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1 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理
第一章 三角形的证明及其应用
1. 探索并证明三角形的内角和定理. (重、难点)
2. 学会解决与求角度有关的实际问题，体会转化的数学思想.
3.复习全等三角形的性质和判定.
我们已经知道三角形三个内角的和为 .
180°
以前探索三角形三个内角的和是用什么方法，你还记得吗
方法一：测量法
45°
56°
79°
45°+ 79° + 56° = 180°
思考：通过剪拼法拼成了一个什么角？如何用推理的方法去验证呢？
方法二：剪拼法
探究：通过活动的启发，我们在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
探究点1： 三角形内角和定理的证明
A
B
C
想一想，直线 CE 与△ABC 的边 AB 有什么关系？你学过哪些与 180° 有关的结论
E
D
依据平角定义，得到 180°
证明思路:
过点C作射线CE，使得CE∥AB
利用平行线的性质，将∠A和∠B进行转移
探究点1： 三角形内角和定理的证明
已知：如图，△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
证明：如图，延长 BC 到 D，
过点 C 作射线 CE， 使 CE∥BA，
则∠1 =∠A，∠2 =∠B.
∵ 点 B，C，D 在同一条直线上，
∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°.
∴∠A +∠B +∠ACB = 180°.
A
B
C
E
D
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
2
1
探究点1： 三角形内角和定理的证明
三角形的内角和等于 180°.
在△ABC 中，
∠A +∠B +∠C = 180°.
几何语言：
A
B
C
三角形内角和定理
探究点1： 三角形内角和定理的证明
【思考交流】(1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点 A 处，过点 A 作直线 PQ，使 PQ∥BC，他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗
A
B
C
P
Q
探究点1： 三角形内角和定理的证明
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：如图，△ABC .
证法2：过点 A 作 l∥BC，
则∠B =∠1，∠C =∠2.
∵∠BAC+∠1 +∠2 = 180° ，
∴∠BAC+∠B +∠C = 180° .
1
2
A
B
C
还有其他的证明方法吗？
探究点1： 三角形内角和定理的证明
C
B
A
E
D
F
证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC，
∠A +∠AED = 180°，
∠EDF +∠AED = 180°.
∴∠A = ∠EDF.
∵∠EDF+∠FDC+∠EDB = 180°，
∴∠A +∠B+∠C = 180°.
探究点1： 三角形内角和定理的证明
①依据平角定义，得到180°
添加平行线
（辅助线）
利用平行线的性质，转移角
思考 以上多种方法的证明思路是什么？
C
A
B
1
2
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
4
5
2
3
1
探究点1： 三角形内角和定理的证明
除了构造平角得到 180° 外，还有其他方式吗？
A
B
C
F
1
4
2
3
D
E
A
B
C
思路②有其他添加辅助线的方案吗？
l
依据平角定义，得到180°
添加平行线
（辅助线）
利用平行线的性质，转移角
两直线平行，同旁内角互补．
探究点1： 三角形内角和定理的证明
例1 如图，在△ABC 中，∠B = 38°，∠C = 62°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
A
C
B
D
解：在△ABC 中，
∠B +∠C +∠BAC = 180° (三角形内角和定理).
∵∠B = 38°，∠C = 62°，
∴∠BAC = 180° - 38° - 62° = 80°.
探究点1： 三角形内角和定理的证明
∵ AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD = ∠CAD = ∠BAC = ×80° = 40°.
在△ADB 中，∠B +∠BAD +∠ADB = 180°
(三角形内角和定理).
∵∠B = 38°，∠BAD = 40°，
∴∠ADB= 180° - 38° - 40°= 102°.
A
C
B
D
探究点1： 三角形内角和定理的证明
【变式题】如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC 的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
又 CD 是∠ACB 的平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵ DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°.
在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.
探究点1： 三角形内角和定理的证明
【尝试思考】我们已经证明了 SSS，ASA，SAS 的成立，怎么用这些定理证明 AAS 成立呢？
已知： 在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
C
B
D
F
E
证明：在△ABC 中，∠A +∠B +∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B.
同理，∠F＝180°－∠D－∠E.
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠C＝∠F.
探究点2：全等三角形的判定和性质
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F，
∴△ABC≌△DEF (ASA).
在△ABC 和△DEF 中，
A
C
B
D
F
E
问题1：AAS 和 ASA 有什么联系？
问题2：AB 和 DE 有什么关系？AC 和 DF 呢？
根据三角形内角和定理，已知两个角可以推出另外一个角的大小，因此证明AAS 成立可以转化为 ASA 的证明.
AB＝DE， AC＝DF
探究点2：用“AAS”判定三角形全等
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（ AAS ）
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
【知识要点】
探究点2：用“AAS”判定三角形全等
例2 如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD 的条件是 ( )
B
A. BD＝CD
B. AB＝AC
C.∠B＝∠C
D. ∠BAD＝∠CAD
例3 如图所示的两个三角形全等，则∠a 的度数是 .
72°
1
2
a
b
c
α
c
a
b
72°
58°
探究点2：用“AAS”判定三角形全等
三角形的
内角和定理
全等三角形的判定和性质
三角形的内角和定理
1. 在△ABC中，∠A＝72°，∠B＝49°，则∠C
的度数为(　B　)
A. 49° B. 59°
C. 69° D. 79°
B
2. 如图为撕去了一个角后的三角形纸片，其中
∠A＝30°，∠B＝70°，则撕去的角的度数是(　B)
A. 100° B. 80°
C. 70° D. 90°
B
3. 如图，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶7∶9，则△ABC是 三角形.
第3题图
直角　
4. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，
∠A＝45°，则∠B的度数为 .
67.5°　
5. 如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，
BD是AC边上的高，则∠DBC的度数为 .
18°　
6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数.
解：在△ABC中，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°.
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB.
∴∠PBC＋∠PCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝60°.
∵∠PBC＋∠PCB＋∠BPC＝180°，
∴∠BPC＝180°－60°＝120°.

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