）解：∵风筝沿方向下降11米，保持不变，如图，
∴此时的（米），
即此时在中，米，有（米），
相比下降之前，缩短长度为（米），
∴他应该往回收线7米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】本题考查勾股定理在实际测量问题中的应用。
(1)由题意可知，米，在中利用勾股定理求出的长度，再将与相加即可得到的高度；
(2)风筝下降11米后，在中利用勾股定理求出此时的风筝线的长度，用原风筝线长度减去，即可得到往回收线的长度。
（1）解：由题意可知：米，米，米，
在中，由勾股定理得，，
∴（负值已舍去），
∴（米），
答：风筝的垂直高度为17.65米；
（2）解：∵风筝沿方向下降11米，保持不变，如图，
∴此时的（米），
即此时在中，米，有（米），
相比下降之前，缩短长度为（米），
∴他应该往回收线7米．
20．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）要证明四边形是菱形，先根据平行和角平分线的条件得到一组邻边相等，再结合已知AB = AD得出AB = CD，再根据平行四边形的判定得到四边形ABCD是平行四边形，最后根据菱形的定义（邻边相等的平行四边形是菱形）即可得证；
对于（2），利用菱形的性质得到对角线的相关信息，在直角三角形AOB中通过勾股定理求出OA的长度，再根据直角三角形斜边上中线的性质求出OE的长度。
21．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，∴．
（2）解：①∵，，，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
②；
（3）解：当时，过点M作ME⊥OP于点E，则OE=EM=50，
∴，
当时，过点M作ME⊥OP于点E，则∠EMO=30°，
∴CE=50cm，
．
∴
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】（2）②过点Q作QD⊥OC于点D，
则ODQP是矩形，
∴DQ=OP=120cm，OD=PQ=40cm，
∴CD=OC-OD=50-40=10cm，
∴CQ=cm，
故答案为：；
【分析】（1）先得到是平行四边形，即可得到对边平行，即可得到垂直；
（2）①先得到是矩形， 即可根据有一个角是直角得到是平行四边形；
②过点Q作QD⊥OC于点D，则ODQP是矩形，根据勾股定理求出CQ长即可；
（3）分别计算当和是的MH的值，即可得到取值范围.
22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图2，连接，，
∵，，
∴，
∵将矩形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，
∴垂直平分，
由（1）得：四边形是菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过点A作，交延长线于点N，
∵将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，
则由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据“”得到，即可得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到是平行四边形，再根据AO=CO即可得到结论；
（2）连接，，即可求出AC长，根据折叠，设，则，根据勾股定理求出x值，利用菱形的面积公式计算解题；
（3）过点A作，交延长线于点N，即可得到，，求出，设，则，根据勾股定理列方程解答即可．
23．【答案】（1）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
（2）解：任务二：如图，取EF的中点G，连接AG，
∵四边形BCAD是矩形，
∴∠DAC＝90°，.
在Rt△AEF中，点G是EF的中点，
∴AG＝EG=FG=EF.
∵EF＝2AB，
∴AB＝AG.
∴∠ABG＝∠AGB.
∴∠ABG＝∠AGB＝∠F＋∠GAF＝2∠F.
∵，
∴∠F＝∠CBF，
∴∠ABG＝2∠CBF，
∴∠ABC＝3∠CBF，
∴射线BF是∠ABC的一条三等分线
（3）解：.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1） 上面证明过程中得出“”的依据是：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
故答案为： 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 ；
（3）任务三：取AC的中点H，连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CBE=90°，
∵BF是∠CBE的角平分线，
∴，
∵∠FBE=∠CAB+∠F，
∴∠CAB+∠F=45°，
∵∠CBA=90°，点H是AC的中点，
∴BH=AH=CH=BF，
∴∠HAB=∠HBA，∠BHF=∠F，
∴∠CHB=2∠HAB，
∴∠F=2∠HAB，
∴，
∴∠F=30°，
过C作CT⊥BF于T，则△BCT是等腰直角三角形，
∵CF=4，
∴BT=CT= 2，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可解答；
（2）取EF的中点G，连接AG，易得AG =FG，则得∠F=∠GAF，AB=AG，再根据平行线的性质、等边对等角及三角形外角性质求出∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF，即可得出结论；
（3）取AC的中点H，连接BH，过点C作CT⊥BF于T，根据矩形的性质、角平分线定义，直角三角形斜边中线的性质和三角形外角的性质求出∠F=30°，再求出CT，BT，FT的长，根据线段的和差关系即可得出结论.
