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湖南省娄底市冷水江市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025八下·冷水江期中）在实数中，最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．
2．（2025八下·冷水江期中）在下列手机手势解锁的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·冷水江期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·冷水江期中）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果．那么的度数为（　　）
A． B． C． D．125°
5．（2025八下·冷水江期中）将关于的分式方程去分母可得（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·冷水江期中）若二次函数的图象经过点，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·冷水江期中）投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏，为体验传统民俗，甲、乙两名同学进行投壶比赛，共投5轮，每轮有8支箭，如图是甲、乙两名同学投中个数折线统计图，则下列说法错误的是（　　）
A．甲同学第二轮和第四轮投壶命中数相同
B．乙同学第三轮投壶命中率最高
C．甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学多
D．甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定
8．（2025八下·冷水江期中）如图，在正六边形中，作正五边形，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·冷水江期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，将直线沿轴竖直向上平移2个单位长度得到直线，直线与该双曲线交于点．与轴交于点，若，则的值为（　　）
A．6 B．8 C． D．
10．（2025八下·冷水江期中）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（　　）
A．2 B． C． D．1
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025八下·冷水江期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·冷水江期中）2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示为　 　．
13．（2025八下·冷水江期中）“春江潮水连海平，海上明月共潮生”是唐代诗人张若虚《春江花月夜》中的名句，描绘了一幅幽美邈远的春江月夜图．将这句诗中的每个字分别写在背面完全相同的不同张卡片上，随机抽取1张卡片，则抽中“海”字卡片的概率为　 　．
14．（2025八下·冷水江期中）用圆心角为的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为1，则圆锥的侧面积为　 　．
15．（2025八下·冷水江期中）如图，在等边中，于点，延长至点，使得，连接，若，则的长为　 　．
16．（2025八下·冷水江期中）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则　 　．
17．（2025八下·冷水江期中）如图①是一个秋千简易图，将其抽象成如图②所示的示意图，已知两根完全相等的支柱，垂直于地面，、是两根等长且紧绷的绳子．所在的直线为地面，已知，，，．当秋千处于静止状态时，木板到地面的距离约为　 　m．（结果精确到，参考数据：，，）
18．（2025八下·冷水江期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；，依次进行下去，则点的坐标为　 　．
三、解答题（本大题有8个小题，第19~20题每题6分，第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26题每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（2025八下·冷水江期中）计算： ．
20．（2025八下·冷水江期中）先化简，再求值：，其中．
21．（2025八下·冷水江期中）如图，在中，尺规作图步骤如下：①作的平分线，交于点；②作的垂直平分线，分别交，于点，．
（1）步骤①中作角平分线的作图依据是_____；
A． B． C． D．
（2）请将步骤②中的图形补充完整（保留作图痕迹）；
（3）连接，，求证：四边形为菱形．
22．（2025八下·冷水江期中）湘绣作为中国四大名绣之一，凭借其国潮经典之韵，深受国内外消费者的喜爱．某商场计划购进，两款湘绣并出售，已知两款湘绣的进价和售价如下表：
类别 价格 款湘绣 款湘绣
进价（元/件） 800 1400
售价（元/件） 980 1680
（1）该商场第一次用24400元购进了，两款湘绣共20件，求两款湘绣分别购进多少件；
（2）该商场计划补货两款湘绣共30件，且购进款湘绣的数量不少于款湘绣的，则应如何设计进货方案才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是多少？
23．（2025八下·冷水江期中）湖南作为伟人故乡和红色圣地，积淀了丰富的红色历史文化资源，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，某校组织七、八年级学生前往湖南省博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果．校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分100分），过程如下：
【收集数据】
七年级抽取学生成绩在这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89；
八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100；
【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下：
七年级 4 7 2 7
八年级 3 4 7
【分析数据】
两组数据的平均数、中位数、众数如下表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 91 97
八年级 91 91
请结合以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是_____（填写“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）填空：_____，_____，_____；
（3）样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）若该校七、八年级各有200名学生，假设全部参加此次研学旅行并完成了观后感，请估计这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数．
24．（2025八下·冷水江期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25．（2025八下·冷水江期中）综合与实践
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形中．．
，如图②，保持不动，将沿着方向向下平移，使得点与边的中点重合，得到．
操作发现：
（1）连接，试猜想和的数量关系，并说明理由；
（2）如图③，在图②的基础上，再将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点在同一条直线上（在中间），连接．试判断四边形的形状，并证明你的结论；
