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2.2　导数的几何意义
课后训练巩固提升
A组
1.如果曲线y=f(x)在点(2,3)处的切线过点(-1,2),那么有(　　).
A.f'(2)<0 B.f'(2)=0
C.f'(2)>0 D.f'(2)不存在
解析:由题意知切线过点(2,3),(-1,2),所以切线的斜率k=f'(2)=>0.故选C.
答案:C
2.已知曲线y=3x2上一点A(2,12),则曲线在点A处的切线的斜率为(　　).
A.4 B.6 C.8 D.12
解析:∵Δy=3(2+Δx)2-12=12Δx+3(Δx)2,
∴f'(2)=(12+3Δx)=12.
∴曲线在点A处的切线的斜率k=f'(2)=12.
答案:D
3. 函数f(x)的导数f'(x)的图象如图所示,则在f(x)的图象上A,B的对应点附近,有(　　).
(第3题)
A.A处下降,B处上升
B.A处上升,B处下降
C.A处下降,B处下降
D.A处上升,B处上升
解析:∵所给图象是函数f(x)的导数的图象,且点A处f'(x)<0,点B处f'(x)>0,
∴函数f(x)的图象在点A处的切线的斜率小于0,在点B处的切线的斜率大于0.故选A.
答案:A
4.过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为(　　).
A.y=-2x-4 B.y=2x-4
C.y=2x+4 D.y=-2x+4
解析:∵Δy=3(1+Δx)2-4(1+Δx)+2-1=3(Δx)2+2Δx,
∴曲线在点M处的切线的斜率k=f'(1)=(3Δx+2)=2.
∴所求的直线方程为y-2=2(x+1),即y=2x+4.
答案:C
5.已知曲线y=在点P处的切线的斜率为-,则点P的坐标为(　　).
A. B.
C. D.
解析:设点P的坐标为(x0,y0),
则Δy=.
曲线在点P处的切线的斜率k=f'(x0)==-=-,解得x0=±2,
所以点P的坐标为.
答案:D
6.若曲线y=f(x)=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为(　　).
A.4x-y-4=0 B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0
解析:设切点为(x0,y0),
∵f'(x0)=(2x0+Δx)=2x0.
由题意可知,切线斜率k=4,即f'(x0)=2x0=4,
∴x0=2,∴切点坐标为(2,4),∴切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0,故选A.
答案:A
7.已知直线y=-x+m是曲线y=f(x)=x2+x的一条切线,则m的值为　　　　　　　　.
解析:设切点坐标为(x0,y0),
则曲线在点(x0,y0)处的切线的斜率k=f'(x0)==2x0+1.
由题意知,2x0+1=-1,解得x0=-1,
则y0=(-1)2+(-1)=0,所以切点坐标为(-1,0).
又切点在直线y=-x+m上,
所以0=1+m,解得m=-1.
答案:-1
8.已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的大致图象如图所示,
其导数的大致图象如图所示,
(第8题)
　
则y=f(x)对应　　　　　;y=g(x)对应　　　　　;y=h(x)对应　　　　　.
解析:根据导数的几何意义求解.
由于曲线y=f(x)在任一点处的切线斜率均小于0且保持不变,故y=f(x)对应B.
曲线y=g(x)在任一点处的切线斜率均小于0,且随x的增大,切线的斜率增大,且趋于0,
故y=g(x)对应C.
曲线y=h(x)在任一点处的切线的斜率均大于0,且先小后大,故y=h(x)对应A.
答案:B　C　A
9.已知直线y=x+2是曲线y=-x2+b的切线,则b=　　　　　.
解析:令f(x)=y=-x2+b.
设切点的坐标为(x0,y0),
则f'(x0)==-2x0.
由题意得-2x0=1,则x0=-.
由切点在直线y=x+2上,得y0=-+2=,
∴切点的坐标为.
又切点在曲线上,∴=-+b,
解得b=.
