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1 三角形内角和定理
第4课时 多边形的外角和
第一章 三角形的证明及其应用
1. 探索多边形的外角和公式，进一步发展简单推理的意识及能力.(重点)
2.会用多边形的外角和公式解决相关问题.(难点)
如图，小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑.
【合作探究】
(1) 小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角.
(2) 他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度？说说你的理由，并与同伴进行交流.
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角. 如图所示.
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.
【知识要点】
探究点：多边形的外角和
新知探究
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角．
问题1：任意一个外角和它相邻的
内角有什么关系？
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
互补
5×180° = 900°
探究点：多边形的外角和
新知探究
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形的外角和
= 360°.
= 5个平角和
－五边形内角和
= 5×180°
－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于 360°.
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
探究点：多边形的外角和
新知探究
【想一想】如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样
6×180°－ (6－2)×180° = 360°
8×180°－(8－2)×180° = 360°
探究点：多边形的外角和
新知探究
n 边形的外角和
－(n－2)×180°
= 360°.
= n 个平角和－n 边形的内角和
= n×180°
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考：n 边形的外角和又是多少呢？
定理 多边形的外角和都等于 360° .
与边数无关
探究点：多边形的外角和
新知探究
问题4：回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个
内角是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
探究点：多边形的外角和
新知探究
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？
解：设这个多边形是 n 边形，则它的内角和等于 (n - 2) · 180° ，外角和等于 360°.
根据题意，得 (n - 2)·180 = 3× 360°，
解得 n = 8.
所以，这个多边形是八边形.
探究点：多边形的外角和
新知探究
例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是 7∶2，
求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为 7x°，外角为 2x°，
根据题意得
7x + 2x = 180，
解得 x = 20.
即每个内角是 140°，每个外角是 40°.
360°÷40° = 9.
答：这个多边形的边数是 9.
还有其他解法吗？
探究点：多边形的外角和
新知探究
解法二：设这个多边形的边数为 n ，根据题意得
解得 n = 9.
答：这个多边形的边数是 9.
探究点：多边形的外角和
新知探究
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是 x°，外角是 y°，
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是 360°，
则该正多边形的边数为 360÷120 = 3.
故这个多边形的每个内角的度数是 60°，边数是 3.
探究点：多边形的外角和
新知探究
【练一练】 如图所示，小华从点 A 出发，沿直线前进 10 米后左转 24°，再沿直线前进 10 米，又向左转 24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点 A 时，走的路程一共是______米．
150
24°
24°
A
探究点：多边形的外角和
新知探究
多边形的性质
外角和
多边形的外角和等于 360°.
特别注意：与边数无关
正多边形
外角=
课堂小结
1. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个
多边形的边数是(　C　)
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
2. 内角和与外角和相等的图形是(　B　)
A. 三角形 B. 四边形
C. 五边形 D. 六边形
C
B
3. 如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，
∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角.
若∠1＝32°，∠3＝60°，则∠2的度数是 .
88°　
5. 如图，五边形ABCDE中，∠A＝120°，
则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数是 .
4. 经过多边形一个顶点共有5条对角线，若这个多
边形是正多边形，则它的每一个外角是 度.
45
300°　
6. 已知一个正多边形的内角和是外角和的 2 倍，则
这个正多边形的每个外角的度数 为 .
60°
解：设这个正多边形的一个内角的度数是x°，
则x＋ x＋12＝180，解得x＝140.
∴这个正多边形的一个内角的度数是140°，
一个外角的度数是180°－140°＝40°.
∴这个正多边形的边数是 ＝9.
7. 李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的 多12°，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数.

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