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冀教版（2024）八年级下册 21.1 多边形 题型专练
【题型1】认识多边形
【典例】平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（　　）
A.1 B.2 C.7 D.8
【强化训练1】如图，下列图形不是凸多边形的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】下列长度的两条线段与长度为2，5的线段首尾依次相连能组成四边形的是（　　）
A.1，1 B.1，8 C.1，2 D.2，3
【强化训练3】由 围成的封闭图形叫做多边形．按照组成多边形的边的条数，多边形可分为三角形、 、 、六边形等．
【强化训练4】用小棒按下面的方式拼图形．
（1）填表，聪明的你从表中发现规律了吗？把你发现的规律写出来．
（2）按规律拼成10个这样的五边形，一共用多少根小棒？请你写出算式．
【强化训练5】用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案，
（1）第4个图案中，三角形有 个，白色的六边形有 个；
（2）第n（n为正整数）个图案中，三角形与白色的六边形各有多少个？
（3）第2019个图案中，三角形与白色的六边形共有多少个？
（4）是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与48个白色的六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由．
【题型2】截多边形的一个角问题
【典例】如图，从五边形纸片ABCDE中剪去一个三角形，剩余部分是（　　）
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.以上都有可能
【强化训练1】若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）
A.4或5 B.3或4 C.3或4或5 D.4或5或6
【强化训练2】一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ．
【强化训练3】若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 ．
【强化训练4】一个多边形被截去一个角后，变为五边形．你知道原来的多边形是几边形吗？为什么？请画图说明．
【强化训练5】如图，四边形ABCD去掉∠C后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．
【题型3】求多边形的对角线
【典例】六边形的对角线共有（　　）
A.6条 B.8条 C.9条 D.18条
【强化训练1】若从多边形的一个顶点出发，最多可引3条对角线，则这个多边形的对角线共有（　　）
A.6条 B.9条 C.12条 D.18条
【强化训练2】一个多边形从一个顶点出发可引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总条数是（　　）
A.88 B.80 C.44 D.40
【强化训练3】过一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了4个三角形，则这个多边形共有 条对角线．
【强化训练4】过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，求代数式（m﹣k）n．
【强化训练5】观察如图图形，并回答问题．
（1）四边形有 条对角线；五边形有 条对角线；六边形有 条对角线．
（2）根据（1）中得到的规律，试猜测十边形的对角线条数．
【题型4】根据对角线求多边形的边数
【典例】过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是（　　）
A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形
【强化训练1】过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（　　）
A.8 B.9 C.10 D.11
【强化训练2】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A.2021 B.2025 C.2024 D.2026
【强化训练3】如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ．
【强化训练4】一个多边形的对角线的条数是边数的2倍，则这个多边形的边数是 ．
【强化训练5】一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．
【题型5】求对角线将多边形分成的三角形个数
【典例】把一个九边形分割成三角形，至少可以分割成三角形的个数是 ．
【强化训练1】连接十一边形一个顶点与其他各顶点的线段，它们将这个十一边形分成了 个三角形．
【强化训练2】[问题]用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？
[探究]为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有Pn种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？
如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．
第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．
第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．
所以，P5＝P4++P4＝＝5（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案
第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．
第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．
所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+＝14（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有 种不同的分割方案．……
[结论]用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出Pn与Pn﹣1的关系式，不写解答过程）．
