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2026春八下数学单元测试（二） 勾股定理
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.如图，在中，， ，，则 的长为( )
A. 2 B. C. D.
D
2.以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 1，， B. ，，
C. 1，2，3
A
3.如图，在中，，，， 在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点 表示的数为( )
A. 2.1 B. C. D.
B
4.已知一个三角形的三个内角的度数之比是 ，则这三个内角对应的三条边的比是( )
A. B. C. D.
A
5.如图，在中，，是 的平分线.若，，则 的长为( )
A. 10 B. 12 C. D.
C
6.如图，这是一扇高为，宽为 的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长，宽 ；②号木板长，宽；③号木板长，宽 .可以从这扇门通过的木板是( )
A. ①号 B. ②号 C. ③号 D. 均不能通过
C
7.已知的三边长分别为，，，由下列条件不能判定 是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
A
8.某次机器人创意大赛，如图所示的是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走 ，遇到障碍后又往东走，再转向北走 后往西拐，走了就到达点，则， 两点之间的距离为( )
A. B. C. D.
B
9.已知等边三角形的边长为3，为等边三角形内任意一点，则点 到三边的距离之和为( )
A. B. C. D. 不能确定
B
10.将，与 按如图所示的方式拼接在一起， ，，，则
( )
A. 16 B. 32 C. 160 D. 128
D
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.有一组勾股数，已知其中的两个数分别8和15，则第三个数是____.
17
12.已知在中，，，，则 _____.
13.如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点，结果他在水中实际划了 ，则该河流的宽度_____ .
300
14.如图，在中，，，于点，为 上任一点，则 ___.
5
15.如图，在长方形中，，，点， 分别在边，上，沿着折叠长方形，使点，分别落在， 处.
（1）如图1，当落在线段的中点位置时， _ __.
（2）如图2，若点与点 重合，连接，当线段 的值最小时，
__.
三、解答题（共9题，共75分）
16.（6分）在中，，，分别是，， 所对的三条边， ，试解决下列问题：
（1）如果，，求 的长度.
解： ，
.
.
（2）如果，，求 的长度.
解： ，
.
.
17.（6分）如图，在中，，是 上一点，已知，，，求 的长.
解：在中， ，
在中， .
则有，解得 .
.
18.（6分）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远（如图）.问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈 尺）
解：设竹子折断处离地面有尺，则尺， 尺.
在中，由勾股定理，得 ，
，解得 .
答：竹子折断处离地面有4.2尺.
19.（8分）已知线段，，，且线段， 满足 .
（1）求， 的值.
解： ，
， .
， .
（2）若，，是某直角三角形的三条边的长，求 的值.
解：分两种情况讨论：
①当， 为直角三角形的两条直角边时，
;
②当 为直角三角形的斜边时，
.
综上所述，的值为 或6.
20.（8分）当两个全等的和 如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理.
图中，，连接，延长， 相交于点，则四边形 是一个正方形，且它的面积与四边形 的面积相等.四边形的面积等于与 的面积之和.根据图形写出一种验证勾股定理的方法.
解：由题意，得 ，
.
整理，得 .
21.（8分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体 上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 的左右滑动来调节物体的升降.实验初始状态如图1所示，物体 静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是 .
（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度.
解：根据题意，得，， ，
.
.
答：绳子的总长度为 .
（2）如图2，若物体升高，求滑块 向左滑动的距离.
解：根据题意，得 ，， ，
，
.
.
答：滑块向左滑动的距离为 .
22.（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个
小正方形的顶点叫作格点.
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形.
解：如图1，正方形 即为所求（位置不唯一）.
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边的长分别为
，， .
解：如图2， 即为所求.
（3）判断（2）中所画三角形的形状，说明理由，并求出这个三角形
的面积.
解：所画三角形为直角三角形.理由：
，， ，
.
所画三角形为直角三角形， .
这个三角形的面积为 .
23.（11分）项目式学习
任务 名称 利用勾股定理测量隧道高度
工具 配备 皮尺、计算器、记录本
数据 测量 在笔直的公路旁有一座山，为方便交通，现要从公路 边 上用盾构机开通一条隧道，已知隧道上端点到点 的距离为12 米，点到点的距离为米， 的长为15米
模型 构建
模型 构建
任务解决
（1）设的长为米，用含的代数式表示 .（用两种方法）
解：由题意知， ，
方法一： ；
方法二： .
综上所述，或 .
（2）若在点 向下垂直树立一根长10米的撑竿，请问是否可以做到
解：由（1）知，， ，
，
解得 .
.
米.
，
若在点 向下垂直树立一根长10米的撑竿，不能做到.
24.（12分）如图，已知在中， ，，，，是 边上的两个动点，其中点从点开始，沿 方向运动，速
度为，点从点开始，沿 方向运动，速度为，它们同时出发.设出发的时间为 .
（1）____ .
12
（2）当点在边的垂直平分线上时， ________.
（3）当点在边上运动时，求出使 为等腰三角形的运动时间.
解：①当 时，如图1所示.
则 ，
，
， .
