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第四章因式分解知识点总结
（1）把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变化叫作因式分解，也叫分解因式。
（2）分解因式的注意事项：①等式左边是多项式；②等式右边是整式的乘积。
（3）如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。
（4）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“－”号时，多项式的各项都要变号。
（5）（a+b）=+（b+a）；（a－b）=－（b－a）；（－a－b）=－（a+b）；（a+b）2=（b+a）2；（a－b）2=（b－a）2。
（6）判断能用平方差公式的方法： 多项式是两项，化成平方且两项是异号 。
（7）a2－b2=（a+b）（a－b）。
（8）判断用完全平方式的方法： 多项式是三项，且其中化成平方的两项是同号，且该两项乘积的两倍等于第三项 。
（9）a2+2ab+b2=（a+b）2；a2－2ab+b2=（a－b）2
（10）提公因式的一般步骤：①提取公因式；②用公式法。
第四章因式分解单元测试题
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.下列各式中,因式分解正确的是 ( )
A.5ax2-5ay2=5a(x2-y2) B.x2-4y2=(x-2y)(x+2y)
C.4x2-4x+1=4x(x-1)+1 D.2x(x+y)-6y(x+y)=(x+y)(2x-6y)
2.多项式9a2x2-18a4x3各项的公因式是 ( )
A.9ax　　 B.9a2x2　　 C.a2x2 　　 D.9a4x3
3.分解因式:a3-9a= ( )
A.a(a-3)(a+3)　　　 B.a(a2+9) C.(a-3)(a+3)　　　 D.a2(a-9)
4.下列各式:①-x2-y2;②1-a2b2;③a2+ab+b2;④x2+2xy+y2;⑤x2-x+,可以用公式法分解因式的有 ( )
A.2个　　 B.3个　　 C.4个　　 D.5个
5.已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2b2-a2c2=b4-c4,则△ABC是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6.已知m2=3n+a,n2=3m+a,m≠n,则m2+2mn+n2的值为 ( )
A.9　　　 B.6 C.4　　　 D.无法确定
7.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“和谐数”.如8=32-12,16=52-32,所以8,16均为“和谐数”.在不超过2 024的正整数中,所有“和谐数”之和等于 ( )
A.255 025　　　 B.255 024 C.257 048　　　 D.257 049
8.若的结果为整数,则整数n的值不可能是 ( )
A.44　　 B.55　　 C.66　　 D.77
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
9.分解因式:2m3-12m2+18m=____________.
10.某密码翻译爱好者的书中记录着“2”“x”“x2-1”“x+1”“x-1”分别对应数字“2”“4”“6”“5”“3”,则多项式2x3-2x因式分解后呈现的密码信息可以是_________________.
11.已知a,b分别是长方形的长和宽,它的周长为12,面积为8,则a2b+ab2的值为________.
12.我们在学习整式乘法时,可以用几何图形来推理论证.受此启发,在学习因式分解后,小明同学将一张边长为a的正方形纸片(如图1)剪去2个长为a,宽为b的长方形以及3个边长为b的正方形后,剪拼成了如图2所示的长方形.观察图1和图2的阴影部分,请从因式分解的角度,用一个含有a,b的等式表示从图1到图2的变化:_______________________________.
三、解答题(共40分)
13.(12分)因式分解.
(1)-2ax3+12ax2-18ax. (2)a4-8a2b2+16b4. (3)m2(m-1)-4(1-m)2. (4)(x-y)2+6y(x-y)+9y2.
14.(8分)先因式分解,再求值.
(1)a(a-2)-6(a-2),其中a=3. (2)已知xy=-3,x-2y=,求-x4y2+4x3y3-4x2y4.
15.(10分)先阅读材料,再回答问题.
将多项式x2+4xy+4y2-4分解因式.
解:x2+4xy+4y2=(x+2y)2,将x+2y看成一个整体,令x+2y=M,原式=M2-4=(M+2)·(M-2),将M还原,则原式=(x+2y+2)(x+2y-2).上述解题过程用到的是“整体思想”.
(1)因式分解:(a-b)2-16=_______.
(2)因式分解:x2-4xy-5y2.
(3)请说明无论a取何值,(a2-4a)(a2-4a-4)+4的值一定是非负数.
16.(10分)小明从一张边长为a cm的正方形纸板上剪掉一个边长为b cm的正方形(如图1),然后将剩余部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形(如图2).
(1)剪拼过程揭示的因式分解的等式是______.
(2)若9x2-16y2=30,3x+4y=6,求4y-3x的值.
(3)利用因式分解计算:(1－)×(1－) ×（(1－)）×…×(1－)(1－).
答案
1.B
2.B
3.A
4.B
5.D
6.A
7.C
8.D
9.2m(m-3)2
10.2453(答案不唯一)
11.24
12.a2-2ab-3b2=(a+b)(a-3b)
13.解析 (1)原式=-2ax(x2-6x+9)=-2ax(x-3)2.
(2)原式=(a2-4b2)2
=[(a+2b)(a-2b)]2
=(a+2b)2(a-2b)2.
(3)原式=m2(m-1)-4(m-1)2
=(m-1)(m2-4m+4)
=(m-1)(m-2)2.
(4)原式=(x-y+3y)2=(x+2y)2.
14.解析 (1)原式=(a-2)(a-6),
∵a=3,
∴原式=(3-2)×(3-6)=-3.
(2)原式=-x2y2(x2-4xy+4y2)=-x2y2(x-2y)2,
∵xy=-3,x-2y=,
∴原式=-(xy)2(x-2y)2=-(-3)2×()2=-1.
15.解析 (1)设M=a-b,则(a-b)2-16=M2-42=(M+4)(M-4),
所以原式=(a-b+4)(a-b-4).
(2)x2-4xy-5y2=x2-4xy+4y2-9y2=(x-2y)2-9y2.
令x-2y=N,则原式=N2-(3y)2=(N+3y)(N-3y),
所以原式=(x-2y+3y)(x-2y-3y)=(x+y)(x-5y).
(3)令a2-4a=Q,则原式=Q(Q-4)+4=Q2-4Q+4=(Q-2)2,则原式=(a2-4a-2)2≥0,所以无论a取何值,(a2-4a)(a2-4a-4)+4的值一定是非负数.
16.(解析 (1)由题意得a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)∵9x2-16y2=30,
∴(3x+4y)(3x-4y)=30,
∵3x+4y=6,
∴3x-4y=5,
∴4y-3x=-5.
（3）

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