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浙江省温州市浙里联盟2024-2025学年八年级下学期期中诊断数学试题
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中最符合题意的一个选项，不选、多选、错选均不给分）
1．（2025八下·温州期中）下列标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·温州期中） 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·温州期中） 甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
平均数(环) 9.3 9.3 9.3 9.3
方差(环2) 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2025八下·温州期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为(　　)
A． B． C．4 D．16
5．（2025八下·温州期中） 化简，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·温州期中）在一次中学生田径运动会上，男子跳高项目的成绩统计如下：
成绩（） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70
人数（人） 2 8 6 4 1
表中表示成绩的一组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
7．（2025八下·温州期中）一元二次方程可以通过配方法转化为的形式，则配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·温州期中）如图，已知的对角线与相交于点，，将沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上，连接．若，则的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
9．（2025八下·温州期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
10．（2025八下·温州期中） 当 时，二次根式 的值是 　 　 .
11．（2025八下·温州期中）一元二次方程x2=x的根是　 　.
12．（2025八下·温州期中）一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是　 　边形．
13．（2025八下·温州期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则的值是　 　．
14．（2025八下·温州期中）如图，在中，，相交于点，，．过点作于点，则　 　．
三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025八下·温州期中）计算：
（1）．
（2）．
16．（2025八下·温州期中）解方程：
（1）．
（2）．
17．（2025八下·温州期中）为了了解八年级学生双休日的上网时间（单位：小时），某校随机抽取了名学生进行调查，得到了他们上周双休日上网时间的一组样本数据，整理并绘制成如下的统计图．
（1）这个样本数据的众数是________小时，中位数是________小时；
（2）求出这个样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估算该校八年级名学生双休日上网时间超过小时的人数．
18．（2025八下·温州期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口．
任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？
任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
19．（2025八下·温州期中）小聪与小慧一起研究尺规作图问题：
如图，在锐角三角形中，，是边上的中线．现在要找一点，使四边形是平行四边形．
小聪：以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连结，．
小慧：以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结，．
小聪：小慧，你的作法有问题．
小慧想了想说：哦……我明白了！
（1）请完成小聪的作图，并证明作出的四边形是平行四边形．
（2）指出小慧作法中存在的问题．
20．（2025八下·温州期中）如图，是的一条对角线，于点，于点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求四边形的周长．
21．（2025八下·温州期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）；
①；②；③
（2）若是“邻根方程”，求的值；
（3）若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由．
22．（2025八下·温州期中）【问题情境】
定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”．
【数学思考】
如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由．
【深入探究】
如图2，为“倍线平行四边形”，E是上的动点，连结交于点．
①若是的中点，，，求的长．
②过点作交于点，若，求证：是的中点．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】选项A符合中心对称图形的特征，因此选择A；
选项B、C、D均不满足中心对称图形的条件。
故选：A．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断。中心对称图形是指：一个图形绕某点旋转180°后，能与原图形完全重合。判断时需抓住旋转对称这一核心特征。
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴
∴
故答案为： D.
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数必须为非负数，据此得到不等式解此不等式即可求解．
3．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：甲的方差为0.035，乙为0.015，丙为0.025，丁为0.027，
∴乙的方差0.015是四人中方差最小的，说明乙的成绩最稳定.
故答案为：B.
【分析】根据平均数相同的情况下，方差越小表示数据波动越小，成绩越稳定，据此比较即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，即（-4）2-4c=0，
解得c=4.
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此斌结合题意列出方程，求解即可.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：原式=
故答案为： C.
【分析】根据二次根式计算法则计算即可.
6．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：出现次数最多的数为，是众数；
21个数按照从小到大的顺序排列，中间一个是，所以中位数是.
