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2026年广东省广州市中考数学自编模拟试卷（解析版）
（本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟.）
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一项是符合题目要求的。
1．2026的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得．
【详解】解：2026的相反数是，
故选：B．
“杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，
至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，
其中属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形的判断，根据定义逐项判定，即将一个图形绕某点旋转后能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、因为图形绕某点旋转后不能与本身重合，所以A不符合题意；
B、因为图形绕某点旋转后不能与本身重合，所以B不符合题意；
C、因为图形绕某点旋转后能与本身重合，所以C符合题意；
D、因为图形绕某点旋转后不能与本身重合，所以D不符合题意．
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的运算，幂的运算，求一个数的绝对值，根据相关运算法则，逐一进行计算即可．
【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选C．
4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，熟悉利用根的判别式是解题的关键．
利用根的判别式进行判定即可．
【详解】解：一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得：，且，
故选：C．
七年级（1）班学生在某周参加运动的次数只有4次，5次，6次，7次四种情况，
图中描述了这班学生运动的相关的情况．则下列有关该七年级（1）班说法正确的是（ ）
A．七年级（1）班学生数为40人
B．七年级（1）班学生这周参加运动的次数的众数为16
C．七年级（1）班学生这周参加运动的次数平均数为5
D．七年级（1）班学生这周参加运动次数中位数为5
【答案】D
【分析】本题考查了条形统计图，众数，平均数和中位数，读懂统计图和掌握众数，平均数和中位数的定义是解决问题的关键．还考查了学生对统计的应用和运算能力．
根据条形统计图中的数据以及众数、平均数和中位数的意义判断即可．
【详解】解：A、七年级（1）班学生数为（人），故不符合题意；
B、七年级（1）班学生这周参加运动的次数的众数为5，故不符合题意；
C、七年级（1）班学生这周参加运动的次数平均数为，故不符合题意；
D、七年级（1）班学生这周参加运动次数中位数为，故符合题意．
故选：D．
6．如图，在菱形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，可设，则，，根据，得出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案．
【详解】四边形是菱形，
，
，
，
设，
则，，
，
，
．
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，正确进行计算是解题关键．过点、作轴的垂线，垂足分别为、，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：过点作，过点作轴，垂足分别为、，
，
设，则，
点，
，
，（负值舍去），
点的坐标是，
，，
，
，，
，
点的坐标是，
点落在反比例函数上，
，
故选：B．
如图，是的直径，直线与相切于点，
过，分别作，，垂足分别为点、，连接、，
若，，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】连接，由切线的性质得，而，，所以，则，而，，所以，因为是的直径，所以，推导出，由，求得，则，，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
直线与相切于点，
，
，，垂足分别为点、，，，，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，，
，
故选：C．
如图①，菱形的对角线与相交于点两点同时从点出发，
以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，
点的运动路线为．设运动的时间为秒，间的距离为厘米，
与的函数关系的图象大致如图②所示．有以下四个结论：
①；
②；
③当点在段上运动，点在段上运动时，不断增大；
④当点在段上运动且两点间的距离最短时，两点的运动路程之和为．
其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形以及菱形的基本性质．当点运动到点，点运动到点，结合图象，可得此时，当点在上时，在上，距离最短时，连线过点且垂直于，此时，两点运动路程之和，求出的长，即可得出答案．
【详解】解：由图分析可得：
当点从运动时，点从运动时，不断增大，③正确；
当点运动到点，点运动到点时，由图象知此时，
，①正确；
四边形为菱形，
，，
当点运动到点，点运动到点，结合图象，可得此时，
，
在中，，
，②正确；
当点在上时，在上，距离最短时，连线过点且垂直于，此时，两点运动路程之和，
，
，④正确；
故选：D．
如果，，都在二次函数（）的图象上，且．
则的取值范围（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，
由点，点可知抛物线的对称轴为直线，则，由可知，求得，即可判断点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，分两种情况讨论，得出关于的不等式（组，即可求得的取值范围．
根据题意得出关于的不等式（组）是解题的关键．
【详解】解：点，点，点都在二次函数的图象上，
对称轴为直线，
点和也在二次函数的图象上，
，
，
，
点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
抛物线开口向上，
时，随的增大而减小，，时随的增大而增大，
当在对称轴的左侧时，则有，解得，
当在对称轴的右侧时，则有，解得．
故的取值范围为或．
故选B．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】解：依题意，得，
解得：，
故答案为．
12．如图，是等腰三角形，，顶点在上，顶点在上，
当，时 度．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据题意得到，求出，根据平行线的性质得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，那么的值为_______
【答案】
【解析】
【分析】如图，利用网格特征可知，利用勾股定理求出，，根据余弦的定义即可求得答案．
【详解】解：如图，由网格特征可知，，
在中，，，
∴，
故答案为：
周末甲乙两人沿相同的路线前往距离学校10km的公园游玩，
图中l1和l2分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图像，
以下说法：①甲比乙晚12分钟到达；
②甲平均速度为0.25千米/小时；
③甲乙相遇时，乙走了6千米；
④甲乙相遇后4分钟，乙到达目的地；
其中正确的是 ．（填序号）