[应用]用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？
（应用上述结论，写出解答过程）
【强化训练3】如图，以n边形的n个顶点和它内部m个点作为顶点，把原n边形分割成若干个互不重叠的小三角形．观察图形，解答问题：
（1）填表：
（2）填空，三角形内部有m个点，则原三角形被分割成 个不重叠的小三角形；四边形内部有m个点，则原四边形被分割成 个不重叠的小三角形；n边形内部有m个点，则原n边形被分割成 个不重叠的小三角形；
（3）若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的五分之一，分割成互不重叠的小三角形共有2021个，求这个多边形的边数．
【题型6】根据多边形的内角与外角求多边形的边数
【典例】若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（　　）
A.4 B.6 C.8 D.10
【强化训练1】若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（　　）
A.三角形 B.五边形 C.四边形 D.六边形
【强化训练2】已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
【强化训练3】如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是 ．
【强化训练4】如果一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的边数是 ．
【强化训练5】一个n边形的每个外角都相等，如果它的一个内角与相邻外角的度数之比为13：2，求n的值．
【题型7】求多边形的内角或外角和
【典例】三角形ABC的一个内角是50°，剪去这个角（如图），剩下四边形的内角和是（　　）
A.180° B.130° C.360° D.540°
【强化训练1】第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，这个八边形的内角和是（　　）
A.720° B.900° C.1080° D.1260°
【强化训练2】一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的内角和为（　　）
A.180° B.720° C.540° D.360°
【强化训练3】若五边形的内角中有一个角为80°，则其余四个内角之和为 ．
【强化训练4】已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
【题型8】根据多边形的内角与外角求角的度数
【典例】如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　）
A.70° B.80° C.90° D.100°
【强化训练1】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了96米回到点P．则α＝（　　）
A.30° B.45° C.60° D.不存在
【强化训练2】如图，小林从点P向西直走6米后，向左转，再走6米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 ．
【强化训练3】如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为 ．
【强化训练4】一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570°，求：
（1）这个多边形的边数；
（2）除去的那个内角的度数．冀教版（2024）八年级下册 21.1 多边形 题型专练（参考答案）
【题型1】认识多边形
【典例】平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（　　）
A.1 B.2 C.7 D.8
【答案】B
【解析】连接AC，
在△ACD中，4﹣2＜AC＜2+4，
∴2＜AC＜6，
在△ABC中，AC﹣1＜x＜AC+1，
∴1＜x＜7，
∴x可能是2．
故选：B．
【强化训练1】如图，下列图形不是凸多边形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选项A、B、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有C不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．
故选：C．
【强化训练2】下列长度的两条线段与长度为2，5的线段首尾依次相连能组成四边形的是（　　）
A.1，1 B.1，8 C.1，2 D.2，3
【答案】D
【解析】A、∵1+1+2＜5，
∴长度为1，1与长度为2，5的线段首尾依次相连不能组成四边形，故不符合题意；
B、∵1+2+5＝8，
∴长度为1，8与长度为2，5的线段首尾依次相连不能组成四边形，故不符合题意；
C、∵1+2+2＝5，
∴长度为1，2与长度为2，5的线段首尾依次相连不能组成四边形，故不符合题意；
D、∵2+2+3＞5，
∴长度为2，3与长度为2，5的线段首尾依次相连不能组成四边形，故符合题意；
故选：D．
【强化训练3】由 围成的封闭图形叫做多边形．按照组成多边形的边的条数，多边形可分为三角形、 、 、六边形等．
【答案】一些线段首尾顺次相接，四边形，五边形．
【解析】由一些线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做多边形．按照组成多边形的边的条教，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形等．
故答案为：一些线段首尾顺次相接，四边形，五边形．
【强化训练4】用小棒按下面的方式拼图形．
（1）填表，聪明的你从表中发现规律了吗？把你发现的规律写出来．
（2）按规律拼成10个这样的五边形，一共用多少根小棒？请你写出算式．
【答案】解：（1）拼1个五边形，需要小棒根数：5根；
拼2个五边形，需要小棒根数：5+4＝9（根）；
拼3个五边形，需要小棒根数：5+4+4＝13（根）；
拼4个五边形，需要小棒根数：5+4+4+4＝17（根）；
……；
有拼n个五边形，需要小棒根数：5+4×（n﹣1）＝（4n+1）（根）；
（2）当n＝10时，所需小棒根数：4×10+1＝40+1＝41（根）．
答：拼成10个这样的五边形，一共要用 41根小棒．
【强化训练5】用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案，
（1）第4个图案中，三角形有 个，白色的六边形有 个；
（2）第n（n为正整数）个图案中，三角形与白色的六边形各有多少个？
