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10.3《实际问题与二元一次方程组》同步练习
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，设飞机无风时的平均速度为，风速为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出7钱，会多2钱；每人出6钱，又会差3钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．小杰买了单价分别为2元和3元的练习本若干本（每种至少买一本），总共花了20元，则有（ ）种购买方案．
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
4．一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（ ）
A．28天 B．34天 C．48天 D．58天
5．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（ ）
A．1，2 B．2，1 C．2，2 D．
6．703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（ ）
A．15名 B．16名 C．17名 D．18名
7．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　）
A．72 B．68 C．65 D．60
8．爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 9：00 10：00 11：30
里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 是一个两位数，它的十位与个位数字是9：00时所看到的两位数正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0
则10：00小明看到的两位数为（ ）
A．21 B．32 C．42 D．51
9．如图，《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来就是类似地，如图②所示的算筹图我们可以表示为（ ）
A． B． C． D．
10．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒．仓库里现有2025张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（ ）
A．4042 B．4040 C．4038 D．4036
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤两，半斤两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，可列方程组___________．
12．将一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，设，的度数分别为，，请列出二元一次方程组______．
13．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将暗文发送给接收方，接收方收到暗文后按照某种规则解密为明文．某种加密规则为：，其中，，例如，，当发送方发送的暗文是时，解密得到的明文是____．
14．一个各数位均不为零的四位自然数，若满足，则称这个数为“友谊数”，例如四位数，因为，所以是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为______．
15．某学校知识竞赛共18轮，每轮胜一场积分、负一场积分均不变（无平局情况），如表记录了A、B、C、D4名参赛者前5轮积分情况．若18轮结束后，参赛者胜场数是负场数的偶数倍，则参赛者B总积分是___________．
参赛者 胜场数 负场数 积分
A 4 1 19
B 3 2 13
C 3 2 13
D 2 3 7
三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？
17．风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元．
(1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？
(2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？
18．根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？
(2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？
19．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题：
今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？
(1)列二元一次方程组解决以上问题．
(2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示．
左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）．
①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）；
②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据．
20．中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆型和3辆型汽车需要万元，3辆型和2辆型汽车需要万元．
(1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？
(2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车(两种汽车都要购进)，请写出有哪几种购买方案．
(3)若销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
21．幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和”
(1)如图①所示幻方，求x的值；
(2)如图②所示幻方，求a，b的值；
(3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整．
参考答案
一、选择题
1．A
解：由题意可得，
，
故选：A．
2．D
解：设合伙人数为人，物价为钱，
由每人出7钱，会多2钱，即；
每人出6钱，又会差3钱，即．
所以可列方程组为．
故选D．
3．B
解：设单价为2元的练习本买了x本，单价为3元的练习本买了y本，其中x、y为正整数．
根据题意，得，则．
因为，所以，解得；
又因为且为偶数，x为整数，所以为偶数，即y为偶数．
则y可取2、4、6：
当时，；
当时，；
当时，．
共3种购买方案．
故选：B．
4．B
解：设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的，
依题意得：，
解得：，
∴，
∴甲独做这件工作天可以完成．
故选：B．
5．C
解：∵，，
∴，，
∴，，
即，
解得：．
故选：C．
6．B
解：设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，
依题意，得：，解得：．
故选：B．
7．C
解：设小长方形卡片的长为，宽为，
根据题意得：，解得：，
阴影部分的总面积为：．
故选：C．
8．D
解：设：时里程碑上的这个两位数十位数字为，个位数字为，
根据题意得：时里程碑上的数字为；
时里程碑上的数字为；
时里程碑上的数字为；
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：时里程碑上的数为．
故选：D.
9．B
解：第一行算筹：的系数为2，的系数为 1，常数项为11，因此方程为
第二行算筹：的系数为 4，的系数为3，常数项为，因此方程为
所以方程组为：
故选：B．
10．B
解：设可做成x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，
依题意，得：，
，得：，即，
∵y为正整数，
∴n的个位数字为0或5．
观察四个选项，选项B符合题意，
故选：B．
二、填空题
11．
解：设客人为人，银子为两，每人分7两时，银两总数可表示为；每人分9两时，银两总数可表示为，
故得方程组，
故答案为：
12．
解：由的度数比的度数大可得：，
再从图中可看出，
即，
由此可列二元一次方程组为：．
故答案为：．
13．
解：根据加密规则可得：，
解得：，
故对应的明文为，
故答案为：．
14．
解：由，得 ；由，得，
∵是一个“友谊数”，
∴，即，
∴，得，解得，则，，
由，得，故，
因此这个数为，
故答案为：．
15．54或78
解：设胜一场得分，负一场得分．
由A（4胜1负积分19）得：
由D（2胜3负积分7）得：
解方程组：，
得，
故胜一场得5分，负一场得分．
设B在18轮后胜场数为，负场数为，则，且（为正偶数）．
代入得，．
为18的正因数，且为偶数，为奇数．
18的正因数有1、2、3、6、9、18．
时，不是偶数；
时，是偶数；
时，不是偶数；
时，是偶数；
时，不是偶数；
时，不是正偶数，故无效．
因此或．
B总积分．
若，则；
若，则．
故答案为：54或78．
三、解答题
16．解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，
依题意，得，
解这个方程组，得，
答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间．
17．（1）解：设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元，
根据题意，得，
解得，
∴甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元．
（2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，
根据题意，得，
解得，
∴甲，乙两施工队同时做需（天）能完成施工任务．
18．（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个，
由题意得：，解得
答：放入的大球为4个，放入的小球为6个．
（2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个，
由题意得：，变形为，
∵为正整数，为奇数，
∴当时，；当时，．
答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球．
19．（1）解：设牛每头值金两，羊每头值金两，由题意得，
，
解得：，
答：牛每头值金两，羊每头值金两．
（2）解：① “遍乘”是用一个数去乘方程两边，“直除”是通过相减消去一个未知数，这体现了解二元一次方程组的消元思想．
故答案为：消元．
②因为右方羊的数量是，左方羊的数量是，所以用右羊数遍乘左方各数，
左方原来牛、羊、金，遍乘后：牛，羊，金，得到遍乘后的左方数据为牛、羊10、金16，右方数据不变（牛、羊、金10），
然后进行直除，要消去羊，右方羊是，左方羊是10，，用左方各数减去右方对应数的倍．
牛：；羊：；金： ．
所以最终图填写如下：
20．（1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，
根据题意列方程组：，解得，
答：A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元．
（2）解：设购进型汽车辆，型汽车辆(、均为正整数)，
根据题意得，整理得，
∵、为正整数，
∴需为3的正倍数，且，即，
当时，，符合要求；
当时，，符合要求；
当时，，符合要求；
∴共有3种购买方案：方案1：购进型辆，型1辆；方案2：购进型8辆，型4辆；方案3：购进型4辆，型7辆；
（3）解：方案1的利润：(万元)；
方案2的利润：(万元)；
方案3的利润：(万元)；
∵，
∴方案1获利最大，最大利润是万元；
答：方案1获利最大，最大利润是万元．
21．（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：根据题意得：
，
解得：；
（3）解：根据题意得：，
整理得：，
∴，
∵m，a为正整数，
∴或或，
当时，
第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15，
每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36，
∴第二行的三个数从左到右依次为14，12，10，
∴第一列三个数从上到下依次为11，12，13，
∴第一行的三个数从左到右依次为11，14，11，
11 14 11
12 12 10
13 8 15
当时，
同理将对应的幻方填写完整，如下：
15 10 11
8 12 16
13 14 9
当时，
同理将对应的幻方填写完整，如下
21 4 11
2 12 22
13 20 3

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