故选： B．
【分析】本题主要考查众数和中位数的概念及其应用。解题关键在于理解众数是指数据中出现次数最多的数值，而中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的数值（若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均值）。
7．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得，，
配方得，，
即，
故选：A．
【分析】本题考查了一元二次方程的配方法解法，掌握配方法的步骤是解题的关键。按照配方法的步骤逐步求解即可得到答案。
具体步骤如下：①将方程整理为标准形式；②进行配方操作；③解出方程的根。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
如图，连接，，
∵折叠，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
∴
故选：A．
【分析】本题主要考查平行四边形性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。解题时，连接辅助线和，根据折叠特性可得且夹角，从而证明与均为等腰直角三角形，最终通过勾股定理求出的长度即可得解。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入一元二次方程，得，，
两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得，
，
．
∴当时，方程成立．
∴方程必有一根为 ，
故选：D．
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的定义。
已知是方程的解（其中），将其代入方程可得。将等式两边同时除以，即可推导出所求方程的一个根。
10．【答案】1
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴原式=
故答案为：1 .
【分析】将x的值到根式中，直接进行计算即可.
11．【答案】x1=1，x2=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵x2=x，
∴x2-x=0，
∴x（x-1）=0，
解得：x1=0，x2=1，
故答案为：x1=0，x2=1.
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可.
12．【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形边数为，
根据多边形的内角和公式可得，
解得．
故答案为：六．
【分析】设多边形边数为，根据多边形的内角和公式列方程解题即可．
13．【答案】0或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
解得：或．
故答案为：0或2 ．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键在于理解新定义的运算规则。
根据题目给定的运算方法和步骤，将含有参数的一元二次方程的结果设为，然后建立方程并求解参数值。
14．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
作交的延长线于，设长为，长为．
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。解题关键在于正确添加辅助线，通过几何变换将问题转化为可计算的形式。解题步骤如下：
① 作辅助线DH⊥BC，交BC的延长线于点H；
②根据平行四边形ABCD的性质可得：AB=DC（对边相等）；AD∥BC（对边平行）
③证明Rt△ABE≌Rt△DCH（HL全等判定），由此可得：BE=CH=x
④计算相关线段长度：EC=BC-BE=y-x； BH=BC+CH=y+x
⑤应用勾股定理建立方程：
⑥通过解这个方程即可求得最终结果。
整个解题过程体现了将几何问题转化为代数方程的思想，充分运用了平行四边形的性质和全等三角形的判定方法。
15．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则。
（1）先利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可；
（2）直接运用平方差公式进行计算。
（1）解：原式．
（2）解：原式．
16．【答案】（1）解：，
则或，
解得，
（2）解：
方程的两边同加，得，
即，
则或，
所以，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解法，需要掌握正确的计算步骤。
（1）采用直接开平方法求解该方程；
（2）运用配方法完成方程的求解过程。
（1）解：，
则或，
解得，．
（2）解：
方程的两边同加，得，
即，
则或，
所以，．
17．【答案】（1），
（2）解：这个样本数据的平均数为（小时）
（3）解：该校八年级名学生双休日上网时间超过小时的大约有（人）
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这个样本数据的众数是小时，中位数是（小时），
故答案为：，；
【分析】本题主要考查对中位数、众数、平均数等统计概念的理解，以及运用样本数据推断总体特征的方法，掌握这些知识点是正确解题的关键。
（1）题目要求确定数据的中位数和众数，直接根据统计概念求解即可；
（2）计算平均数时，将所有数据求和后除以数据个数即可得到结果；
（3）用总体数量乘以样本中上网时长超过小时的个体占比，即可估算总体情况。
（1）解：这个样本数据的众数是小时，中位数是（小时），
故答案为：，；
（2）解：这个样本数据的平均数为（小时）；
（3）解：该校八年级名学生双休日上网时间超过小时的大约有（人）．
18．【答案】解：任务1：解：设的长为米，
由题意，得，
解得，（舍去），
所以，
任务2：解：由题意得，
方程无解，
不能围成的长方形菜园