实践探究：
（3）如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转．当第一次恰好与垂直时停止旋转，设与交于点，与交于点，延长交于点，连接交于点，求线段的长．
26．（2025八下·冷水江期中）已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴最大的数是，
故选：D．
【分析】结合无理数的估算，利用正数大于零，负数小于零比较实数的大小解答即可．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念“一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解答即可．
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，所以A选项的计算正确；
B．，所以B选项的计算错误；
C．，所以C选项的计算错误；
D．不是同类项，不能合并，所以D选项的计算错误．
故选：A．
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项的法则逐项判断解答即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解，如图，
由题意知：，
∴，
∵，
∴
故选：C．
【分析】根据平行线的性质可得，然后利用三角形外角求出解答即可．
5．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘，
得．
故选：B．
【分析】将原分式方程两边同乘去分母即可解答．
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴开口向上，有最小值，且离对称轴越远，函数值越大，
∵点，，，，
∴，
故选：A．
【分析】得到函数图象的对称轴为，图象开口向上，利用二次函数离对称轴远的点的函数值大解答即可．
7．【答案】C
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：甲同学第二轮和第四轮投壶都投中了4支，命中数相同，A正确，不符合题意；
乙同学第三轮投壶投中7支，投中次数最多，命中率最高，B正确，不符合题意；
甲同学五轮投壶命中总数为．
乙同学五轮投壶命中总数为，
甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学少，C错误，符合题意；
观察折线统计图可知，甲同学五轮投壶命中的次数波动比乙同学五轮投壶命中的次数波动小，则甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定，D正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】从折线图中提取信息逐项判断解答可．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正六边形内角和为，
正六边形每个内角为，
正五边形内角和为，
正五边形每个内角为，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角，求出∠BCK的值，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和解答即可．
9．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线的表达式为，由平移的性质知，直线的表达式为，
当时，，
，
由直线与直线的表达式知，两条直线和轴所夹锐角均为，如图，过两点作轴的垂线，垂足为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
解得或（舍去），
．
故选：C．
【分析】根据一次函数图象平移规律“上加下减，左加右减”得出直线的表达式，求得点，可知两条直线和轴所夹锐角均为，即可得到，设，既有，代入反比例函数解析式求得k值即可．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—边角关系；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵在矩形中，，
∴，，，，
由对折可得：，，，
∴，
∴，
如图，记与的交点为，延长交于，
∴，
由对折可得：，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
同理：，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】记与的交点为，延长交于，根据勾股定理求出，利用正弦得到，设，求出，根据TC长求出解答即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
.
故答案为：.
【分析】根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将1179万用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】科学记数法一般形式为，其中，n为小数点向左移动的位数．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有14张卡片，其中抽中“海”字卡片的有2张卡片，
所以抽中“海”字卡片的概率为；
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算解答．
14．【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面圆半径为1，
∴底面圆的周长为，即扇形的弧长为，
设扇形的半径是r，则，
，
∴扇形的面积为，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：．
【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长，求出圆锥的母线长，再利用扇形的面积公式计算解题．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【分析】由等边三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，结合勾股定理即可求解．
16．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，
是的根，
方程是“湘”方程，
，
，
，
方程有两个相等的实数根，
，
，
解得：，
，
；
故答案为：．
【分析】根据新定义得是的根，可得方程是“湘”方程，根据根的判别式得，即可求解．
17．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过作交于，延长交于，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
（），
故答案为：．
【分析】过作交于，延长交于，则四边形是矩形，即可得到，根据正弦的定义求出CM的值解答即可．
18．【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由条件可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
同理可得：，， ，
∴依此类推，，
∴当时，，
由坐标系可得，点落在轴的正半轴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】证明，根据对应边成比例得出，同理可得：，，即可得到规律，求出时的长即可解题．
19．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简二次根式，绝对值，计算负整数幂，二次根式乘法，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可解题．
20．【答案】解：原式
．
当时，
原式．

【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式展开合并化简，然后代入x，y的值解答.