.
.
.
.
；
②当 时，如图2所示.
则 ，
；
③当 时，如图3所示.
过点作于点，则 .
.
.
.
.
.
综上所述，当运动时间为或或时， 为等腰三角形.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2026春八下数学单元测试（二） 勾股定理
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.如图，在中，， ，，则 的长为( )
A. 2 B. C. D.
2.以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 1，， B. ，，
C. 1，2，3
3.如图，在中，，，， 在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点 表示的数为( )
A. 2.1 B. C. D.
4.已知一个三角形的三个内角的度数之比是 ，则这三个内角对应的三条边的比是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，是 的平分线.若，，则 的长为( )
A. 10 B. 12 C. D.
6.如图，这是一扇高为，宽为 的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长，宽 ；②号木板长，宽；③号木板长，宽 .可以从这扇门通过的木板是( )
A. ①号 B. ②号 C. ③号 D. 均不能通过
7.已知的三边长分别为，，，由下列条件不能判定 是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
8.某次机器人创意大赛，如图所示的是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走 ，遇到障碍后又往东走，再转向北走 后往西拐，走了就到达点，则， 两点之间的距离为( )
A. B. C. D.
9.已知等边三角形的边长为3，为等边三角形内任意一点，则点 到三边的距离之和为( )
A. B. C. D. 不能确定
10.将，与 按如图所示的方式拼接在一起， ，，，则
( )
A. 16 B. 32 C. 160 D. 128
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.有一组勾股数，已知其中的两个数分别8和15，则第三个数是____.
12.已知在中，，，，则 _____.
13.如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点，结果他在水中实际划了 ，则该河流的宽度_____ .
14.如图，在中，，，于点，为 上任一点，则 ___.
15.如图，在长方形中，，，点， 分别在边，上，沿着折叠长方形，使点，分别落在， 处.
（1）如图1，当落在线段的中点位置时， _ __.
（2）如图2，若点与点 重合，连接，当线段 的值最小时，
__.
三、解答题（共9题，共75分）
16.（6分）在中，，，分别是，， 所对的三条边， ，试解决下列问题：
（1）如果，，求 的长度.
（2）如果，，求 的长度.
17.（6分）如图，在中，，是 上一点，已知，，，求 的长.
18.（6分）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远（如图）.问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈 尺）
19.（8分）已知线段，，，且线段， 满足 .
（1）求， 的值.
（2）若，，是某直角三角形的三条边的长，求 的值.
20.（8分）当两个全等的和 如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理.
图中，，连接，延长， 相交于点，则四边形 是一个正方形，且它的面积与四边形 的面积相等.四边形的面积等于与 的面积之和.根据图形写出一种验证勾股定理的方法.
21.（8分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体 上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 的左右滑动来调节物体的升降.实验初始状态如图1所示，物体 静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是 .
（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度.
（2）如图2，若物体升高，求滑块 向左滑动的距离.
22.（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个
小正方形的顶点叫作格点.
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形.
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边的长分别为
，， .
（3）判断（2）中所画三角形的形状，说明理由，并求出这个三角形
的面积.
23.（11分）项目式学习
任务 名称 利用勾股定理测量隧道高度
工具 配备 皮尺、计算器、记录本
数据 测量 在笔直的公路旁有一座山，为方便交通，现要从公路 边 上用盾构机开通一条隧道，已知隧道上端点到点 的距离为12 米，点到点的距离为米， 的长为15米
模型 构建
模型 构建
任务解决
（1）设的长为米，用含的代数式表示 .（用两种方法）
（2）若在点 向下垂直树立一根长10米的撑竿，请问是否可以做到
24.（12分）如图，已知在中， ，，，，是 边上的两个动点，其中点从点开始，沿 方向运动，速
度为，点从点开始，沿 方向运动，速度为，它们同时出发.设出发的时间为 .
（1）____ .
（2）当点在边的垂直平分线上时， ________.
（3）当点在边上运动时，求出使 为等腰三角形的运动时间.(共49张PPT)
人教新版八下数学阶段测试卷 讲解课件
2026春八下数学单元测试（二） 勾股定理
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求）
第1题图
1.如图，在中，， ，
，则 的长为( )
D
A. 2 B. C. D.
2.以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是
( )
A
A. 1，， B. ，，
C. 1，2，3 D. 3，4，7
3.如图，在中，，，， 在数轴上，
以点为圆心，的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点
表示的数为( )
B
第3题图
A. 2.1 B. C. D.
4.已知一个三角形的三个内角的度数之比是 ，则这三个内角对应
的三条边的比是( )
A
A. B. C. D.
第5题图
5.如图，在中，，是 的平
分线.若，，则 的长为( )
C
A. 10 B. 12 C. D.
第6题图
6.如图，这是一扇高为，宽为 的门框，李师傅
有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长，宽 ；
②号木板长，宽；③号木板长，宽 .
