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因式分解第2节：提公因式法
知识点
（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。
（2）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“－”号时，多项式的各项都要变号。
（3）（a+b）=+（b+a）；（a－b）=－（b－a）；（－a－b）=－（a+b）；（a+b）2=（b+a）2；（a－b）2=（b－a）2。
练习题
第1 课时　公因式为单项式的因式分解
1.多项式12ab2-8a2bc中,各项的公因式是 ( )
A.4ab　　 B.4a2b2　　 C.2ab　　 D.2abc
2.多项式8xmyn-1-12x3myn中,各项的公因式是 ( )
A.xmyn　　 B.xmyn-1　　 C.4xmyn　　 D.4xmyn-1
3.下列代数式中,不能用提公因式法因式分解的是( )
A.ac+bc　　 B.2x-4xy　　 C.ax+y　　 D.-x2+xy
4.将6xy+12x2分解因式,正确的结果是 ( )
A.6x(y+2x)　　　 B.6xy(1+2x) C.12x(y+x)　　　 D.3x(2y+4x)
5.因式分解:x2+x=_____________.
6.因式分解:(2x3y)3+12x4y=___________________.
7.利用因式分解简便计算:17×0.11+37×0.11+46×0.11=_________.
8.把下列各式因式分解:
(1)8ab2-16a3b3.　 (2)-15xy-5x2. (3)a3b3+a2b2-ab.　 (4)-3a3m-6a2m2+3am.
9.把多项式-7ab-14abx+49aby分解因式,提公因式-7ab后,另一个因式是 ( )
A.1+2x-7y　　 　 B.1-2x-7y C.-1+2x+2y　　　 D.-1-2x+7y
10.若xy=3,x-3y=-5,则2x2y-6xy2的值为 ( )
A.-15　　 B.-1　　 C.2　　 D.-30
11.多项式x2y5-xynz因式分解时,提取的公因式是xy5,则n的值可能为 ( )
A.6　　 B.4　　 C.3　　 D.2
12.若2a+b=-1,则4a2+2ab-b的值为________.
13.某商场销售甲、乙、丙、丁四种不同的运动装,每套利润均为298元,为了增加销售量,现对四种运动装开展降价让利销售活动.已知甲种运动装每套让利20%,乙种运动装每套让利15%,丙种运动装每套让利25%,丁种运动装每套让利40%,则四种运动装各一套共让利多少元 (利用因式分解简便计算)
第2课时　公因式为多项式的因式分解
1.将3a(x-y)-9b(x-y)用提公因式法分解因式,应提的公因式是 ( )
A.3a-b　　　 B.x-y C.3(x-y)　　　 D.3a+b
2.把多项式m2(a-3)+m(3-a)分解因式,结果为 ( )
A.(a-3)(m2+m)　　　 B.(a-3)(m2-m) C.m(a-3)(m-1)　　　 D.m(a-3)(m+1)
3.x(x-2)+(2-x)分解因式的结果是_________________.
4.分解因式.
(1)a(x-2y)-b(2y-x). (2)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2.
5.先因式分解,再求值.
(1)4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3. (2)a2(-b-c)-4a(b+c),其中a=-5,a+b+c=-7.
6.已知a-b=5,b-c=-6,则代数式a2-ac-b(a-c)的值为 ( )
A.-30　　 B.30　　 C.-5　　 D.-6
7.因式分解:(2a+1)a-4a-2=_________________.
8.已知等式:x(y-1)+(__________)=(y-1)(x+3),若将括号内所填的式子记为A,则A=______.
9已知a2+b2=1,c2+d2=1且ac+bd=0,则ab+cd的值为_________.
10.已知(19x-31)(13x-17)-(17-13x)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(30x+c),其中a,b,c均为整数,求a+b+c的值.
11.阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是_______,共用了_______次.
(2)若分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 026,则结果是__________.
(3)依照上述方法分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
答案
第1 课时　公因式为单项式的因式分解
1.A
2.D
3.C
4.A
5.x(x+1)
6.4x4y(2x5y2+3)
7.11
8.解析 (1)8ab2-16a3b3=8ab2(1-2a2b).
(2)-15xy-5x2=-5x(3y+x).
(3)a3b3+a2b2-ab=ab(a2b2+ab-1).
(4)-3a3m-6a2m2+3am=-3am(a2+2am-1).
9.A
10.D
11.A
12.1
13.解析　根据题意,得四种运动装各一套共让利298×20%+298×15%+298×25%+298×40%=298×(20%+15%+25%+40%)=298(元).
答:四种运动装各一套共让利298元.
第2课时　公因式为多项式的因式分解
1.C
2.C
3.(x-2)(x-1)
4.解析 (1)a(x-2y)-b(2y-x)
=a(x-2y)+b(x-2y)
=(x-2y)(a+b).
(2)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2
=x(x+y)[x-y-(x+y)]
=x(x+y)(x-y-x-y)
=-2xy(x+y).
5.解析 (1)4a2(x+7)-3(x+7)=(x+7)(4a2-3),
当a=-5,x=3时,原式=(3+7)×(4×25-3)=970.
(2)a2(-b-c)-4a(b+c)=a(b+c)(-a-4)=-a(b+c)·(a+4),
∵a+b+c=-7,∴b+c=-7-a,
∵a=-5,∴b+c=-7+5=-2,
∴原式=5×(-2)×(-1)=10.
6.C
7.(2a+1)(a-2)_
8.3y-3
9.0
10.解析　∵(19x-31)(13x-17)-(17-13x)(11x-23)
=(19x-31)(13x-17)+(13x-17)(11x-23)
=(13x-17)(30x-54),
∴a=13,b=-17,c=-54,
∴a+b+c=-58.
11.解析 (1)分解因式的方法是提公因式法,共用了2次.
(2)分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 026需要用2026次
提公因式法,结果是(1+x)2 027.
(3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
=(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)n-1]
=(1+x)2[1+x+…+x(x+1)n-2]
……
=(1+x)n+1.

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