21．【答案】（1）D
（2）解：如图，直线即为所求，
（3）证明：如图，
平分，
，
垂直平分线段，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：如图，
由作图可知：，，
又∵，
∴，
∴，
即是的平分线．
∴在所作图的步骤中①得到角平分线的依据是；
故答案为：D；
【分析】（1）根据作图过程得到全等三角形的判定定理即可；
（2）利用作线段的垂直平分线的步骤作图即可；
（3）根据垂直平分线的性质得到，然后推导是平行四边形，进而证明结论．
（1）解：如图，
由作图可知：，，
又∵，
∴，
∴，
即是的平分线．
∴在所作图的步骤中①得到角平分线的依据是；
故答案为：D；
（2）解：如图，直线即为所求，
（3）证明：如图，
平分，
，
垂直平分线段，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
22．【答案】（1）解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，由题意得
，
解得：，
(件)，
答∶款湘绣购进件，款湘绣购进件；
（2）解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，补货售完后获得利润为元，
，
解得：，
，
，
随的增大而增大，
当时，取最大值，
最大值为 (元)，
(件)，
答∶购进款湘绣件，款湘绣件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设款湘绣购进件，根据“购进款湘绣的费用购进款湘绣的费用元”列方程解答即可；
（2）设款湘绣购进件，求出m的取值范围，利用补货售完后获得利润补货售完后款湘绣所获得的利润补货售完后款湘绣所获得的利润列函数关系式，根据函数图象的增减性解答即可．
（1）解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，由题意得
，
解得：，
(件)，
答∶款湘绣购进件，款湘绣购进件；
（2）解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，补货售完后获得利润为元，
，
解得：，
，
，
随的增大而增大，
当时，取最大值，
最大值为 (元)，
(件)，
答∶购进款湘绣件，款湘绣件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是元．
23．【答案】（1）抽样调查
（2）6，89，95；
（3）解：七年级学生甲在本年级的排名更靠前．理由如下∶
∵八年级抽取学生成绩的中位数是91分，七年级抽取学生成绩的中位数是89分，
∴90 分大于七年级抽取学生成绩的中位数，小于八年级抽取学生成绩的中位数，
∴七年级学生甲在本年级的排名更靠前；
（4）解：，
答：这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数约为200 名．
【知识点】全面调查与抽样调查；频数（率）分布直方图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析，
∴在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
（2）解：根据题意得到，
七年级中位数：，
∴，
根据八年级抽取学生的成绩数据得到95最多，
∴，
故答案为：6，89，95；
【分析】（1）根据调查的分类解答即可；
（2）数出的人数得到，根据中位数的定义得到b，众数的定义求出c即可；
（3）根据七、八年级的中位数分析解答即可；
（4）分别运用七、八年级成绩不低于90分的人数占比乘以该校七、八年级总人数求和解答即可．
（1）解：∵校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析，
∴在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
（2）解：根据题意得到，
七年级中位数：，
∴，
根据八年级抽取学生的成绩数据得到95最多，
∴，
故答案为：6，89，95；
（3）解：七年级学生甲在本年级的排名更靠前．理由如下∶
∵八年级抽取学生成绩的中位数是91分，七年级抽取学生成绩的中位数是89分，
∴90 分大于七年级抽取学生成绩的中位数，小于八年级抽取学生成绩的中位数，
∴七年级学生甲在本年级的排名更靠前；
（4）解：，
答：这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数约为200 名．
24．【答案】（1）证明：连接，
是的平分线，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过作交于，
则，
，
，
是的直径，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
．
的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，可推出，再根据等腰三角形的性质得，结合平行线的性质即可得证；
（2）过作交于，根据直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形的性质得，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而得到，最后由勾股定理即可求解
（1）证明：连接，
是的平分线，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过作交于，
则，
，
，
是的直径，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
．
的长为．
25．【答案】解：（1）理由如下：如解图，
是的中点，根据勾股定理，得，
，
由平移的性质，得，
，
为的中点，
又为直角三角形，
．
（2）证明：四边形为平行四边形，
证明如下：
由旋转的性质，得，
在中，
是的中点，
，
．
由题图①得，
，
根据旋转的性质，可得，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：，
，
．
，
．
，
，
，
为的中点，
是的中位线，
，
，
，
．
，
．
由（1）知，，
则，
，
，
，
在中，由勾股定理得，．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出AC长，根据平移的性质得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质解答即可；
（2）根据旋转和平移的性质得到，，即可证明结论．
（3）得到是的中位线，根据正切的定义求出A'E和DH 长，再根据勾股定理解答即可．
26．【答案】（1）解：将代入中，得
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，，
解得，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
将代入，得，
解得，
直线的表达式为，
抛物线表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