【答案】①③④
【分析】由图像可直接判断①②，设对应的函数解析式为，设l2对应的函数解析式为，分别求出和的函数解析式，进而求出相遇时的路程和时间可判断③，结合图像可判断④．
【详解】解：由函数图像可得，
乙比甲提前（分钟）到达，
即甲比乙晚12分钟到达，故①正确，
甲的平均速度是：（千米/小时），故②错误，
设对应的函数解析式为，
则，得，
即对应的函数解析式为，
设l2对应的函数解析式为，
则，得，
即对应的函数解析式为，
由，得，
∴甲乙相遇时，乙走了6千米，故③正确，
甲乙相遇后，乙用（分钟）到达目的地，故④正确．
故答案为①③④
在半圆中，C是直径上一点，，，点C关于弦的对称点也在上，
那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，轴对称图形的性质，勾股定理，连接交于E，由轴对称的性质可得，，则，再证明得到，则可求出，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接交于E，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，
反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．
若，，且的面积为，
则k的值是
【答案】6
【分析】过点A作轴于点M，轴于点N，设点 ，则，，可得， ，再由，，可得到， ，从而得到 ，进而得到 ，继而，再由平行四边形的性质，可得，从而得到 ，再由，即可求解．本题主要考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A作轴于点M，轴于点N，
∴，轴，
设点，则
∴， ，
∴ ，
∵，，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点A、G在反比例函数的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：6．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． 解不等式组并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：，0，1，2，3．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得
原不等式组的解集是
整数解为，0，1，2，3
18． 如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，进而根据即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
∴
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
【详解】【解】解：
，
当时，原式．
近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，
某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，
学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
本次一共调查了_______位同学，请补全条形统计图．
若该校有2000名学生，请你估计有意愿参与植树造林的学生有多少名？
为了进一步提升学生绿色出行的意识，学校从4名同学（两男两女）中随机抽取2人参与“绿色出行”
知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法求出2人恰好都是女生的概率．
【答案】(1)200；
(2)600名；
(3)．
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率，掌握相关知识是解题的关键．
（1）用水资源保护的人数除以所占的百分比可求出本次一共调查的人数，求出节能减排的人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校总人数乘以有意愿参与植树造林的学生人数所点的百分比即可求解；
（3）列出表格，根据表格得出共有12种等可能的结果，其中2人恰好都是女生的结果有2种，即可求解．
【详解】（1）解：（1）本次一共调查了（位）同学，
“节能减排”的人数为（人），
补全条形统计图如图：
故答案为：200；
（2）解：（名），
答：估计有意愿参与植树造林的学生约600名；
（3）解：列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中2人恰好都是女生的结果有2种，
∴2人恰好都是女生的概率为．
21.如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m).
（1）求k、m的值；
（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，
过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N.
① 当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
② 若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

