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第9讲　带电粒子在电场和磁场中的运动
核心知识　固双基
一、带电粒子在电场中的运动
一、思维方法
1．运动分解法：电场中类平抛运动分解为匀速直线运动与匀加速直线运动，利用分位移、分速度公式关联；磁场中圆周运动分解为径向(向心力)与切向(匀速)，通过几何关系找圆心角。
2．几何建模法：磁场中用“几何半径”对应“运动半径”，通过弦长、边界距离构建直角三角形，结合三角函数求圆心角(如入射、出射速度垂线交点定圆心)。
3．临界极值法：针对有界磁场“动态轨迹”，以“轨迹相切”为临界条件，分析粒子最值(最大偏转角、最小磁场区域等)。
二、物理模型
1．电场中“加速＋偏转”模型：串联动能定理与类平抛公式，强调不同粒子轨迹重合的条件(比荷无关性)。
2．磁场中“有界区域圆周运动”模型：矩形磁场用“对称性”(入射、出射角相等)，圆形磁场用“弦切角定理”，快速确定轨迹参数。
命题热点　巧突破
１
带电粒子在电场中的运动
(2023·北京卷)某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物(视为小球)组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度v0保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d，不考虑重力影响和颗粒间相互作用。
(1)若不计空气阻力，质量为m、电荷量为－q的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压U1。
(2)若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为f＝krv，其中r为颗粒的半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
①半径为R、电荷量为－q的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压U2；
②已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为10 μm和2.5 μm的两种颗粒，若10 μm的颗粒恰好100%被收集，求2.5 μm的颗粒被收集的百分比。
【审题指导】　
关键表述 物理量及其关系
电荷量为－q的颗粒恰好全部被收集 只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集器右侧，颗粒就能够全部收集
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度 加速时间极短，加速距离可以忽略
颗粒速度最大时，加速度为零，竖直方向静电力等于空气阻力
②10 μm的电荷量为q的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于静电力，有f＝kRvmax，f＝qE′
1.(2025·重庆卷)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b(　　)
A．具有不同比荷
B．电势能均随时间逐渐增大
C．到达M、N的速度大小相等
D．到达K所用时间之比为1∶2
【答案】　D
带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误；沿电场方向，由公式vy＝at可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为2∶1，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误；由题图可知，带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为2∶1，则所用时间之比为1∶2，故D正确。
2.(2025·江苏卷)如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m，电荷量为q。不计重力及粒子间相互作用。求：
(1)a运动到最高点的时间t；
(2)a到达最高点时，a、b间的距离H。
2
带电粒子在有界磁场中的运动
1．带电粒子在有界匀强磁场中运动的三个重要结论
(1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ1＝θ2＝θ3)；
(2)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向(如图乙，两侧关于两圆心连线对称)；
(3)粒子速度方向的偏转角等于其轨迹的对应圆心角(如图甲，α1＝α2)。
2．带电粒子在磁场中运动的多解成因
(1)磁场方向不确定形成多解；
(2)带电粒子电性不确定形成多解；
(3)速度不确定形成多解；
(4)运动的周期性形成多解。
(多选)(2023·全国甲卷)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反，电荷量不变，不计重力，下列说法正确的是(　　)
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动的时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
【审题指导】　
关键信息 破题关键 建构模型
一带电粒子从P点沿PO射入 假设带电粒子带负电，从P点沿半径方向射入有界圆形匀强磁场后，受到洛伦兹力的作用，在磁场中做匀速圆周运动，偏转一定角度后一定沿半径方向射出磁场
如图△O1PO≌△O1AO，若∠O1PlO为直角，则∠O1AO也为直角。建构粒子沿半径方向射入圆形匀强磁场，一定沿半径方向射出磁场的运动模型
【答案】　BD
【解析】　假设粒子带负电，作出粒子在圆筒中的几种可能的运动情况。如图1所示，由几何关系可知△O1PO≌△O1QO，所以∠O1PO＝∠O1QO，又粒子沿直径射入，∠O1PO＝90°，则∠O1QO＝90°，O1Q⊥OQ，则每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线，D正确；粒子在圆筒中先做圆周运动，与圆筒碰后速度反向，继续做圆周运动，粒子第一次与筒壁碰撞的运动过程中轨迹不过圆心，之后轨迹也不可能过圆心，A错误；