（3）第2019个图案中，三角形与白色的六边形共有多少个？
（4）是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与48个白色的六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由．
【答案】解：（1）第4个图案中，三角形10个，白色的六边形有4个；
故答案为：10；4；
（2）由图可知：第一个图案有正三角形4个为2×2．
第二图案比第一个图案多2个为2×2+2＝6（个）．
第三个图案比第二个多2个为2×3+2＝8（个）．
那么第n个就有正三角形（2n+2）个．白色的六边形有n个；
（3）第2019个图案中，三角形与白色的六边形共有：2×2020+2019＝6059（个）；
（4）没有，因为48×2+2≠100，所以不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与48个白色的六边形．
【题型2】截多边形的一个角问题
【典例】如图，从五边形纸片ABCDE中剪去一个三角形，剩余部分是（　　）
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.以上都有可能
【答案】D
【解析】如图1，剩余图形是四边形；
如图2，剩余图形是五边形；
如图3，剩余图形是六边形；
综上所述，剩余的部分是四边形或五边形或六边形．
故选：D．
【题型】选择题
【强化训练1】若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）
A.4或5 B.3或4 C.3或4或5 D.4或5或6
【答案】C
【解析】当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；
所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．
故选：C．
【强化训练2】一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ．
【答案】6，7，8．
【解析】
如图（1）七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片是六边形；
如图（2）七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片是七边形；
如图（3）七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片是八边形．
故答案为：6，7，8．
【强化训练3】若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 ．
【答案】【解析】如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故答案为：5，6，7．
【解析】如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故答案为：5，6，7．
【强化训练4】一个多边形被截去一个角后，变为五边形．你知道原来的多边形是几边形吗？为什么？请画图说明．
【答案】解：原来的多边形可能是四边形、五边形、六边形．如图所示．
【强化训练5】如图，四边形ABCD去掉∠C后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．
【答案】解：如图所示：
剩下的新图形是三边形或四边形或五边形．
【题型3】求多边形的对角线
【典例】六边形的对角线共有（　　）
A.6条 B.8条 C.9条 D.18条
【答案】C
【解析】六边形的对角线的条数＝＝9．
故选：C．
【强化训练1】若从多边形的一个顶点出发，最多可引3条对角线，则这个多边形的对角线共有（　　）
A.6条 B.9条 C.12条 D.18条
【答案】B
【解析】∵一个多边形从一个顶点出发共引3条对角线，
∴n﹣3＝3，
∴n＝6，
那么这个多边形对角线的总数为：＝9（条）．
故选：B．
【强化训练2】一个多边形从一个顶点出发可引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总条数是（　　）
A.88 B.80 C.44 D.40
【答案】C
【解析】设这个多边形的边数为n，
∵一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，
∴n﹣3＝8，
解得：n＝11，
∴总的对角线的条数为：（条）．
故选：C．
【强化训练3】过一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了4个三角形，则这个多边形共有 条对角线．
【答案】9．
【解析】由题意得4+2＝6，
故过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形的多边形为六边形，
＝9（条），
即这个多边形共有9条对角线．
故答案为：9．
【强化训练4】过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，求代数式（m﹣k）n．
【答案】解：据题意得，
m﹣3＝7，n＝3，
解得：m＝10
k（k﹣3）＝k，
解得：k＝5，
所以（m﹣k）n＝（10﹣5）3＝125．
【强化训练5】观察如图图形，并回答问题．
（1）四边形有 条对角线；五边形有 条对角线；六边形有 条对角线．
（2）根据（1）中得到的规律，试猜测十边形的对角线条数．
【答案】解：（1）四边形有2条对角线；
五边形有5条对角线；
六边形有9条对角线；
故答案为：2；5；9；
（2）从一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，
∴n边形有条对角线，
∴十边形的对角线条数为：＝35（条）．
【题型4】根据对角线求多边形的边数
【典例】过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是（　　）
A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形
【答案】D
【解析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，
∴n﹣2＝7，即n＝9．
故选：D．
【强化训练1】过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（　　）
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】C
【解析】设这个多边形的边数是n，
由题意得：n﹣2＝8，
∴n＝10，
故选：C．