1 / 1人教版数学八年级下学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-3章）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2022八下·沧州渤海新月考）在，，，，中，最简二次根式的个数为(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】，不是最简二次根式；
的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；
、符合最简二次根式的定义，所以它是最简二次根式；
它不是最简二次根式；
综上所述，上述二次根式中是最简二次根式的个数是2个，
故选：B.
【分析】根据二次根式的定义“二被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”解答即可．
2．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知，所需要钢材长度=AB+BC+AC+BD=AB+BC+(AD+DC)+BD，
∵ AD=4m，DC=1m，BD=2m，
∴ 钢材长度=AB+BC+(4+1)+2=AB+BC+7，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AB=，
在Rt△BDC中，由勾股定理可得：BC=，
∴ 所需钢材长度=，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理算出直角三角形 ABD 和 BCD 的斜边 AB 与 BC 的长度，再把所有边长相加，即可得到焊接钢架所需的总钢材长度。
3．（2024八下·资阳期末）估计 的值应在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴，即，
故选：B.
【分析】由根式乘法运算对目标算式进行化简，进而根据无理数大小估算得出目标算式介于的整数之间.
4．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE，CE.若AB＝5，BC＝3，则AE2－CE2等于（　　)
A．7 B．9 C．16 D．25
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，
∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOE中，
在Rt△COE中，
在Rt△AOB中，
在Rt△COB中，
故答案为：C.
【分析】连接AC， 与BD交于点O， 根据题意可得AC⊥BD， 在在Rt△AOE与Rt△COE中， 利用勾股定理可得 ，在在Rt△AOB与Rt△COB中，继续利用勾股定理可得 求解即可得.
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，且EF＝4.若求△EFG的面积，只需要知道以下哪条线段的长？(　　)
A．AC B．BC C．CD D．AD
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点G作于点P，
为直角三角形，
∵ E、G分别是AD、AC的中点，
∵F、G分别是BC、AC的中点，
∴GF是 的中位线，
为等腰三角形，
的面积与线段CD的长有关，
故选： C.
【分析】根据三角形中位线定理得到 从而得到4 为等腰三角形，根据三角形的面积公式解答即可.
6．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（　　）
A． m B．2 m C． m D．2 m
【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可.
7．（2024八下·江门月考）如图，在中，，是边上中线，是的中位线，若，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，是边上中线，，
∴，
∵是的中位线，
∴，
故选：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线可得AB，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
8．如图，在菱形ABCD中， ，点 E，F分别在边AB，BC上， 的周长为 ，则AD的长为(　　).
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接BD，作DH⊥AB，垂足为 H.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD∥BC.
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC=180°-∠A=120°.
∴AD=BD，∠ABD=∠A=∠ADB=60°.
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=120°-60°=60°.
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS).
∴DE=DF，∠ADE=∠FDB.
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠EDB+∠ADE=∠ADB=60°.
∴△DEF 是等边三角形.
∵△DEF的周长是3 ∴DE= ∵AD=BD，DH⊥AB，
∵在Rt△DHE中，
解得 负值舍去).
，
故答案为：C.
【分析】连结BD，作 ，垂足为H，先证明 是等边三角形，再根据SAS证明 ，得到 是等边三角形，根据周长求出边长D 设AH=x，则HE=2-x，DH= 在 中，根据勾股定理列方程求出x，进而得到AD=2x的值.
9．（2025八下·义乌月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，
即，
解得CD=4.8，
∴EF=4.8
故答案为：D.
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.
10．（2025八下·南宁期中）如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，交于点，如图，
，，
．
，
四边形为矩形．
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
．
．
．
正确；
延长，交于，交于点，
，
．
由知：，
．
．
，
．
．
即：，
．
正确；
由知：．
即：．
正确；
点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
．
．
由知：，
的最小值为，
错误．
综上所述，正确的结论为：．
故答案为：A．
【分析】如图，连接， 交于点
由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形为矩形，则；再证（SAS），得，等量代换得；
②结合①结论， 得，则；由，则，由四边形为正方形，得，即，所以，即，垂直定义得；
③由②中的结论DE⊥FG， =45°，可得=45°；
④由点为上一动点，当时，根据垂线段最短，此时最小，AC为，由知，则为，则 FG的最小值为3错误，所以正确结论为 ①②③ 。
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．（2025八下·宁海期中）已知|2024-a|+=a，则a-20242=　 　.
