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第二十一章《四边形》章节检测卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，直线，点A在直线上，点B，C在直线上，若，则直线，间的距离可以是（ ）
A．6 B．3 C．7 D．8
4．如图，四边形中，，对角线、相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．下列结论中，正确的有（ ）
①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是___________．
12．如图，M，N分别是的边，的中点．若，则______．
13．对角线长为的正方形，边长为________．
14．如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为，，则，的大小关系是______．
15．如图，将含有的直角三角尺（）直角顶点A放到矩形的边上，若，则的度数是______．
16．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为_____．

17．如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为________．
18．如图，在边长为1的菱形中，，连接对角线，以为边作第2个菱形，使，连接对角线，再以为边作第3个菱形，使按此规律所作的第2025个菱形的边长是_____．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在 ABC中，是边上的中线，是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的周长．
20．（8分）如图，在 ABC中，，是的中点．延长至点，使．连接，记， AOB的周长为，的周长为，四边形的周长为．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
21．（10分）已知，如图在 ABC中，、分别是，边上的高，、交于，，．
（1）求证：；
（2）点为的中点，，求证：是等边三角形．
22．（10分）如图，在中，，，点是 ABC外一点连接，，将沿折叠使点落在边上的点处，连接，若．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，，若，求四边形的面积．
23．（10分）[材料阅读]小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段中点坐标为；
[知识运用]如图，长方形的对角线相交于点，、分别在轴和轴上，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为　　　　；
[能力拓展]在平面直角坐标系中，有，，三点，另有一点与点、、构成平行四边形的顶点，求点的坐标．
24．（12分）如图，在平行四边形中，F是对角线的交点，E是边的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形；
（3）若且，求证：四边形是正方形．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、平行四边形是四边形不具有稳定性，不符合题意；
B、三角形具有稳定性，符合题意；
C、五边形不具有稳定性，不符合题意；
D、六边形不具有稳定性，不符合题意．
故选：B．
2．A
解：∵边形内角和公式为，
∴五边形的内角和为，
∵五边形的每个内角都是，
∴，
解得：．
故选：A．
3．B
解：过点A作
∵直线，点A在直线上，点B，C在直线上，且，
∴，间的距离（垂线段最短），
观察四个选项，唯有B选项符合题意，
故选：B
4．D
解：A． 由，可知，四边形的一组对边平行且相等，能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B． ∵，
∴，
∵，
∴，
∴，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
D． 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
故选：D
5．B
解：如图，连接，
∵M是边的中点，P是边的中点，
∴是 ABC的中位线
∴，，
故选：B
6．D
解：如图，
A．菱形的四边相等，故本选项中数据正确，不符合题意；
B．∵菱形的四边相等，
∴，
∴，故本选项数据正确，不符合题意；
C．∵菱形，
∴，
∴，即，故本选项数据正确，不符合题意；
D．∵菱形，
∴，故本选项数据有误，符合题意，
故选：D．
7．B
解：的垂直平分线经过点，
，
，是的中点，
．
8．D
解：∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形，
∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确，
∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确，
综上，正确的结论共有4个．
9．A
解：由折叠知，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
在四边形中，，
∴，
∴，
故选：A．
10．C
解：如下图所示，过点作，
当点与点重合时，的值最小，
四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
，
，
解得：，
，
的最小值为．
故选：C．
二、填空题
11．8
解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，，
解得，
∴这个多边形的边数是8，
故答案为：8．
12．
解：∵M，N分别是的边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
13．2
解：设正方形的边长为 ，则对角线长为 ．
给定对角线长为 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为：2．
14．
解：如图，过、分别作、，
四边形是平行四边形，
，
又∵
∴，
∴ BEC与的高与相等，即，
，
．
故答案为：．
15．
解：设与的交点为点，
∵，，
∴，
∵在矩形中，，
∴
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
解：∵菱形中，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
17．
解：如下图所示，过点作，
菱形中，，，
，，
与是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
18．
解：∵四边形是边长为的菱形，，
∴（菱形四边相等），
∴是等边三角形（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）．
连接，与交于点，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴，，（等边三角形三线合一）．
由勾股定理得，
∴，即第2个菱形的边长为。
同理，四边形是边长为的菱形，，
∴，是等边三角形．
连接，与交于点，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴，，．
由勾股定理得，
∴，即第3个菱形的边长为．
归纳规律：第1个菱形边长为，第2个为，第3个为，第4个为，……，第个菱形的边长为，
当时，边长为．
故答案为：．
三、解答题
19．
解：（1）证明：因为，
所以．
因为E是的中点，
所以．
在和中，
，
所以≌．
所以．
因为是边上的中线，
所以，
所以．
（2）解：在中，，，，
根据勾股定理．
因为是边上的中线，
所以．
因为，，
所以四边形是平行四边形．
所以，．
所以四边形的周长为．
20．
解：（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴的长为5．
21．
解：（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
22．
解：（1）证明：如图1，连接，设交于点，
由折叠的性质得：，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图2，
由（1）可知，四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
四边形的面积．
23．
解：[知识运用] 解：在长方形中，，
∵点的坐标为，点O的坐标为，
∴点M的坐标为，即；
故答案为：；
[能力拓展] 解：设点D的坐标为，
若以为对角线，此时
，解得：，
∴点D的坐标为；
若以为对角线，此时
，解得：，
∴点D的坐标为；
若以为对角线，此时
，解得：，
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或或．
24．
解：（1）证明：∵平行四边形，
∴点为的中点，
又∵是的中点，
∴为的中位线，
∴；
（2）证明：根据解析（1）可知：为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形是菱形；
（3）证明：∵，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴根据解析（2）可知，当时，四边形是菱形，
∴四边形是正方形．

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