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键在于理解题目条件并建立正确的等量关系。解题时需注意围墙的最大长度为，需舍去不符合题意的解。任务1：已知砌墙材料总长度为，设，则平行于墙的一边（需考虑门宽）。根据矩形面积公式建立方程，解该一元二次方程即可。
任务2：通过计算判别式，判断方程是否有实数解，从而确定能否围成指定面积的饲养场。
19．【答案】（1）解：小聪的作图如图所示．
证明：由题意得，
是边上的中线，
，
四边形是平行四边形
（2）解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，按晓慧的作法，画出的是一个两组邻边相等的四边形，不一定是平行四边形．（言之有理即可）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的作图方法和判定定理，需要熟练掌握平行四边形的基本判定方法才能正确解题。
（1）根据题目要求作图后，运用"对角线互相平分的四边形是平行四边形"这一定理即可证明；
（2）按照晓慧的作图方法，虽然能得到两组邻边相等的四边形，但这并不能保证一定是平行四边形，需要特别注意。
（1）解：小聪的作图如图所示．
证明：由题意得，
是边上的中线，
，
四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，按晓慧的作法，画出的是一个两组临边相等的四边形，不一定是平行四边形．（言之有理即可）
20．【答案】（1）证明：，，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形
（2）解：四边形是平行四边形，
，．
又，
，
，
．
，
，
，，
，
在和中，，，
四边形的周长是
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题综合考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定以及勾股定理的应用，其中熟练掌握平行四边形的相关性质是解题的关键。
（1）根据题意可得。利用平行四边形的性质，通过证明，得出对应边相等，从而证明四边形是平行四边形。
（2）根据平行四边形的性质可知，因此。接着在直角三角形和中运用勾股定理，最终求得边长和。
（1）证明：，，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，
，．
又，
，
，
．
，
，
，，
，
在和中，，，
四边形的周长是．
21．【答案】（1）③
（2）解：解方程得：，，该方程是“邻根方程”，
或，
解得：或
（3）解：设的两个根为，，由韦达定理得，．
∵为“邻根方程”，
∴，可得，
即，
代入得
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①解方程得：，，，
方程不是“邻根方程”；
②解方程得：，
，
方程不是“邻根方程”；
③解方程得：，，
，
方程是“邻根方程”．
故答案为：③．
【分析】本题重点考查一元二次方程的解法及根与系数的关系，解题关键在于理解"邻根方程"的定义。（1）第一问分析
需要分别计算三个方程的两个根，然后根据"邻根方程"的定义（两根之差的绝对值为1）进行判断。
（2）第二问解析
步骤如下：
①先求出给定方程的两个实数根
②根据"邻根方程"的定义建立关于的方程
③ 解这个一元一次方程得到的值
（3） 第三问推导
设方程的两根为和
根据定义有
结合韦达定理（根与系数关系），可推导出系数和之间的数量关系。
（1）解：①解方程得：，，
，
方程不是“邻根方程”；
②解方程得：，
，
方程不是“邻根方程”；
③解方程得：，，
，
方程是“邻根方程”．
故答案为：③．
（2）解：解方程得：，，
该方程是“邻根方程”，
或，
解得：或．
（3）解：设的两个根为，，
由韦达定理得，．
∵为“邻根方程”，
∴，可得，
即，
代入得．
22．【答案】解：[数学思考]是“倍线平行四边形”．理由：在中，，．
，
，
，
，
，
，
是“倍线平行四边形”．
[深入探究]
①是“倍线平行四边形”，
，
．
设，则．
，，
，
，
，
．
是的中点，且，
．
②证明：如图，过点作的延长线于点．
，
．
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
，
．
，
，．
又，
，
∴，
，，
，
，
是的中点
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题综合考查了平行四边形和菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题需灵活运用相关几何知识。
[数学思考] 由条件可得是菱形，已知，则对角线。运用勾股定理计算得，因此，满足的关系，故该平行四边形符合"倍线平行四边形"的定义。
[深入探究]
① 根据"倍线平行四边形"的性质可得，即。设，则，通过勾股定理解得。再利用勾股定理求，结合30°直角三角形的性质可得的值。
② 作辅助线延长线于点。先证四边形为平行四边形，得且。再证明两对全等三角形：和，最终得出的结论。
1 / 1浙江省温州市浙里联盟2024-2025学年八年级下学期期中诊断数学试题
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中最符合题意的一个选项，不选、多选、错选均不给分）
1．（2025八下·温州期中）下列标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】选项A符合中心对称图形的特征，因此选择A；
选项B、C、D均不满足中心对称图形的条件。
故选：A．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断。中心对称图形是指：一个图形绕某点旋转180°后，能与原图形完全重合。判断时需抓住旋转对称这一核心特征。
2．（2025八下·温州期中） 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴
∴
故答案为： D.