点的坐标为，
如图，过点作轴交于点．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，，
，
，
当时，取最大值，
当时，，
四边形面积的最大值为，此时点的坐标为；
（3）解：抛物线的表达式为，抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为3，
设，
由（2）得，，
分以下三种情况讨论：
①当为的对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
②当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
③当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得
，
．
综上所述，点的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）求出直线的表达式为，计算得出抛物线的对称轴，即可得到点D的坐标，利用求出，设点的坐标为，则点的坐标为，再根据，，得到关于m的二次函数关系式，排放得到最大值解答即可；
（3）先求出平移后的抛物线解析式，即可得到平移后的对称轴，再分①当为的对角线时，②当为的边，且为对角线时，③当为的边，且为对角线时，三种情况利用对角线中点坐标列方程解答即可．
（1）解：将代入中，得
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，，
解得，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
将代入，得，
解得，
直线的表达式为，
抛物线表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
点的坐标为，
如图，过点作轴交于点．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，，
，
，
当时，取最大值，
当时，，
四边形面积的最大值为，此时点的坐标为；
（3）解：抛物线的表达式为，
抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为3，
设，
由（2）得，，
分以下三种情况讨论：
①当为的对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
②当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
③当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得
，
．
综上所述，点的坐标为或或．
1 / 1湖南省娄底市冷水江市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025八下·冷水江期中）在实数中，最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴最大的数是，
故选：D．
【分析】结合无理数的估算，利用正数大于零，负数小于零比较实数的大小解答即可．
2．（2025八下·冷水江期中）在下列手机手势解锁的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念“一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解答即可．
3．（2025八下·冷水江期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，所以A选项的计算正确；
B．，所以B选项的计算错误；
C．，所以C选项的计算错误；
D．不是同类项，不能合并，所以D选项的计算错误．
故选：A．
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项的法则逐项判断解答即可.
4．（2025八下·冷水江期中）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果．那么的度数为（　　）
A． B． C． D．125°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解，如图，
由题意知：，
∴，
∵，
∴
故选：C．
【分析】根据平行线的性质可得，然后利用三角形外角求出解答即可．
5．（2025八下·冷水江期中）将关于的分式方程去分母可得（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘，
得．
故选：B．
【分析】将原分式方程两边同乘去分母即可解答．
6．（2025八下·冷水江期中）若二次函数的图象经过点，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴开口向上，有最小值，且离对称轴越远，函数值越大，
∵点，，，，
∴，
故选：A．
【分析】得到函数图象的对称轴为，图象开口向上，利用二次函数离对称轴远的点的函数值大解答即可．
7．（2025八下·冷水江期中）投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏，为体验传统民俗，甲、乙两名同学进行投壶比赛，共投5轮，每轮有8支箭，如图是甲、乙两名同学投中个数折线统计图，则下列说法错误的是（　　）
A．甲同学第二轮和第四轮投壶命中数相同
B．乙同学第三轮投壶命中率最高
C．甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学多
D．甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定
【答案】C
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：甲同学第二轮和第四轮投壶都投中了4支，命中数相同，A正确，不符合题意；
乙同学第三轮投壶投中7支，投中次数最多，命中率最高，B正确，不符合题意；
甲同学五轮投壶命中总数为．
乙同学五轮投壶命中总数为，
甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学少，C错误，符合题意；
观察折线统计图可知，甲同学五轮投壶命中的次数波动比乙同学五轮投壶命中的次数波动小，则甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定，D正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】从折线图中提取信息逐项判断解答可．
8．（2025八下·冷水江期中）如图，在正六边形中，作正五边形，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正六边形内角和为，
正六边形每个内角为，
正五边形内角和为，
正五边形每个内角为，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角，求出∠BCK的值，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和解答即可．