【答案】2025
【知识点】二次根式的概念；实数的绝对值
【解析】【解答】解：
∴，
∴，
∴原式为：
解得：，
∴
故答案为：2025.
【分析】根据二次根式有意义的条件确定变量a的取值范围，然后通过绝对值的性质将原式化简，最后解方程求出a的值并代入所求表达式中.
12．（2024八下·镇海区期末）若，则的取值范围是　 　.
【答案】a≤1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由得|a-1|-|2-a|=-1，
①当a≤1时，有1-a-(2-a)=-1去括号得-1=-1，符合题意；
②当a≥2时，有a-1-(a-2)=-1去括号得1=-1，不符合题意；
③当1综合所述：a≤1
故答案为：a≤1.
【分析】化简二次根式后分a≤1，a≥2，113．（2024八下·安次月考）若的整数部分为a，小数部分为b，则　 　，代数式的值是　 　．
【答案】；2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵1＜＜2，
∴-1＞-＞-2，
∴2＞3-＞1，
∴3-的整数部分为a=1，小数部分为b=3--1=2-，
∴（+2） b
=（+2） （2-）
=4-2
=2.
故答案为：2-；2.
【分析】先运用算术平方根的知识估算出a，b的值，再代入求解。
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交边AD，BC于点E，F.若AB＝4，AD＝8，则BF的长为　 　.
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接FA，如图所示，
∵ EF是AC的垂直平分线，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=8，
设BF=x，则CF=8-x，
解得x=3，
即BF=3，
故答案为：3.
【分析】先连接FA，根据线段垂直平分线的性质可知.FA=FC，再根据矩形的性质可知AB=CD，AD=BC，然后根据勾股定理即可求得BF的值.
15．（2025八下·广东期中）在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是　 　；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是　 　．
【答案】；16
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：当点A，P，D三点共线时最小，
此时，
∴，
∴，
根据勾股定理，得，，
则，
∴．
这个代数式得最小值是；
根据题意，得，
如图所示，我们将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值.
当点A，P，D三点共线时最小，
此时，则，
∴，
根据勾股定理，得，
即，
解得则，
∴.
在中，，
∴，
∴．
这个代数式得最小值是16．
故答案为：；16．
【分析】当点A，P，D三点共线时最小，此时，则，根据边之间的关系可得PC，根据勾股定理可得AP，PD，根据边之间的关系可得最小值；根据题意，得，将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值，当点A，P，D三点共线时最小，此时，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得则，再根据含30°角的直角三角形性质可得DP，再根据边之间的关系即可求出答案.
阅卷人 三、解答题
得分
16．计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
=
（3）解：
=
（4）解：
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）先化简各根式，再根据运算法则进行计算即可。也可以先用乘法分配律展开算式，再化简；
（2）可以先计算小括号内的算式，再与相除得出结果。也可以先分别相除，再把结果相加减即可；
（3）根据根式的运算法则，结合平方差公式进行计算即可；
（4）可以运用完全平方公式展开各式，再合并，也可以运用平方差公式进行计算。
17．（2025八下·广元期中）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：∵，∴，
∴，则，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式把分母有理化即可；
（2）把a分母有理化化简，整理得到，即可得到，然后整体代入计算解题．
（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴．
18． 如图， 在 Rt 中， ， 求斜边 上的高 ．
【答案】解：在Rt△ABC中，
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】先根据勾股定理计算出斜边，再用面积法求出斜边上的高CD即可。特别要注意题中二次根式的运算过程。
19．（2025八下·巴马期中）随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力．某周周末，小明和小亮相约去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：由题意可知：米，米，米，在中，由勾股定理得，，
∴（负值已舍去），
∴（米），
答：风筝的垂直高度为17.65米；
（2）解：∵风筝沿方向下降11米，保持不变，如图，
∴此时的（米），
即此时在中，米，有（米），
相比下降之前，缩短长度为（米），
∴他应该往回收线7米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】本题考查勾股定理在实际测量问题中的应用。
(1)由题意可知，米，在中利用勾股定理求出的长度，再将与相加即可得到的高度；
(2)风筝下降11米后，在中利用勾股定理求出此时的风筝线的长度，用原风筝线长度减去，即可得到往回收线的长度。
（1）解：由题意可知：米，米，米，
在中，由勾股定理得，，
∴（负值已舍去），
∴（米），
答：风筝的垂直高度为17.65米；
（2）解：∵风筝沿方向下降11米，保持不变，如图，
∴此时的（米），
即此时在中，米，有（米），
相比下降之前，缩短长度为（米），
∴他应该往回收线7米．
20．（2024八下·西安月考）如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）要证明四边形是菱形，先根据平行和角平分线的条件得到一组邻边相等，再结合已知AB = AD得出AB = CD，再根据平行四边形的判定得到四边形ABCD是平行四边形，最后根据菱形的定义（邻边相等的平行四边形是菱形）即可得证；