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数必须为非负数，据此得到不等式解此不等式即可求解．
3．（2025八下·温州期中） 甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
平均数(环) 9.3 9.3 9.3 9.3
方差(环2) 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：甲的方差为0.035，乙为0.015，丙为0.025，丁为0.027，
∴乙的方差0.015是四人中方差最小的，说明乙的成绩最稳定.
故答案为：B.
【分析】根据平均数相同的情况下，方差越小表示数据波动越小，成绩越稳定，据此比较即可.
4．（2025八下·温州期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为(　　)
A． B． C．4 D．16
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，即（-4）2-4c=0，
解得c=4.
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此斌结合题意列出方程，求解即可.
5．（2025八下·温州期中） 化简，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：原式=
故答案为： C.
【分析】根据二次根式计算法则计算即可.
6．（2025八下·温州期中）在一次中学生田径运动会上，男子跳高项目的成绩统计如下：
成绩（） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70
人数（人） 2 8 6 4 1
表中表示成绩的一组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：出现次数最多的数为，是众数；
21个数按照从小到大的顺序排列，中间一个是，所以中位数是.
故选： B．
【分析】本题主要考查众数和中位数的概念及其应用。解题关键在于理解众数是指数据中出现次数最多的数值，而中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的数值（若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均值）。
7．（2025八下·温州期中）一元二次方程可以通过配方法转化为的形式，则配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得，，
配方得，，
即，
故选：A．
【分析】本题考查了一元二次方程的配方法解法，掌握配方法的步骤是解题的关键。按照配方法的步骤逐步求解即可得到答案。
具体步骤如下：①将方程整理为标准形式；②进行配方操作；③解出方程的根。
8．（2025八下·温州期中）如图，已知的对角线与相交于点，，将沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上，连接．若，则的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
如图，连接，，
∵折叠，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
∴
故选：A．
【分析】本题主要考查平行四边形性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。解题时，连接辅助线和，根据折叠特性可得且夹角，从而证明与均为等腰直角三角形，最终通过勾股定理求出的长度即可得解。
9．（2025八下·温州期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入一元二次方程，得，，
两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得，
，
．
∴当时，方程成立．
∴方程必有一根为 ，
故选：D．
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的定义。
已知是方程的解（其中），将其代入方程可得。将等式两边同时除以，即可推导出所求方程的一个根。
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
10．（2025八下·温州期中） 当 时，二次根式 的值是 　 　 .
【答案】1
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴原式=
故答案为：1 .
【分析】将x的值到根式中，直接进行计算即可.
11．（2025八下·温州期中）一元二次方程x2=x的根是　 　.
【答案】x1=1，x2=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵x2=x，
∴x2-x=0，
∴x（x-1）=0，
解得：x1=0，x2=1，
故答案为：x1=0，x2=1.
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可.