【答案】　C
【答案】　BD
专题分层　突破练
A组·基础巩固练
1．(2025·广东江门模拟)如图为静电喷印原理的简图，在喷嘴和收集板之间施加高压电源后，电场分布如图中虚线所示。喷嘴处的液滴受到各方面力的共同作用形成泰勒锥，当电压增至某个临界值时(假设此后电压保持不变)，液滴从泰勒锥尖端射出形成带电雾滴，落在收集板上，则此过程中雾滴(　　)
A．动能减小 B．带正电荷
C．电势能减小 D．加速度增大
【答案】　C
2．(2025·宁夏石嘴山模拟)如图所示，曲线为一带电粒子在匀强电场中运动的轨迹，虚线A、B、C、D为相互平行且间距相等的四条等势线，M、N、O、P、Q为轨迹与等势线的交点。带电粒子从M点出发，初速度大小为v0，到达Q点时速度大小为v，则(　　)
A．四条等势线中D的电势最高
B．粒子从O到P和从P到Q的动能变化
量不相等
C．粒子从M到N和从O到P的速度变化
量相同
D．如果粒子从Q点以与v相反、等大的速度进入电场，则粒子可能不会经过M点
【答案】　C
【解析】　由于粒子电性未知，无法判断电势高低，故A错误；粒子从O到P和从P到Q，电场力做功相等，根据动能定理可知，动能变化量相等，故B错误；根据粒子做类斜抛运动的规律，粒子从M到N和从O到P的时间相同，而加速度也相同，则速度变化量相同，故C正确；根据粒子做类斜抛运动的轨迹具有对称性，如果粒子从Q点以与v方向相反、大小相等的速度进入电场，则粒子一定经过M点，故D错误。
3．(2025·福建卷)某种静电分析器简化图如图所示，在两条半圆形圆弧板组成的管道中加上径向电场。现将一电子a自A点垂直电场射出，恰好做圆周运动，运动轨迹为ABC，半径为r。另一电子b自A点垂直电场射出，轨迹为弧APQ，其中PBO共线，已知BP电势差为U，|CQ|＝2|BP|，a粒子入射动能为Ek，则(　　)
B．P点场强大于C点场强
C．b粒子在P点动能小于Q点动能
D．b粒子全程克服电场力做功小于2eU
【答案】　D
4.(2024·浙江1月选考)如图所示，金属极板M受到紫外线照射会逸出光电子，最大速率为vm。正对M放置一金属网N，在M、N之间加恒定电压U。已知M、N间距为d(远小于板长)，电子的质量为m，电荷量为e，则(　　)
【答案】　C
5．(2025·浙江杭州二模)如图甲所示，某多级直线加速器由n个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N上，序号为0的金属圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，M、N两极加上如图乙所示的电压UMN，一段时间后加速器稳定输出质子流。已知质子质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则(　　)
【答案】　C
6.(2025·山东菏泽期中)如图所示，正方形abcd区域(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从a点沿着ab方向射入磁场中，正方形边长为l，不计粒子的重力，为使粒子从cd边射出磁场区域，粒子
的速度可能为(　　)
【答案】　C
【答案】　B
8．(多选)(2025·吉林白城三模)两个质量相同的带电粒子a、b，从圆上A点沿AO方向进入垂直于纸面向里的圆形匀强磁场，O为圆心，其运动轨迹如图所示，两粒子离开磁场区域的出射点连线过圆心O，且与AO方向的夹角大小为60°，两粒子在磁场中运动的时间相等。不计粒子的重力，则(　　)
A．a粒子带负电，b粒子带正电
B．a、b两粒子在磁场中运动的速度之比为2∶3
C．a、b两粒子的电荷量之比为1∶3
D．a、b两粒子在磁场中运动的周期之比为2∶1
【答案】　AB
B组·综合提升练
9．(多选)(2025·四川卷)如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin 37°＝0.6。则带电粒子(　　)
A．在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
B．在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
C．在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D．在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
【答案】　AD
10．(2025·甘肃卷)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后，沿OO′方向射入电压为U2的电场(OO′为平行于两极板的中轴线)。极板长度为l、间距为d，U2－t关系如图2所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处，样品中心位于O′点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内，电压U2可视为不变，当U2＝±Um时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
【答案】　B
11．(2025·四川卷)如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q(q>0)的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。求：
(1)微粒第一次到达下极板所需时间；
(2)微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小。
(1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径；
(2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距；
(3)粒子的运动周期。

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