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第21章《四边形》章节复习卷
一、单选题
1．一个七边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ）

A． B． C． D．
5．（如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．16
6．如图．在 ABC中，，，，，点是边的中点，则（ ）

A． B． C．2 D．1
7．按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，，点E，F分别在线段上，，连接．过点E，F分别作线段的垂线，垂足分别为G，H．动点P在内部及边界上运动，四边形，， PEF，，的面积分别为，，，，．若点P在运动中始终满足，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（ ）
A．2 B． C．4 D．
9．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在 BDE内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为_______．

12．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形．
13．如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则_______．
14．如图，在 ABC中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______．
15．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为______．
16．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为______．
17．如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点D/在边上，点C的对应点为，则的最小值为_________，CF的最大值为_________．
18．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是________．
三、 解答题
19．如图，在菱形中，，垂足为，垂足为．
求证：．
20．尺规作图问题：
如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点．
小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
（1）证明；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
21．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若平行四边形的周长为，求的长．
22．康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作

①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；
③顺次连结所得的四点得到四边形．
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．

23．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴①，．
∵点是的中点，
∴②．
∴（AAS）．
∴③．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．
24．【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、单选题
1．B
解：一个七边形的内角和等于，
故选：B．
2．C
解：∵点D，E，分别为的中点，
∴为 ABC的中位线，
∴；
故选：C．
3．B
解：∵是平行四边形，
∴，
故选B．
4．B
解：由图可知，
在中，，点D为边的中点，
,
故选：B．
5．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴周长为：，
故选：C．
6．A
解：∵，
∴为直角三角形．
∴．
∵点为的斜边的中点，
∴．
∵，，
∴．
故选：A．
7．D
解：根据作图可得
∴四边形是菱形，则，
又∵，
∴
故选：D．
8．A
解：如图，
在正方形中，，，
；
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
∵，
∴由勾股定理得，，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
又
而，
∴，
∵动点P在内部及边界上运动，
∴点的运动轨迹是内部及边界上平行于的一条线段，则是等腰直角三角形，如图，
取的中点，连接交于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P组成的图形长度为2，
故选：A．
9．C
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，P为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．D
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵折叠
∴
∴
∵，即
∴，故A不正确
∵
∴，故B不正确
∵折叠，
∴
∵，故C不正确，D选项正确
故选：D．
二、填空题
11．2
解：∵平行四边形中，，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
12．（或，答案不唯一）
解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：；
根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：；
故答案为：（或，答案不唯一）．
13．12
解：∵折叠，
∴，
∵平行四边形纸片，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：12
14．6
解：∵在 ABC中，点，分别是边，的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：6．
15．
解：四边形是菱形，
，，
，
菱形的面积，
，
故答案为：．
16．10
解：∵四边形是正方形，
∴点关于的对称点是点．
连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小．
∵，正方形的边长为8，
∴，．
由，知．
又∵点与点关于对称，
∴且平分．
∴．
∴．
∴的最小值是10．
故答案为：10
17． 6
解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴的最小值为6，
由折叠的性质可得，
∴的最小值为6；
如图所示，连接，
由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最大，即最大时，最大，
∴当与点B重合时，最大，
设此时，则，
∴，
解得，
∴的最大值为
故答案为：，．
18．
解：正方形顶点M的坐标为，
,
是等边三角形，点B坐标是，
等边三角形高为，
由题知，
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
继续滚动有，的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组，
，
的坐标与的坐标一样为，
故答案为：．
三、解答题
19．
解：证明：四边形是菱形
20．
解：（1）∵，
∴，
又根据作图可知：，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，
故无法确定F的位置，
故小丽的作法存在问题．
21．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
22．
解：（1）解：由作图可得：，，
∴四边形是平行四边形，
该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
23．
解：（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：①；②；③；④四边形是菱形．
24．
解：（1），理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

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