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4.1　导数的加法与减法法则
课后训练巩固提升
1.若函数y=xn+x2(n是实数)在x=1处的导数为5,则n等于(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:∵y'=nxn-1+2x,∴n+2=5,∴n=3.
答案:C
2.已知函数f(x)=x-5+ex,则f'(x)等于(　　).
A.-5x-6+ex B.x-6+ex
C.-5x-6+ D.x-5+ex
解析:f'(x)=(x-5)'+(ex)'=-5x-6+ex.
答案:A
3.下列求导运算正确的是(　　).
A.'=1+
B.(ln x-3)'=
C.(sin x+x2)'=-cos x+2x
D.(3x)'=x·3x-1
答案:B
4.设函数f(x)=x+ln x-1 234,若f'(x0)=2,则x0等于(　　).
A.1 B.0 C.1 233 D.1 234
解析　f'(x)=1+,则f'(x0)=1+=2,解得x0=1.
答案　A
5.已知函数f(x)的导数为f'(x),若f(x)=sin x+2x+f',则f'(0)=　　　　　.
解析:f'(x)=(sin x)'+(2x)'+'=cos x+2xln 2,则f'(0)=cos 0+20ln 2=1+ln 2.
答案:1+ln 2
6.设函数f(x)=x3-x2+bx+c,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,则b=　　　　　,c=　　　　　.
解析:由题意得f'(x)=x2-ax+b,由切点P(0,f(0))在函数f(x)=x3-x2+bx+c的图象上,
又在切线y=1上,得
即解得
答案:0　1
7.设函数f(x)在区间(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(1)=　　　　　.
解析:令t=ex,则x=ln t,
所以函数f(t)=ln t+t,
所以f'(t)=+1.
故f'(1)=+1=2.
答案:2
8.求曲线y=x3-在点(-1,0)处的切线方程.
解　由题意得y'=3x2+,
所以切线的斜率k=3×(-1)2+=4,
所以切线的方程为y-0=4(x+1),
即4x-y+4=0.
9.已知P是曲线y=f(x)=x2-ln x上任意一点,求点P到直线y=x-2的最短距离.
解　作与直线y=x-2平行且与曲线y=x2-ln x相切的直线(图略),则切点即为在已知曲线上且到直线y=x-2的距离最短的点.
设切点的坐标为(x0,-ln x0),则f'(x0)=2x0-=1,解得x0=1或x0=-(舍去),所以切点的坐标为(1,1).
切点(1,1)到直线y=x-2的距离d=.
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