12．（2025八下·温州期中）一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是　 　边形．
【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形边数为，
根据多边形的内角和公式可得，
解得．
故答案为：六．
【分析】设多边形边数为，根据多边形的内角和公式列方程解题即可．
13．（2025八下·温州期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则的值是　 　．
【答案】0或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
解得：或．
故答案为：0或2 ．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键在于理解新定义的运算规则。
根据题目给定的运算方法和步骤，将含有参数的一元二次方程的结果设为，然后建立方程并求解参数值。
14．（2025八下·温州期中）如图，在中，，相交于点，，．过点作于点，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
作交的延长线于，设长为，长为．
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。解题关键在于正确添加辅助线，通过几何变换将问题转化为可计算的形式。解题步骤如下：
① 作辅助线DH⊥BC，交BC的延长线于点H；
②根据平行四边形ABCD的性质可得：AB=DC（对边相等）；AD∥BC（对边平行）
③证明Rt△ABE≌Rt△DCH（HL全等判定），由此可得：BE=CH=x
④计算相关线段长度：EC=BC-BE=y-x； BH=BC+CH=y+x
⑤应用勾股定理建立方程：
⑥通过解这个方程即可求得最终结果。
整个解题过程体现了将几何问题转化为代数方程的思想，充分运用了平行四边形的性质和全等三角形的判定方法。
三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025八下·温州期中）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则。
（1）先利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可；
（2）直接运用平方差公式进行计算。
（1）解：原式．
（2）解：原式．
16．（2025八下·温州期中）解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
则或，
解得，
（2）解：
方程的两边同加，得，
即，
则或，
所以，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解法，需要掌握正确的计算步骤。
（1）采用直接开平方法求解该方程；
（2）运用配方法完成方程的求解过程。
（1）解：，
则或，
解得，．
（2）解：
方程的两边同加，得，
即，
则或，
所以，．
17．（2025八下·温州期中）为了了解八年级学生双休日的上网时间（单位：小时），某校随机抽取了名学生进行调查，得到了他们上周双休日上网时间的一组样本数据，整理并绘制成如下的统计图．
（1）这个样本数据的众数是________小时，中位数是________小时；
（2）求出这个样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估算该校八年级名学生双休日上网时间超过小时的人数．
【答案】（1），
（2）解：这个样本数据的平均数为（小时）
（3）解：该校八年级名学生双休日上网时间超过小时的大约有（人）
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这个样本数据的众数是小时，中位数是（小时），
故答案为：，；
【分析】本题主要考查对中位数、众数、平均数等统计概念的理解，以及运用样本数据推断总体特征的方法，掌握这些知识点是正确解题的关键。
（1）题目要求确定数据的中位数和众数，直接根据统计概念求解即可；
（2）计算平均数时，将所有数据求和后除以数据个数即可得到结果；
（3）用总体数量乘以样本中上网时长超过小时的个体占比，即可估算总体情况。
（1）解：这个样本数据的众数是小时，中位数是（小时），
故答案为：，；
（2）解：这个样本数据的平均数为（小时）；
（3）解：该校八年级名学生双休日上网时间超过小时的大约有（人）．
18．（2025八下·温州期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口．
任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？
任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】解：任务1：解：设的长为米，
由题意，得，
解得，（舍去），
所以，
任务2：解：由题意得，
方程无解，
不能围成的长方形菜园
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键在于理解题目条件并建立正确的等量关系。解题时需注意围墙的最大长度为，需舍去不符合题意的解。任务1：已知砌墙材料总长度为，设，则平行于墙的一边（需考虑门宽）。根据矩形面积公式建立方程，解该一元二次方程即可。
任务2：通过计算判别式，判断方程是否有实数解，从而确定能否围成指定面积的饲养场。
19．（2025八下·温州期中）小聪与小慧一起研究尺规作图问题：
如图，在锐角三角形中，，是边上的中线．现在要找一点，使四边形是平行四边形．
小聪：以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连结，．
小慧：以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结，．
