资源简介

(共23张PPT)
三角形的中位线
平行四边形
转化成几何问题就是把这个三角形四等分，你会吗？
如图，将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求每人分得的形状和大小必须完全相同，该如何分？
例 7 如图，已知 □ ABCD，延长边 AD 至点 F，使 DF = DA. 连结 BF，交边 DC 于点 E.
求证：EF = EB.
F
A
B
C
D
E
思路提示：
通过证△DFE ≌ △CBE
EF = EB
F
A
B
C
D
E
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DA CB (平行四边形的对边平行且相等).
∥
＝
∴∠FDE = ∠BCE，∠DFE = ∠CBE.
又∵DA = DF，
∴DF = CB.
在△DFE 与△CBE 中，
∵∠FDE = ∠BCE，DF = CB，∠DFE = ∠CBE ，
∴△DFE ≌△CBE.
∴EF = EB.
F
A
B
D
E
如图，在△ABF 中，D，E 分别是边 AF，BF 的中点，连结 DE .
像 DE 这样，连结三角形两边
中点的线段叫做三角形的中位线 .
符号语言：
∵D，E 分别是边 AF，BF 的中点，
∴DE 为△ABF 的中位线.
思 考
（1）一个三角形有几条中位线？
A
B
C
D
E
F
一个三角形有三条中位线，分别是 DE、DF、EF.
（2）每条中位线与三角形的边有什么关系？
思路提示：从位置关系和数量关系入手.
数量关系
A
B
C
D
E
位置关系
∠ B = 50°，
∠ ADE = 50°，
∠ B = ∠ ADE
DE∥BC
BC = 6cm
DE = 3cm
DE = BC
猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
例 8 如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别是边 AB 和 AC 的中点. 求证： DE∥BC，DE = BC.
中位线
倍长
构造全等三角形
平行四边形
作等长延长线
得线段相等、角相等
得线段相等、平行
F
【思路分析】
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
证明：如图，延长 DE 到 F，使 EF = DE，连结 CF.
在 △ADE 和△CFE 中，
∵AE = CE，∠AED = ∠CEF，DE = FE，
∴△ADE ≌ △CFE.
∴∠A = ∠ECF，AD = CF. ∴CF∥AB.
∵BD = AD， ∴CF = BD.
∴四边形 DBCF 是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF∥BC（平行四边形的对边平行），
DF = BC（平行四边形的对边相等）.
∴ DE∥BC，DE = BC.
归 纳
三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
几何语言：
在△ABC 中，
∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点，
∴DE∥BC且 DE = BC .
A
B
C
D
E
1. 如图，在 □ABCD 中，M 为边 AD 上的一点，AM ＝2DM，
E、F 分别是 BM 、CM 的中点．若 EF ＝ 6，则 AM 的长
为_____.
6
12
4
8
8
2. 如图是人字梯及其侧面示意图，AB、AC 为支撑架，DE 为
拉杆，D 、E 分别是 AB、AC 的中点．若 DE ＝ 40 cm，
则 B、C 两点间的距离为 ( )
A. 50 cm
B. 60 cm
C. 70 cm
D. 80 cm
D
例 9 证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
已知：如图，在 △ABC 中，AD = DB，BF = FC，AE = EC.
求证：AF 与 DE 互相平分.
A
B
C
D
E
F
证明：如图，连结 DF、EF.
∵AD = DB，BF = FC，
∴DF∥AC（三角形的中位线平行于第三边）.
∴同理可得，EF∥BA.
∴四边形 ADFE 是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
∴AF 与 DE 互相平分.
A
B
C
F
E
D
A
B
C
三角形的中位线与三角形的中线的区别:
三角形的中线是连结三角形顶点与其对边中点的线段.
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，
E
D
F
中位线和中线分割的图形的面积和周长都有什么特点？
S△AEF = S△BDF = S△CDE = S△DEF = S△ABC
C△AEF = C△BDF = C△CDE = C△DEF = C△ABC
A
B
C
F
E
D
A
B
C
F
E
D
S△ABD = S△ACD = S△CBF = S△CAF = S△BAE = S△BCE = S△ABC
C△ABD － C△ACD = AB－AC， C△CBF － C△CAF = CB－CA， C△BAE－ C△BCE = BA－BC.
【选自教材第100页 练习 第1题】
1. 三角形的周长为 56 cm，求它的三条中位线组成的
三角形的周长.
解:如图，由题意得 AB + AC + BC ＝56 cm.
∵ D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点，
∴ DE、EF、DF 都是△ABC 的中位线.
∴ DE ＝ BC，EF ＝ AB，DF ＝ AC.
∴ DE + EF + DF ＝ (BC + AB + AC)＝ ×56＝28 (cm).
∴ 该三角形的三条中位线组成的三角形的周长为28 cm.
【选自教材第100页 练习 第2题】
2. 如图，在△ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
则线段 DE 是 △ABC 的______线，线段 ED 是 △ABE
的_____线，线段 BE 是△ABC 的_____线.
A
B
C
D
E
中位
中
中
3. 如图，在 △ABC 中，AD = 6，BC = 4，E、F、G、H 分别
是 AB、AC、BD、CD 的中点，求四边形 EFHG 的周长.
【选自教材第101页 练习 第3题】
A
B
C
E
F
D
G
H
解: ∵ E、F 是 AB、AC 的中点，
∴ EF 是△ABC 的中位线.
∴ EF ＝ BC.
同理可得 GH ＝ BC.
∴ EF ＝ GH ＝ BC ＝ ×4 ＝ 2.
∵ E、G 分别是 AB、BD 的中点，
∴ EG 是△ABD 的中位线，
3. 如图，在 △ABC 中，AD = 6，BC = 4，E、F、G、H 分别
是 AB、AC、BD、CD 的中点，求四边形 EFHG 的周长.
【选自教材第101页 练习 第3题】
A
B
C
E
F
D
G
H
∴ EG ＝ AD.
同理可得 FH ＝ AD.
∴ EG ＝FH ＝ AD ＝ ×6＝3.
∴ 四边形 EFHG 的周长＝EF + FH + GH + EG
＝ 2 + 3 + 2 + 3 ＝ 10.
通过这节课的学习，你掌握了三角形中位线的哪些知识？
三角形中位线
定义
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
知识拓展
动手操作
将几根木条用钉子钉成如下形状，然后扭动它，你能发现什么？
三角形具有稳定性，而平行四边形具有不稳定性.
四边形的不稳定性在日常生活中有广泛的应用.
伸缩晾衣杆
伸缩门

展开更多......

收起↑