【强化训练2】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A.2021 B.2025 C.2024 D.2026
【答案】C
【解析】多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2023个三角形，
则这个多边形的边数为2023+1＝2024．
故选：C．
【强化训练3】如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ．
【答案】12．
【解析】∵从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，
∴多边形的边数为：9+3＝12．
故答案为：12．
【强化训练4】一个多边形的对角线的条数是边数的2倍，则这个多边形的边数是 ．
【答案】7．
【解析】设多边形有n条边，
则＝2n，
解得：n1＝7，n2＝0（舍去），
故多边形的边数为7．
故答案为：7．
【强化训练5】一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．
【答案】解：设这个多边形是n边形，则
∵＝20，
∴n2﹣3n﹣40＝0，
（n﹣8）（n+5）＝0，
解得n＝8，n＝﹣5（舍去），
故多边形的边数为8；
∵＝18，
∴n2﹣3n﹣36＝0，
∵b2﹣4ac＝9+144＝153，
∴方程的根，无法求出整数，
故这样的多边形不存在．
【题型5】求对角线将多边形分成的三角形个数
【典例】把一个九边形分割成三角形，至少可以分割成三角形的个数是 ．
【答案】7．
【解析】一个九边形至少可以分割成三角形的个数为：9﹣2＝7，
故答案为：7．
【强化训练1】连接十一边形一个顶点与其他各顶点的线段，它们将这个十一边形分成了 个三角形．
【答案】9．
【解析】连接十一边形一个顶点与其他各顶点的线段，它们将这个十一边形分成了11﹣2＝9个三角形．
故答案为：9．
【强化训练2】[问题]用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？
[探究]为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有Pn种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？
如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．
第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．
第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．
所以，P5＝P4++P4＝＝5（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案
第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．
第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．
所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+＝14（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有 种不同的分割方案．……
[结论]用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出Pn与Pn﹣1的关系式，不写解答过程）．
[应用]用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？
（应用上述结论，写出解答过程）
【答案】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：
不妨把分制方案分成五类：
第1类：如图1，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，由探究三知，有P6种不同的分割方案，所以，此类共有P6种不同的分割方案．
第2类：如图2，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．
第3类：如图3，用A，G与D连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．由探究一知，有2P4种不同的分割方案．所以，此类共有2P4种分割方案．
第4类：如图4，用A，G与E连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．
第5类：如图5，用A，G与F连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．由探究三知，有P6种不同的分割方案．所以，此类共有P6种分割方案．
所以，P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2××25P6＝P6＝3P6＝42（种）．
故答案为：18，42；
[结论]：
由题意知：P5＝×P4，P6＝P5，P7＝P6，…
∴Pn＝Pn﹣1；
[应用]
根据结论得：P8＝×P7＝×42＝132．
所以共有132种分割方案．
【强化训练3】如图，以n边形的n个顶点和它内部m个点作为顶点，把原n边形分割成若干个互不重叠的小三角形．观察图形，解答问题：
（1）填表：
（2）填空，三角形内部有m个点，则原三角形被分割成 个不重叠的小三角形；四边形内部有m个点，则原四边形被分割成 个不重叠的小三角形；n边形内部有m个点，则原n边形被分割成 个不重叠的小三角形；
（3）若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的五分之一，分割成互不重叠的小三角形共有2021个，求这个多边形的边数．
【答案】解：（1）观察图形，完成下表，
故答案为：6，8；
（2）三角形内部1个点时，共分割成3部分，3＝3+2（1﹣1），
三角形内部2个点时，共分割成5部分，5＝3+2（2﹣1），
三角形内部3个点时，共分割成7部分，7＝3+2（3﹣1），
…，
所以，三角形内部有m个点时，3+2（m﹣1）＝2m+1，
四边形的4个顶点和它内部的m个点，
则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m﹣1）＝2m+2，
n边形内部有m个点，则原n边形被分割成n+2（m﹣1）＝2m+n﹣2个不重叠的小三角形；
故答案为：（2m+1），（2m+2），（2m+n﹣2）；
（3）设这个多边形的边数为n，则内部的点的个数为n，
根据题意得，2×n+n﹣2＝2021，
解得：n＝1445，
