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1 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角
第一章 三角形的证明及其应用
1. 理解三角形的外角的概念. (重点)
2. 掌握三角形内角和定理的推论. (难点)
3. 经历由特殊到一般的数学思维过程，体会数学推理的严谨性.
1. 什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，
三角形的内角的和是 180°.
2. 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，
则∠ACB = °，∠ACD = °.
A
B
C
D
50
130
∠ACD 叫作什么角？
定义 △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角.
∠ACD 是△ABC 的一个外角.
C
B
A
探究点1：三角形外角的概念
D
外角
内角
新知探究
问题1：如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的外角.
问题2：如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
探究点1：三角形外角的概念
新知探究
A
B
C
问题3：画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点处对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
探究点1：三角形外角的概念
新知探究
① 角的顶点是三角形的顶点；
② 角的一边是三角形的一边；
③ 另一边是三角形中一边的延长线.
三角形的外角应具备的条件：
每一个三角形都有 6 个外角．
【归纳总结】
1
2
3
6
5
4
A
B
C
探究点1：三角形外角的概念
新知探究
F
A
B
C
D
E
做一做： 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？
∠BEC 是△AEC 的外角；
∠AEC 是△BEF 和△BEC
的外角；
∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角.
探究点1：三角形外角的概念
新知探究
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
思考1：如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角∠ACB 有什么关系？
∠BCD 与∠ACB 互补.
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
思考2：如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两个内角 (∠A，∠B ) 又有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B =∠BCD.
你能借助平行线的知识证明此结论吗？
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
D
证明：过点 C 作 CE∥AB，
A
B
C
1
2
则∠1 = ∠B
(两直线平行，同位角相等)，
∠2 = ∠A
(两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
E
已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B.
【证一证】
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形内角和定理推论1：
几何语言：
在△ABC 中，
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD =∠A + ∠B.
【知识要点】
A
B
C
D
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
【练一练】1. 说出下列图形中∠1 和∠2 的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80°
60°
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50°
32°
(2)
∠1 = 40°，∠2 = 140°
∠1 = 18°，∠2 = 130°
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
例1 如图，在△ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B =∠C. 求证：AD∥BC.
A
C
D
B
E
分析：
证明 AD∥BC
平行线的判定
证明内错角相等
或同位角相等
或同旁内角互补
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
例1 如图，在△ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B =∠C. 求证：AD∥BC.
A
C
D
B
E
证法一：∵∠EAC =∠B +∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B =∠C ，
∴∠C = ∠EAC .
∵ AD 平分∠EAC.
∴∠DAC = ∠EAC .
∴∠DAC = ∠C. ∴AD∥BC.
还有其他证明方法吗？
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
A
C
D
B
E
证法二：∵∠EAC =∠B +∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，
∠B =∠C ，
∴∠B = ∠EAC .
∵ AD 平分∠EAC .
∴∠DAE = ∠EAC .
∴∠DAE =∠B .
∴ AD∥BC .
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
思考3：(1) 如图①，试比较∠2、∠1 的大小；
(2) 如图②，试比较∠3、∠2、 ∠1 的大小.
图①
图②
解：∵∠2=∠1+∠B，
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2 =∠1 + ∠B，
∠3 =∠2 + ∠D，
∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
A
B
C
D
(
(
1
2
3
A
B
C
D
(
(
(
1
2
E
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
推论 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形内角和定理推论2：
几何语言：
在△ABC 中，
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
A
B
C
D
【知识要点】
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
例2 如图，P 是△ABC 内一点，连接 PB，PC.
求证：∠BPC＞∠A.
证明：如图，延长 BP，交 AC 于点 D.
∵∠BPC 是△PDC 的一个外角(外角定义)，
∴∠BPC＞∠PDC (三角形的一个外角
大于任何一个和它不相邻的内角).
∵∠PDC 是△ABD 的一个外角 (外角定义)，
∴∠PDC＞∠A (三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴∠BPC＞∠A.
A
B
C
P
D
还有其他证明方法吗？
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
【练一练】(一题多解) 如图，∠A = 51°，∠B = 20°，
∠C = 30°，求∠BDC 的度数.
解法一：连接 AD 并延长到点 E.
在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3，
在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4.
∵∠BDC =∠3 +∠4，
∠BAC =∠1 +∠2，
∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
20°
30°
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么？
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.
在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A，
在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C.
∴∠BDC =∠A +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
E
)
1
解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二).
)
2
F
总结：解题的关键是正确地构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
角度模型
∠A+∠B+∠C=∠D
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
解：由三角形外角性质，得
∠BAE =∠2 +∠3，
∠CBF =∠1 +∠3，
∠ACD =∠1 +∠2.
又∠1 +∠2 +∠3 = 180°，
∴∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2(∠1 +∠2 +∠3) = 360°.
例3 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他求法吗？
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
解法二：如图，
∠BAE +∠1 = 180° ① ，
∠CBF +∠2 = 180° ②，
∠ACD +∠3 = 180° ③，
又∠1 +∠2 +∠3 = 180°，
① + ② + ③ 得
∠BAE +∠CBF +∠ACD + (∠1 +∠2 +∠3) = 540°，
∴∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
解法三：过 A 作 AM∥BC，
则易得∠3＝∠4，
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝∠BAM，
∴∠1＋∠2＋∠3 ＝∠1＋∠4＋∠BAM = 360°.
M
结论：三角形的外角和等于 360°.
思考：你能总结出三角形的外角和规律吗？
D
E
F
探究点2：三角形外角的性质
新知探究
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于 360°
2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
课堂小结
1. 如图，已知∠A＝33°，∠B＝75°，则∠BCD
的度数为(　B　)
A. 147° B. 108°
C. 105° D. 以上答案都不对
第1题图
B
第2题图
2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝70°，
BD是角平分线，则∠BDA的度数是(　B　)
A. 100° B. 105°
C. 110° D. 120°
B
3. 如图，∠1 ∠2.
(填“＞”“＜”或“＝”)
第3题图
＞　
4. 一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于 °.
第4题图
75　
5. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分
∠ABC，CE平分∠ACD，则∠E的度数
为 .
25°　
6. 一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别是 21° 和 32°.现测量得∠BDC＝148°，你认为这个零件合格吗？为什么？
解：不合格. 理由如下：
如图，延长CD与AB交于点F.
∵∠DFB＝∠C＋∠A＝32°＋90°＝122°，
∴∠BDC＝∠DFB＋∠B＝122°＋21°＝143°.
∵实际量得的∠BDC＝148°≠143°，
∴这个零件不合格.

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