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§3　导数的计算
课后训练巩固提升
1.(多选题)下列各式中,正确的是(　　).
A.(ex)'=ex B.(ln x)'=
C.(e2x)'=e2x D.(ln)'=
解析:根据求导公式可知A,B正确.(e2x)'=[(e2)x]'=(e2)xln e2=2e2x,故C错误.
(ln)'=·()'=,D正确.
答案:ABD
2.已知P(x0,y0)是抛物线y=f(x)=3x2+6x+1上一点,且f'(x0)=0,则点P的坐标为(　　).
A.(1,10) B.(-1,-2)
C.(1,-2) D.(-1,10)
解析:因为f'(x)=6x+6,
所以f'(x0)=6x0+6=0,解得x0=-1.
因为点P在抛物线上,
所以y0=3×(-1)2+6×(-1)+1=-2.
所以点P的坐标为(-1,-2).
答案:B
3.下列点中,在曲线y=x2上,且曲线在此点处的切线的倾斜角为的是(　　).
A.(0,0) B.(2,4)
C. D.
解析: ∵y'=2x.切线的倾斜角为,
∴切线的斜率为1.设切点坐标为(x0,y0).
根据导数的几何意义,得2x0=1,
解得x0=,从而y0=.故选D.
答案:D
4.若曲线y=f(x)=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则(　　).
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
解析:∵=Δx+a,
∴f'(0)==a,
由曲线在点(0,b)处的切线方程可知f'(0)=a=1.
∵(0,b)在切线上,
∴0-b+1=0,∴b=1.
答案:A
5.已知函数f'(x)=0,且f(0)=-1,则f(x)=　　　　　.
解析:∵f'(x)=0,∴f(x)=c(c为常数).
又f(0)=-1,∴c=-1,∴f(x)=-1.
答案:-1
6.已知点P在曲线y=f(x)=x2+1上,若曲线y=x2+1在点P处的切线与曲线y=g(x)=-2x2-1相切,求点P的坐标.
解:设点P的坐标为(x0,y0),易知曲线y=f(x)=x2+1在点P处的切线的斜率存在,设为k,
则k=f'(x0)===2x0.
又点P在曲线y=f(x)=x2+1上,所以y0=+1.所以切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
即y=2x0x+1-.
由题意知此直线与曲线y=g(x)=-2x2-1相切.
由得2x2+2x0x+2-=0,
Δ=4-8(2-)=0,
解得x0=±,此时y0=,
所以点P的坐标为.
7.已知曲线y=f(x)=.
(1) 求曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2) 求曲线过点Q(1,0)的切线方程.
解　因为y=f(x)=,所以y'=f'(x)=-.
(1)切线的斜率为函数y=在x=1处的导数,
即k=f'(1)=-1.
所以曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+2.
(2)因为点Q(1,0)不在曲线y=上,所以可设过该点的切线与曲线相切于点A,则该切线的斜率k=f'(a)=-.
于是切线方程为y-=-(x-a).
将点Q的坐标(1,0)代入切线方程得0-=-(1-a),解得a=.
从而可得切线方程为y=-4x+4.
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