【答案】(1) k的值为3，m的值为1；（2）0【详解】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．
详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，
∴m=3-2=1，
∴A（3，1），
将A（3，1）代入y=，
∴k=3×1=3，
m的值为1.
（2）①当n=1时，P（1，1），
令y=1，代入y=x-2，
x-2=1，
∴x=3，
∴M（3，1），
∴PM=2，
令x=1代入y=，
∴y=3，
∴N（1，3），
∴PN=2
∴PM=PN，
②P（n，n），
点P在直线y=x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，

M（n+2，n），
∴PM=2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∴0＜n≤1或n≥3
22．【项目背景】
数学文化有利于激发学生数学兴趣， 从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，
数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．
【数据搜集与整理】
某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学
文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：
A．，B．，C．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 86 87 b
八年级 86 a 90
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
【数据分析与运用】
（2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？
请说明理由（写出一条理由即可）；
该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．
估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
【答案】（1），，；（2）；（3）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析；（4）人
【分析】本题考查了中位数、众数、求扇形圆心角度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义计算即可得解；
（2）用乘以“B组”所占的比例计算即可得解；
（3）根据中位数和众数分析即可得解；
（4）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解．
【详解】解：（1）八年级组的人数为人，而八年级组有人，则把八年级名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为分，分，
∴八年级学生成绩的中位数，
∵七年级10名学生成绩中，得分为分的人数最多，
∴七年级的众数，
由题意可得：，
∴；
（2）扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数为；
（3）八年级学生数学文化知识较好，理由如下：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但八年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于七年级，故八年级学生数学文化知识较好；
（4）该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有
（人）．
23．如图，在中；点为边上一点，经过两点，
交于点，交于点，．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，得到，推出，由为直径，得到，继而得到，即可得到结论；
（2）设的半径为，则，得到，利用勾股定理计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
为直径，
，即，
∴，
为半径，
为的切线；
（2）解：设的半径为，则
由（1）得，
，，
，
在中，，
，
解得，
∴的半径为．
项目式学习，
项目主题：人工智能视觉识别
项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，
目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．
概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：
矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．
设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：
如图2，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比．

【概念理解】
（1） 如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ．

如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为，
其目标矩形的纵横比 ．
【联系实际】

如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，
的高度为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．

【应用拓展】
为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，
如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，
且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标
（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）．
据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，
若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，
求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计）
【答案】【概念理解】（1）；（2）；【联系实际】；【应用拓展】（1）个，；（2）
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，待定系数法，二次函数等知识，解题的关键是读懂题意，理解目标矩形和纵横比．
概念理解：（1）由新定义知圆的目标矩形的纵横比；
（2）根据目标矩形的纵横比的定义，可得线段的目标矩形纵横比；
联系实际：由最高点C与水面的距离为5米，知，又抛物线目标矩形的纵横比，可得，，，再用待定系数法得；
应用拓展：（1）抛物线，得与横轴交点，，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴成轴对称，由得桥面可挂6个；
（3）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，，在中，勾股定理求得长度即可．
【详解】解：概念理解：（1）∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径，
∴目标矩形的纵横比；
故答案为：1；
（2）根据目标矩形的纵横比的定义，线段的目标矩形纵横比；
故答案为：；
联系实际：如图：

∵最高点C与水面的距离为5米，
∴，
∵抛物线目标矩形的纵横比，
∴，
∴，
∵抛物线关于y轴对称，
∴，，
设抛物线的表达式为，
把代入得：，
解得，
∴；
应用拓展：
（1）相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴对称，如图2，