答：这个多边形的边数为1445．
【题型6】根据多边形的内角与外角求多边形的边数
【典例】若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（　　）
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】多边形的内角和是：3×360＝1080°．
设多边形的边数是n，则
（n﹣2） 180＝1080，
解得：n＝8．
即这个多边形的边数是8．
故选：C．
【强化训练1】若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（　　）
A.三角形 B.五边形 C.四边形 D.六边形
【答案】C
【解析】设多边形的边数为n．
根据题意得：（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4．
故选：C．
【强化训练2】已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】设多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2） 180°＝2×360°，
解得n＝6，
故选：C．
【强化训练3】如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是 ．
【答案】10．
【解析】∵一个多边形的每个内角都是144°，
∴这个多边形的每个外角都是180°﹣144°＝36°，
∴这个多边形的边数为：360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【强化训练4】如果一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的边数是 ．
【答案】8
【解析】多边形的边数是：＝8，
故答案为：8．
【强化训练5】一个n边形的每个外角都相等，如果它的一个内角与相邻外角的度数之比为13：2，求n的值．
【答案】解：∵n边形的每个外角都相等，且一个内角与相邻外角的度数之比为13：2，
∴设n边形的一个内角为13α，则与它相邻的外角为α，
∵n边形的每一个内角与它相邻的外角之和等于180°，
∴13α+2α＝180，
解得：α＝12，
∴n边形的每一个外角为：12°×2＝24°，
∴n＝360÷24＝15．
【题型7】求多边形的内角或外角和
【典例】三角形ABC的一个内角是50°，剪去这个角（如图），剩下四边形的内角和是（　　）
A.180° B.130° C.360° D.540°
【答案】C
【解析】三角形ABC中有一个内角是50°，剪去这个角，剩下的多边形是四边形，
∵四边形的内角和是360°，
∴三角形ABC的一个内角是50°，剪去这个角，剩下四边形的内角和是360°．
故选：C．
【强化训练1】第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，这个八边形的内角和是（　　）
A.720° B.900° C.1080° D.1260°
【答案】C
【解析】根据题意得，八边形的内角和是（8﹣2）×180°＝1080°．
故选：C．
【强化训练2】一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的内角和为（　　）
A.180° B.720° C.540° D.360°
【答案】C
【解析】360°÷72°＝5，
∴（5﹣2） 180°＝540°．
故选：C．
【强化训练3】若五边形的内角中有一个角为80°，则其余四个内角之和为 ．
【答案】460°．
【解析】（5﹣2）×180°﹣80°＝460°．
故答案为：460°．
【强化训练4】已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
【答案】解：（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，
根据题意得180﹣x＝3x+20，解得x＝40，
180°﹣x°＝140°，
所以这个正多边形一个内角的度数140°；
（2）因为这个正多边形的一个外角的度数为40°，
所以这个正多边形边数＝360°÷40°＝9，
所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°．
【题型8】根据多边形的内角与外角求角的度数
【典例】如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　）
A.70° B.80° C.90° D.100°
【答案】B
【解析】由题意得：
∠1+2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∵∠1+2+∠3+∠4＝280°，
∴∠5＝360°﹣280°＝80°，
故选：B．
【强化训练1】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了96米回到点P．则α＝（　　）
A.30° B.45° C.60° D.不存在
【答案】B
【解析】由题意得，小林一共左转了96÷12＝8（次）回到了点P，
∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个八边形，
∴α＝360°÷8＝45°．
故选：B．
【强化训练2】如图，小林从点P向西直走6米后，向左转，再走6米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 ．
【答案】30°
【解析】设边数为n，根据题意，
n＝72÷6＝12，
则α＝360°÷12＝30°．
故答案为：30°．
【强化训练3】如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为 ．
【答案】40°．
【解析】∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，
故答案为：40°．
【强化训练4】一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570°，求：
（1）这个多边形的边数；
（2）除去的那个内角的度数．
【答案】解：（1）设这个多边形的边数为n，则其内角和为（n﹣2） 180°．
依题意，得2570°＜（n﹣2） 180°＜2 570°+180°，
解这个不等式组，得16＜n＜17．
因为n≥3，且n是整数，
所以n＝17，即这个多边形的边数为17．
（2）除去的那个内角的度数为：（17﹣2） 180°﹣2570°＝130°．

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