9．（2025八下·冷水江期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，将直线沿轴竖直向上平移2个单位长度得到直线，直线与该双曲线交于点．与轴交于点，若，则的值为（　　）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线的表达式为，由平移的性质知，直线的表达式为，
当时，，
，
由直线与直线的表达式知，两条直线和轴所夹锐角均为，如图，过两点作轴的垂线，垂足为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
解得或（舍去），
．
故选：C．
【分析】根据一次函数图象平移规律“上加下减，左加右减”得出直线的表达式，求得点，可知两条直线和轴所夹锐角均为，即可得到，设，既有，代入反比例函数解析式求得k值即可．
10．（2025八下·冷水江期中）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—边角关系；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵在矩形中，，
∴，，，，
由对折可得：，，，
∴，
∴，
如图，记与的交点为，延长交于，
∴，
由对折可得：，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
同理：，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】记与的交点为，延长交于，根据勾股定理求出，利用正弦得到，设，求出，根据TC长求出解答即可．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025八下·冷水江期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
.
故答案为：.
【分析】根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
12．（2025八下·冷水江期中）2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将1179万用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】科学记数法一般形式为，其中，n为小数点向左移动的位数．
13．（2025八下·冷水江期中）“春江潮水连海平，海上明月共潮生”是唐代诗人张若虚《春江花月夜》中的名句，描绘了一幅幽美邈远的春江月夜图．将这句诗中的每个字分别写在背面完全相同的不同张卡片上，随机抽取1张卡片，则抽中“海”字卡片的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有14张卡片，其中抽中“海”字卡片的有2张卡片，
所以抽中“海”字卡片的概率为；
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算解答．
14．（2025八下·冷水江期中）用圆心角为的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为1，则圆锥的侧面积为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面圆半径为1，
∴底面圆的周长为，即扇形的弧长为，
设扇形的半径是r，则，
，
∴扇形的面积为，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：．
【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长，求出圆锥的母线长，再利用扇形的面积公式计算解题．
15．（2025八下·冷水江期中）如图，在等边中，于点，延长至点，使得，连接，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【分析】由等边三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，结合勾股定理即可求解．
16．（2025八下·冷水江期中）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则　 　．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，
是的根，
方程是“湘”方程，
，
，
，
方程有两个相等的实数根，
，
，
解得：，
，
；
故答案为：．
【分析】根据新定义得是的根，可得方程是“湘”方程，根据根的判别式得，即可求解．
17．（2025八下·冷水江期中）如图①是一个秋千简易图，将其抽象成如图②所示的示意图，已知两根完全相等的支柱，垂直于地面，、是两根等长且紧绷的绳子．所在的直线为地面，已知，，，．当秋千处于静止状态时，木板到地面的距离约为　 　m．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过作交于，延长交于，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
（），
故答案为：．
【分析】过作交于，延长交于，则四边形是矩形，即可得到，根据正弦的定义求出CM的值解答即可．
18．（2025八下·冷水江期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；，依次进行下去，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由条件可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
同理可得：，， ，
∴依此类推，，
∴当时，，
由坐标系可得，点落在轴的正半轴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】证明，根据对应边成比例得出，同理可得：，，即可得到规律，求出时的长即可解题．
三、解答题（本大题有8个小题，第19~20题每题6分，第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26题每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（2025八下·冷水江期中）计算： ．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简二次根式，绝对值，计算负整数幂，二次根式乘法，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可解题．
20．（2025八下·冷水江期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
．
当时，
原式．

【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式展开合并化简，然后代入x，y的值解答.