可以从这扇门通过的木板是( )
C
A. ①号 B. ②号 C. ③号 D. 均不能通过
7.已知的三边长分别为，，，由下列条件不能判定 是
直角三角形的是( )
A
A. B.
C. D.
第8题图
8.某次机器人创意大赛，如图所示的是一参赛队
员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点
处先往西走，又往北走 ，遇到障碍后
又往东走，再转向北走 后往西拐，走了
就到达点，则， 两点之间的距离为
( )
B
A. B. C. D.
9.已知等边三角形的边长为3，为等边三角形内任意一点，则点 到
三边的距离之和为( )
B
A. B. C. D. 不能确定
第10题图
10.将，与 按如图所示的
方式拼接在一起， ，
，，则
( )
D
A. 16 B. 32 C. 160 D. 128
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.有一组勾股数，已知其中的两个数分别8和15，则第三个数是____.
17
12.已知在中，，，，则 _____.
13.如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地
点偏离欲到达点，结果他在水中实际划了 ，则该河流
的宽度_____ .
300
第13题图
14.如图，在中，，，于点，为 上
任一点，则 ___.
5
第14题图
15.如图，在长方形中，，，点， 分别在边
，上，沿着折叠长方形，使点，分别落在， 处.
第15题图
（1）如图1，当落在线段的中点位置时， _ __.
第15题图
（2）如图2，若点与点 重合，连接
，当线段 的值最小时，
__.
三、解答题（共9题，共75分）
16.（6分）在中，，，分别是，， 所对的三条
边， ，试解决下列问题：
（1）如果，，求 的长度.
解： ，
.
.
（2）如果，，求 的长度.
解： ，
.
.
17.（6分）如图，在中，，是
上一点，已知，，，求
的长.
解：在中， ，
在中， .
则有，解得 .
.
18.（6分）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵
地，去本四尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原
高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处
离原竹子根部4尺远（如图）.问：竹子折断处离地面有
几尺？（1丈 尺）
解：设竹子折断处离地面有尺，则尺， 尺.
在中，由勾股定理，得 ，
，解得 .
答：竹子折断处离地面有4.2尺.
19.（8分）已知线段，，，且线段， 满足
.
（1）求， 的值.
解： ，
， .
， .
（2）若，，是某直角三角形的三条边的长，求 的值.
解：分两种情况讨论：
①当， 为直角三角形的两条直角边时，
;
②当 为直角三角形的斜边时，
.
综上所述，的值为 或6.
20.（8分）当两个全等的和
如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理.
图中，，连接，延长，
相交于点，则四边形 是一个正方形，
且它的面积与四边形 的面积相等.四边形
的面积等于与 的面积之和.根据图形写出一种
验证勾股定理的方法.
解：由题意，得 ，
.
整理，得 .
21.（8分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根
不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体
上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 的左右滑动来调节
物体的升降.实验初始状态如图1所示，物体 静止在直轨道上，物体
到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是 .
（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小
忽略不计）
图1
图2
（1）求绳子的总长度.
图1
图2
解：根据题意，得，， ，
.
.
答：绳子的总长度为 .
（2）如图2，若物体升高，求滑块 向左滑动的距离.
图1
图2
解：根据题意，得 ，， ，
，
.
.
答：滑块向左滑动的距离为 .
图1
图2
22.（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个
小正方形的顶点叫作格点.
图1
图2
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形.
图1
图2
解：如图1，正方形 即为所求（位置不唯一）.
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边的长分别为
，， .
图1
图2
解：如图2， 即为所求.
（3）判断（2）中所画三角形的形状，说明理由，并求出这个三角形
的面积.
图1
图2
解：所画三角形为直角三角形.理由：
，， ，
.
所画三角形为直角三角形， .
这个三角形的面积为 .
图1
图2
23.（11分）项目式学习
任务 名称 利用勾股定理测量隧道高度
工具 配备 皮尺、计算器、记录本
数据 测量 在笔直的公路旁有一座山，为方便交通，现要从公路 边
上用盾构机开通一条隧道，已知隧道上端点到点 的距离为12
米，点到点的距离为米， 的长为15米
模型 构建
图1
续表
模型 构建
图2
续表
任务解决
（1）设的长为米，用含的代数式表示 .（用两种方法）
解：由题意知， ，
方法一： ；
方法二： .
综上所述，或 .
（2）若在点 向下垂直树立一根长10米的撑竿，请问是否可以做到
解：由（1）知，， ，
，
解得 .
.
米.
，
若在点 向下垂直树立一根长10米的撑竿，不能做到.
24.（12分）如图，已知在中， ，
，，，是 边上的两
个动点，其中点从点开始，沿 方向运动，速
度为，点从点开始，沿 方向运
（1）____ .
（2）当点在边的垂直平分线上时， ________.
12
动，速度为，它们同时出发.设出发的时间为 .
（3）当点在边上运动时，求出使 为等腰三角形的运动时间.
解：①当 时，如图1所示.
则 ，
，
， .
.
.
.
.
；
②当 时，如图2所示.
则 ，
；
③当 时，如图3所示.
过点作于点，则 .
.
.
.
.
.
综上所述，当运动时间为或或时， 为等腰三角形.
Thanks!
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