对于（2），利用菱形的性质得到对角线的相关信息，在直角三角形AOB中通过勾股定理求出OA的长度，再根据直角三角形斜边上中线的性质求出OE的长度。
21．（2025八下·临海期中）图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，．
（1）求证：；
（2）当篮筐离地高度时．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②此时伸缩杆的长度为 ▲ cm；
（3）受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，∴．
（2）解：①∵，，，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
②；
（3）解：当时，过点M作ME⊥OP于点E，则OE=EM=50，
∴，
当时，过点M作ME⊥OP于点E，则∠EMO=30°，
∴CE=50cm，
．
∴
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】（2）②过点Q作QD⊥OC于点D，
则ODQP是矩形，
∴DQ=OP=120cm，OD=PQ=40cm，
∴CD=OC-OD=50-40=10cm，
∴CQ=cm，
故答案为：；
【分析】（1）先得到是平行四边形，即可得到对边平行，即可得到垂直；
（2）①先得到是矩形， 即可根据有一个角是直角得到是平行四边形；
②过点Q作QD⊥OC于点D，则ODQP是矩形，根据勾股定理求出CQ长即可；
（3）分别计算当和是的MH的值，即可得到取值范围.
22．（2024八下·亭湖月考）（1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点E、F．求证：四边形是菱形．
请你帮小明写出证明过程．
（2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形纸片沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边、于点E、F，若，求折痕的长．
（3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图2，连接，，
∵，，
∴，
∵将矩形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，
∴垂直平分，
由（1）得：四边形是菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过点A作，交延长线于点N，
∵将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，
则由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据“”得到，即可得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到是平行四边形，再根据AO=CO即可得到结论；
（2）连接，，即可求出AC长，根据折叠，设，则，根据勾股定理求出x值，利用菱形的面积公式计算解题；
（3）过点A作，交延长线于点N，即可得到，，求出，设，则，根据勾股定理列方程解答即可．
23．（2022八下·禹州期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点，交DA的延长线于点F.若，则射线BF是∠ABC的一条三等分线.
证明：如图（2），取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴，ADBC.在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴……
（1）任务一：上面证明过程中得出“”的依据是　 　；
（2）任务二：完成材料证明中的剩余部分；
（3）任务三：如图（3），在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若，，请直接写出BF的长.
【答案】（1）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
（2）解：任务二：如图，取EF的中点G，连接AG，
∵四边形BCAD是矩形，
∴∠DAC＝90°，.
在Rt△AEF中，点G是EF的中点，
∴AG＝EG=FG=EF.
∵EF＝2AB，
∴AB＝AG.
∴∠ABG＝∠AGB.
∴∠ABG＝∠AGB＝∠F＋∠GAF＝2∠F.
∵，
∴∠F＝∠CBF，
∴∠ABG＝2∠CBF，
∴∠ABC＝3∠CBF，
∴射线BF是∠ABC的一条三等分线
（3）解：.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1） 上面证明过程中得出“”的依据是：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
故答案为： 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 ；
（3）任务三：取AC的中点H，连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CBE=90°，
∵BF是∠CBE的角平分线，
∴，
∵∠FBE=∠CAB+∠F，
∴∠CAB+∠F=45°，
∵∠CBA=90°，点H是AC的中点，
∴BH=AH=CH=BF，
∴∠HAB=∠HBA，∠BHF=∠F，
∴∠CHB=2∠HAB，
∴∠F=2∠HAB，
∴，
∴∠F=30°，
过C作CT⊥BF于T，则△BCT是等腰直角三角形，
∵CF=4，
∴BT=CT= 2，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可解答；
（2）取EF的中点G，连接AG，易得AG =FG，则得∠F=∠GAF，AB=AG，再根据平行线的性质、等边对等角及三角形外角性质求出∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF，即可得出结论；
（3）取AC的中点H，连接BH，过点C作CT⊥BF于T，根据矩形的性质、角平分线定义，直角三角形斜边中线的性质和三角形外角的性质求出∠F=30°，再求出CT，BT，FT的长，根据线段的和差关系即可得出结论.
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