21．（2025八下·冷水江期中）如图，在中，尺规作图步骤如下：①作的平分线，交于点；②作的垂直平分线，分别交，于点，．
（1）步骤①中作角平分线的作图依据是_____；
A． B． C． D．
（2）请将步骤②中的图形补充完整（保留作图痕迹）；
（3）连接，，求证：四边形为菱形．
【答案】（1）D
（2）解：如图，直线即为所求，
（3）证明：如图，
平分，
，
垂直平分线段，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：如图，
由作图可知：，，
又∵，
∴，
∴，
即是的平分线．
∴在所作图的步骤中①得到角平分线的依据是；
故答案为：D；
【分析】（1）根据作图过程得到全等三角形的判定定理即可；
（2）利用作线段的垂直平分线的步骤作图即可；
（3）根据垂直平分线的性质得到，然后推导是平行四边形，进而证明结论．
（1）解：如图，
由作图可知：，，
又∵，
∴，
∴，
即是的平分线．
∴在所作图的步骤中①得到角平分线的依据是；
故答案为：D；
（2）解：如图，直线即为所求，
（3）证明：如图，
平分，
，
垂直平分线段，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
22．（2025八下·冷水江期中）湘绣作为中国四大名绣之一，凭借其国潮经典之韵，深受国内外消费者的喜爱．某商场计划购进，两款湘绣并出售，已知两款湘绣的进价和售价如下表：
类别 价格 款湘绣 款湘绣
进价（元/件） 800 1400
售价（元/件） 980 1680
（1）该商场第一次用24400元购进了，两款湘绣共20件，求两款湘绣分别购进多少件；
（2）该商场计划补货两款湘绣共30件，且购进款湘绣的数量不少于款湘绣的，则应如何设计进货方案才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，由题意得
，
解得：，
(件)，
答∶款湘绣购进件，款湘绣购进件；
（2）解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，补货售完后获得利润为元，
，
解得：，
，
，
随的增大而增大，
当时，取最大值，
最大值为 (元)，
(件)，
答∶购进款湘绣件，款湘绣件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设款湘绣购进件，根据“购进款湘绣的费用购进款湘绣的费用元”列方程解答即可；
（2）设款湘绣购进件，求出m的取值范围，利用补货售完后获得利润补货售完后款湘绣所获得的利润补货售完后款湘绣所获得的利润列函数关系式，根据函数图象的增减性解答即可．
（1）解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，由题意得
，
解得：，
(件)，
答∶款湘绣购进件，款湘绣购进件；
（2）解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，补货售完后获得利润为元，
，
解得：，
，
，
随的增大而增大，
当时，取最大值，
最大值为 (元)，
(件)，
答∶购进款湘绣件，款湘绣件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是元．
23．（2025八下·冷水江期中）湖南作为伟人故乡和红色圣地，积淀了丰富的红色历史文化资源，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，某校组织七、八年级学生前往湖南省博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果．校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分100分），过程如下：
【收集数据】
七年级抽取学生成绩在这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89；
八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100；
【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下：
七年级 4 7 2 7
八年级 3 4 7
【分析数据】
两组数据的平均数、中位数、众数如下表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 91 97
八年级 91 91
请结合以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是_____（填写“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）填空：_____，_____，_____；
（3）样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）若该校七、八年级各有200名学生，假设全部参加此次研学旅行并完成了观后感，请估计这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数．
【答案】（1）抽样调查
（2）6，89，95；
（3）解：七年级学生甲在本年级的排名更靠前．理由如下∶
∵八年级抽取学生成绩的中位数是91分，七年级抽取学生成绩的中位数是89分，
∴90 分大于七年级抽取学生成绩的中位数，小于八年级抽取学生成绩的中位数，
∴七年级学生甲在本年级的排名更靠前；
（4）解：，
答：这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数约为200 名．
【知识点】全面调查与抽样调查；频数（率）分布直方图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析，
∴在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
（2）解：根据题意得到，
七年级中位数：，
∴，
根据八年级抽取学生的成绩数据得到95最多，
∴，
故答案为：6，89，95；
【分析】（1）根据调查的分类解答即可；
（2）数出的人数得到，根据中位数的定义得到b，众数的定义求出c即可；
（3）根据七、八年级的中位数分析解答即可；
（4）分别运用七、八年级成绩不低于90分的人数占比乘以该校七、八年级总人数求和解答即可．
（1）解：∵校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析，
∴在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
（2）解：根据题意得到，
七年级中位数：，
∴，
根据八年级抽取学生的成绩数据得到95最多，
∴，
故答案为：6，89，95；
（3）解：七年级学生甲在本年级的排名更靠前．理由如下∶
∵八年级抽取学生成绩的中位数是91分，七年级抽取学生成绩的中位数是89分，