答案:
10.在曲线y=f(x)=2x2上求一点P,使得它到直线4x-y-5=0的距离最近.
解:当曲线y=f(x)在点P处的切线与直线4x-y-5=0平行时,点P到直线4x-y-5=0的距离最近.
设点P坐标为(x0,y0),则曲线在点P处的切线的斜率为f'(x0)=(2Δx+4x0)=4x0.
由4x0=4,得x0=1,从而f(x0)=2.
故点P的坐标为(1,2).
B组
1.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则f'(x0)=(　　).
A.2 B.-2 C. D.-
解析:由题意知,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为-2,所以f'(x0)=-2.故选B.
答案:B
2.(多选题)直线y=kx+1与曲线y=f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则(　　).
A.a=-1 B.b=2
C.k=2 D.f'(1)=2
解析:由导数定义可得曲线y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线斜率为3+a.
由题意得解得故f'(1)=k=2.A,C,D正确.
答案:ACD
3.已知曲线y=f(x)=2ax2+1过点(,3),则曲线在该点处的切线方程为(　　).
A.y=-4x-1 B.y=4x-1
C.y=4x+8 D.y=4x或y=4x-4
解析:∵曲线y=2ax2+1过点(,3),∴a2=1.
由题意得a≥0,∴a=1,故y=f(x)=2x2+1.
从而曲线y=2x2+1在点(1,3)处的切线的斜率k=f'(1)=4,
∴切线方程为y-3=4(x-1),即y=4x-1.
答案:B
4.已知A,B分别是曲线y=f(x)=x2上的两点,A,B两点的横坐标分别是4,-2,曲线y=f(x)=x2在A,B两点处的切线交于一点M,则点M的纵坐标为(　　).
A.1 B.3 C.-4 D.-8
解析:由题意可得,点A的坐标为(4,8),点B的坐标为(-2,2).
∵曲线y=x2在点(4,8)处的切线的斜率k1=f'(4)==4,
∴曲线在点(4,8)处的切线方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.
同理可得曲线在点(-2,2)处的切线方程为y=-2x-2.
由
∴点M的纵坐标为-4.
答案:C
5.已知函数f(x)=x2+bx的图象在x=1处的切线与直线x+3y+2=0垂直,若数列的前n项和为Sn,则S4 020=　　　　　.
解析: 函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率k=f'(1)==2+b.
由题意得,2+b=3,解得b=1,
所以f(x)=x2+x=x(x+1).
所以.
所以S4 020=+…+=1-.
答案:
6.如图,函数y=g(x)的图象在点P处的切线方程为y=-x+8,则g(5)+g'(5)=　　　　　.
(第6题)
解析:由题图及切线方程知,点P的坐标为(5,3),
即g(5)=3,又由切线方程知g'(5)=-1,
所以g(5)+g'(5)=3+(-1)=2.
答案:2
7.已知抛物线C:y=-x2+x-4,过原点O作抛物线C的切线y=kx,使切点P在第一象限.
(1)求实数k的值;
(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q.
解:(1)设切点P的坐标为(x1,y1),则k=f'(x1)==-2x1+.①
∵切点P在切线及抛物线C上,∴y1=kx1,②
y1=-x1-4.③
联立①②③,解得x1=-2或x1=2.
∵点P在第一象限,∴x1=2,∴k=.
(2)由(1)可得点P(2,1),过点P的切线的垂线的斜率为-2,∴该垂线方程为y=-2x+5.
由
∴该垂线与抛物线的另一个交点Q的坐标为.
8.求曲线y=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.
解:联立两曲线方程,得解得
即交点坐标为(1,1).
曲线y=在点(1,1)处的切线的斜率为f'(1)==-1,
∴曲线y=在点(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+2.
曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率为f'(1)=(2+Δx)=2,
∴曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
两条切线y=-x+2,y=2x-1与x轴所围成的图形如图所示,
(第8题)
∴所求三角形的面积S=×1×.
5

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