小聪：小慧，你的作法有问题．
小慧想了想说：哦……我明白了！
（1）请完成小聪的作图，并证明作出的四边形是平行四边形．
（2）指出小慧作法中存在的问题．
【答案】（1）解：小聪的作图如图所示．
证明：由题意得，
是边上的中线，
，
四边形是平行四边形
（2）解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，按晓慧的作法，画出的是一个两组邻边相等的四边形，不一定是平行四边形．（言之有理即可）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的作图方法和判定定理，需要熟练掌握平行四边形的基本判定方法才能正确解题。
（1）根据题目要求作图后，运用"对角线互相平分的四边形是平行四边形"这一定理即可证明；
（2）按照晓慧的作图方法，虽然能得到两组邻边相等的四边形，但这并不能保证一定是平行四边形，需要特别注意。
（1）解：小聪的作图如图所示．
证明：由题意得，
是边上的中线，
，
四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，按晓慧的作法，画出的是一个两组临边相等的四边形，不一定是平行四边形．（言之有理即可）
20．（2025八下·温州期中）如图，是的一条对角线，于点，于点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：，，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形
（2）解：四边形是平行四边形，
，．
又，
，
，
．
，
，
，，
，
在和中，，，
四边形的周长是
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题综合考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定以及勾股定理的应用，其中熟练掌握平行四边形的相关性质是解题的关键。
（1）根据题意可得。利用平行四边形的性质，通过证明，得出对应边相等，从而证明四边形是平行四边形。
（2）根据平行四边形的性质可知，因此。接着在直角三角形和中运用勾股定理，最终求得边长和。
（1）证明：，，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，
，．
又，
，
，
．
，
，
，，
，
在和中，，，
四边形的周长是．
21．（2025八下·温州期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）；
①；②；③
（2）若是“邻根方程”，求的值；
（3）若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）③
（2）解：解方程得：，，该方程是“邻根方程”，
或，
解得：或
（3）解：设的两个根为，，由韦达定理得，．
∵为“邻根方程”，
∴，可得，
即，
代入得
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①解方程得：，，，
方程不是“邻根方程”；
②解方程得：，
，
方程不是“邻根方程”；
③解方程得：，，
，
方程是“邻根方程”．
故答案为：③．
【分析】本题重点考查一元二次方程的解法及根与系数的关系，解题关键在于理解"邻根方程"的定义。（1）第一问分析
需要分别计算三个方程的两个根，然后根据"邻根方程"的定义（两根之差的绝对值为1）进行判断。
（2）第二问解析
步骤如下：
①先求出给定方程的两个实数根
②根据"邻根方程"的定义建立关于的方程
③ 解这个一元一次方程得到的值
（3） 第三问推导
设方程的两根为和
根据定义有
结合韦达定理（根与系数关系），可推导出系数和之间的数量关系。
（1）解：①解方程得：，，
，
方程不是“邻根方程”；
②解方程得：，
，
方程不是“邻根方程”；
③解方程得：，，
，
方程是“邻根方程”．
故答案为：③．
（2）解：解方程得：，，
该方程是“邻根方程”，
或，
解得：或．
（3）解：设的两个根为，，
由韦达定理得，．
∵为“邻根方程”，
∴，可得，
即，
代入得．
22．（2025八下·温州期中）【问题情境】
定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”．
【数学思考】
如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由．
【深入探究】
如图2，为“倍线平行四边形”，E是上的动点，连结交于点．
①若是的中点，，，求的长．
②过点作交于点，若，求证：是的中点．
【答案】解：[数学思考]是“倍线平行四边形”．理由：在中，，．
，
，
，
，
，
，
是“倍线平行四边形”．
[深入探究]
①是“倍线平行四边形”，
，
．
设，则．
，，
，
，
，
．
是的中点，且，
．
②证明：如图，过点作的延长线于点．
，
．
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
，
．
，
，．
又，
，
∴，
，，
，
，
是的中点
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题综合考查了平行四边形和菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题需灵活运用相关几何知识。
[数学思考] 由条件可得是菱形，已知，则对角线。运用勾股定理计算得，因此，满足的关系，故该平行四边形符合"倍线平行四边形"的定义。
[深入探究]
① 根据"倍线平行四边形"的性质可得，即。设，则，通过勾股定理解得。再利用勾股定理求，结合30°直角三角形的性质可得的值。
② 作辅助线延长线于点。先证四边形为平行四边形，得且。再证明两对全等三角形：和，最终得出的结论。
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