∴90 分大于七年级抽取学生成绩的中位数，小于八年级抽取学生成绩的中位数，
∴七年级学生甲在本年级的排名更靠前；
（4）解：，
答：这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数约为200 名．
24．（2025八下·冷水江期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
是的平分线，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过作交于，
则，
，
，
是的直径，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
．
的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，可推出，再根据等腰三角形的性质得，结合平行线的性质即可得证；
（2）过作交于，根据直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形的性质得，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而得到，最后由勾股定理即可求解
（1）证明：连接，
是的平分线，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过作交于，
则，
，
，
是的直径，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
．
的长为．
25．（2025八下·冷水江期中）综合与实践
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形中．．
，如图②，保持不动，将沿着方向向下平移，使得点与边的中点重合，得到．
操作发现：
（1）连接，试猜想和的数量关系，并说明理由；
（2）如图③，在图②的基础上，再将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点在同一条直线上（在中间），连接．试判断四边形的形状，并证明你的结论；
实践探究：
（3）如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转．当第一次恰好与垂直时停止旋转，设与交于点，与交于点，延长交于点，连接交于点，求线段的长．
【答案】解：（1）理由如下：如解图，
是的中点，根据勾股定理，得，
，
由平移的性质，得，
，
为的中点，
又为直角三角形，
．
（2）证明：四边形为平行四边形，
证明如下：
由旋转的性质，得，
在中，
是的中点，
，
．
由题图①得，
，
根据旋转的性质，可得，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：，
，
．
，
．
，
，
，
为的中点，
是的中位线，
，
，
，
．
，
．
由（1）知，，
则，
，
，
，
在中，由勾股定理得，．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出AC长，根据平移的性质得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质解答即可；
（2）根据旋转和平移的性质得到，，即可证明结论．
（3）得到是的中位线，根据正切的定义求出A'E和DH 长，再根据勾股定理解答即可．
26．（2025八下·冷水江期中）已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】（1）解：将代入中，得
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，，
解得，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
将代入，得，
解得，
直线的表达式为，
抛物线表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
点的坐标为，
如图，过点作轴交于点．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，，
，
，
当时，取最大值，
当时，，
四边形面积的最大值为，此时点的坐标为；
（3）解：抛物线的表达式为，抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为3，
设，
由（2）得，，
分以下三种情况讨论：
①当为的对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
②当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
③当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得
，
．
综上所述，点的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）求出直线的表达式为，计算得出抛物线的对称轴，即可得到点D的坐标，利用求出，设点的坐标为，则点的坐标为，再根据，，得到关于m的二次函数关系式，排放得到最大值解答即可；
（3）先求出平移后的抛物线解析式，即可得到平移后的对称轴，再分①当为的对角线时，②当为的边，且为对角线时，③当为的边，且为对角线时，三种情况利用对角线中点坐标列方程解答即可．
（1）解：将代入中，得
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，，
解得，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
将代入，得，
解得，
直线的表达式为，
抛物线表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
点的坐标为，
如图，过点作轴交于点．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，，
，
，
当时，取最大值，
当时，，
四边形面积的最大值为，此时点的坐标为；
（3）解：抛物线的表达式为，
抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为3，
设，
由（2）得，，
分以下三种情况讨论：
①当为的对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
②当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
③当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得
，
．
综上所述，点的坐标为或或．
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