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§5　简单复合函数的求导法则
课后训练巩固提升
1.已知函数f(x)=sinnx(n是实数),则f'(x)=(　　).
A.nsinn-1x B.ncosn-1x
C.cosnx D.nsinn-1x·cos x
解析:函数f(x)=sinnx可看作由函数y=tn,t=sin x复合而成,
∴yx'=yt'·tx'=ntn-1·cos x=nsinn-1x·cos x.
答案:D
2.(多选题)下列结论正确的是(　　).
A.若y=,则y'=-
B.若y=xex,则y'=ex+xex
C.若y=xsin x,则y'=xcos x
D.若y=cos(2x+1),则y'=-sin(2x+1)
解析:对于A,y=的导数为y'=-,所以A正确;
对于B,y=xex的导数为y'=ex+xex,所以B正确;
对于C,y=xsin x的导数为y'=sin x+xcos x,所以C错误;
对于D,y=cos(2x+1)的导数为y'=-2sin(2x+1),所以D错误.
答案:AB
3.已知曲线y=f(x)=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则实数a=(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:因为f(x)=ax-ln(x+1),
所以f'(x)=a-.
由题意知f'(0)=a-1=2,解得a=3.
答案:D
4.若曲线y=e-x在点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标为(　　).
A.
B.(ln 2,2)
C.
D.(-ln 2,2)
解析:设点P的坐标为(x0,y0).
∵y'=-e-x,
∴曲线在点P处的切线的斜率k=-,
由题意得k=-=-2,即x0=-ln 2,此时y0=eln 2=2.
∴点P的坐标为(-ln 2,2).
答案:D
5.函数y=cos 2x+sin 的导数为(　　).
A.-2sin 2x+
B.2sin 2x+
C.-2sin 2x+
D.2sin 2x-
解析:y'=-sin 2x·(2x)'+cos·()'
=-2sin 2x+cos
=-2sin 2x+.
答案:A
6.若曲线y=(x-1)α+1在点(2,2)处的切线经过坐标原点,求该曲线在原点处的切线方程.
解:y'=α(x-1)α-1,
由题意得α(2-1)α-1=,所以α=1.
所以在原点处的切线的斜率k=(0-1)1-1=1,
由点斜式方程得,在原点处的切线方程为y=x,即x-y=0.
7.求函数y=e-3xcos(-2x+1)的导数.
解:y'=(e-3x)'cos(-2x+1)+e-3x[cos(-2x+1)]'
=-3e-3xcos(-2x+1)+e-3x·[-sin(-2x+1)]·(-2x+1)'
=-3e-3xcos(-2x+1)+2e-3xsin(-2x+1)
=[-3cos(-2x+1)+2sin(-2x+1)]e-3x.
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