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习题课——等比数列
课后训练巩固提升
1.已知等比数列{an}的公比q>0,且q≠1,若a6<0,则(　　).
A.a5+a7>a4+a8 B.a5+a7C.a5+a7=a4+a8 D.|a5+a7|>|a4+a8|
解析:∵a6<0,q>0,∴a5,a7,a8,a4都是负数,a5+a7-a4-a8=a4(q-1)+a7(1-q)=(q-1)·(a4-a7).
若0∴a5+a7-a4-a8>0;
若q>1,则q-1>0,a4-a7>0,
∴a5+a7-a4-a8>0,
∴a5+a7>a4+a8.故选A.
答案:A
2.已知数列{an}的首项a1=2,数列{bn}为等比数列,且bn=.若b10b11=2,则a21=(　　).
A.29 B.210 C.211 D.212
解析:由已知得,b1b2…b20=·…·,因为{bn}为等比数列,所以b1b2…b20=(b10b11)10=210,所以a21=2b1b2…b20=211,故选C.
答案:C
3.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a2-8a5=0,则的值为(　　).
A. B. C.2 D.17
解析:设等比数列{an}的公比为q,
∵a2-8a5=0,∴a2(1-8q3)=0,解得q=.
则.
答案:B
4.(多选题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N+),则下列结论正确的有(　　).
A.为等差数列
B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列
D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4
解析:因为+3,所以+3=2(+3).又+3=4≠0,所以{+3}是以4为首项,2为公比的等比数列,A错误.
+3=4×2n-1,即an=,B正确.
{an}为递减数列,C错误.
{}的前n项和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1-3)=2(21+22+…+2n)-3n=2×-3n=2n+2-3n-4,D正确.
答案:BD
5.1++…+(1++…+)的值为(　　).
A.18+ B.20+
C.22+ D.18+
解析:设an=1++…+,则an==2,
则原式=a1+a2+…+a11=2+2[1-]+…+2[1-]=2[11-(+…+)]=2[11-]=2=2=20+.
答案:B
6.在等比数列{an}中,公比q=2,前99项的和S99=30,则a3+a6+a9+…+a99=　　　　　.
解析:∵S99=30,即a1(299-1)=30,数列a3,a6,a9,…,a99也成等比数列且公比为8,∴a3+a6+a9+…+a99=×30=.
答案:
7.已知等比数列{an}为递增数列,a1=-2,且3(an+an+2)=10an+1,则公比q=　　　　　;S4=　　　　　.
解析:∵等比数列{an}为递增数列,
且a1=-2<0,∴0又3(an+an+2)=10an+1,两边同除以an,
可得3(1+q2)=10q,
即3q2-10q+3=0,
解得q=3或q=,而0∴q=.∴S4==-.
答案:　-
8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则该数列的项数n=　　　　　.
解析　由题意得=q4=2.∵a1+a2+a3+a4==-=1,∴=-1.
∴Sn==qn-1=15,
∴qn=16,即(q4=24,
∴=4,∴n=16.
答案:16
9.已知数列{an}的前n项和是Sn,且2Sn=2-an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=an+n,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)当n=1时,2S1=2-a1,2a1=2-a1,
解得a1=;
当n≥2时,
两式相减,得2(Sn-Sn-1)=an-1-an,
即2an=an-1-an,
∴3an=an-1,即,
∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,
∴数列{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知,bn=+n,
∴Tn=2+(1+2+3+…+n)=2×=1-.
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