∴，
∴左侧可挂3个，桥面可挂6个．
∵最左侧位于拱面上方处，
∴最左侧一个救生圈悬挂点E的坐标为．
（2）如图3，当水位达到最高时，水位线为．

∵救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，
∴当时，，，，
在中，由勾股定理得：．
答：救生绳至少需．
25．如图1，已知正方形的边长为2，点E、F分别是边上的动点且满足．
求证：；
如图2，正方形的对角线相交于点O，线段相交于点M，
过点O作线段的垂线，垂足为点N．求证：；
在（2）的条件下，当取最小值时，若平面内存在一点H，使得，
求线段的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）连接，证出，可得，得，得，得，由，得，即得；
（3）以点B为原点，边所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则，作点O关于的对称点G，连接，设交于点Q，根据，得，当点E在上时，的最小值为，证明，得，得，得，，得，∴得，得，可得，得点H在以点N为圆心，以长为半径的圆弧上运动，当点H在线段上时， 取得最小值．
【详解】（1）证明：设与交于点G，
∵四边形是正方形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：以点B为原点，边所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
∵正方形的边长为2，
∴，
作点O关于的对称点G，连接，设交于点Q，
则，
∵，
∴，
∴当点E在上时，, 取得最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点H在以点N为圆心，以长为直径的圆弧上运动，
∴，
当点H在线段上时，，取得最小值，．
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2026年广东省广州市中考数学自编模拟试卷
（本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟.）
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一项是符合题目要求的。
1．2026的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
“杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，
至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，
其中属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．
七年级（1）班学生在某周参加运动的次数只有4次，5次，6次，7次四种情况，
图中描述了这班学生运动的相关的情况．则下列有关该七年级（1）班说法正确的是（ ）
A．七年级（1）班学生数为40人
B．七年级（1）班学生这周参加运动的次数的众数为16
C．七年级（1）班学生这周参加运动的次数平均数为5
D．七年级（1）班学生这周参加运动次数中位数为5
6．如图，在菱形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（ ）
A． B． C． D．
如图，是的直径，直线与相切于点，
过，分别作，，垂足分别为点、，连接、，
若，，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
如图①，菱形的对角线与相交于点两点同时从点出发，
以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，
点的运动路线为．设运动的时间为秒，间的距离为厘米，
与的函数关系的图象大致如图②所示．有以下四个结论：
①；
②；
③当点在段上运动，点在段上运动时，不断增大；
④当点在段上运动且两点间的距离最短时，两点的运动路程之和为．
其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
如果，，都在二次函数（）的图象上，且．
则的取值范围（ ）
A． B．或
C． D．或
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．函数中，自变量的取值范围是 ．
12．如图，是等腰三角形，，顶点在上，顶点在上，
当，时 度．
在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，那么的值为_______
周末甲乙两人沿相同的路线前往距离学校10km的公园游玩，
图中l1和l2分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图像，
以下说法：①甲比乙晚12分钟到达；
②甲平均速度为0.25千米/小时；
③甲乙相遇时，乙走了6千米；
④甲乙相遇后4分钟，乙到达目的地；
其中正确的是 ．（填序号）

在半圆中，C是直径上一点，，，点C关于弦的对称点也在上，
那么的值为 ．
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，
反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．
若，，且的面积为，
则k的值是
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． 解不等式组并写出它的所有整数解．
18． 如图，，，．求证：．
19．先化简，再求值：，其中．
近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，
某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，
学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
本次一共调查了_______位同学，请补全条形统计图．
若该校有2000名学生，请你估计有意愿参与植树造林的学生有多少名？
为了进一步提升学生绿色出行的意识，学校从4名同学（两男两女）中随机抽取2人参与“绿色出行”
知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法求出2人恰好都是女生的概率．
21.如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m).
（1）求k、m的值；
（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，
过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N.
① 当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
② 若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

22．【项目背景】
数学文化有利于激发学生数学兴趣， 从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，
数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．
【数据搜集与整理】
某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学
文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：
A．，B．，C．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 86 87 b
八年级 86 a 90
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
【数据分析与运用】
（2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？
请说明理由（写出一条理由即可）；
该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．
估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
23．如图，在中；点为边上一点，经过两点，
交于点，交于点，．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
项目式学习，
项目主题：人工智能视觉识别
项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，
目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．
概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：
矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．
设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：
如图2，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比．

【概念理解】
（1） 如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ．

如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为，
其目标矩形的纵横比 ．
【联系实际】

如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，
的高度为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．

【应用拓展】
为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，
如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，
且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标
（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）．
据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，
若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，
求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计）
25．如图1，已知正方形的边长为2，点E、F分别是边上的动点且满足．
求证：；
如图2，正方形的对角线相交于点O，线段相交于点M，
过点O作线段的垂线，垂足为点N．求证：；
在（2）的条件下，当取最小值时，若平面内存在一点H，使得，
求线段的最小值．
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