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2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第二章 二元一次方程组 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程组中，是二元一次方程组的为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
4．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（ ）
A．50元、60元 B．44元、54元
C．40元、50元 D．45元、55元
5．若关于，的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则，的值分别是（ ）
A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3
7．若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
9．把1～9这九个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（ ）
2
5 7
8
A．9 B．1 C．3 D．6
10．《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ．
12．已知关于的方程组无解，则 ．
13．有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）．
14．二元一次方程有一个解是，则k的值是 ．
15．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可列方程组为 ．
16．一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，并且百位数字与十位数字形成的两位数是千位数字与个位数字和的两倍，那么把这个四位数叫做“中二倍数”，例如：四位数3165，因为，所以3165是“中二倍数”．若两个四位自然数，是“中二倍数”，则 ；若一个“中二倍数”能被19整除，记，则当最大值时m的值是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．解方程组
(1)
(2)
18．计算：
(1)；
(2)已知是方程的一个解，求的值．
19．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值．
20．已知关于的二元一次方程组的解是．试求关于的二元一次方程组的解．
21．在国家积极推进“互联网＋”行动以来，网上购物已成为生活中的常态．小亮在网购平台上购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
购买商品 A的数量（个） 购买商品 B的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购物 6 4 240
第二次购物 8 6 204
第三次购物 5 6 280
(1)小亮第 次购物时，商品A、B同时打折，并简略叙述理由．
(2)请求出商品A的标价．
22．某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
(1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
(2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案．
23．【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值．
【方法对比】
甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下：
（1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值．
（2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值．
（3）丙同学：先解方程组，再求k的值．
【解答问题】
你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题．
24．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面、做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器，
（1）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果将两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？
（2）现有长方形铁片a张，正方形铁片b张，如果加工这两种容器若干个，恰好将两种铁片刚好全部用完．则的值可能是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
（3）给长方体容器加盖可以加工成铁盒．先工厂仓库有35张铁皮可以裁剪成长方形和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1张铁皮可裁剪出3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁剪出1张长方形铁片和2张正方形铁片．请问怎样充分利用这35张铁皮，最多可以加工成多少个铁盒 2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第二章 二元一次方程组 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C A B D D B B
1．C
本题考查二元一次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1．据此逐项判断即可．
解：A：，含两个未知数，但含未知数的项的次数为2，不是一次方程；
B：，含两个未知数，但次数均为2，不是一次方程；
C：，含两个未知数x和y，次数均为1，是二元一次方程；
D：，含两个未知数，但y在分母，不是二元一次方程．
故选：C．
2．D
本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
根据二元一次方程组的定义作答即可．
解：A、两个方程都是分式方程，不符合题意；
B、方程组含有三个未知数，不符合题意；
C、第一个方程的的次数为2，不符合题意；
D、方程组为二元一次方程组，符合题意．
故选：D．
3．D
本题考查了已知二元一次方程的解求参数，将给定的解代入方程，通过解一元一次方程求k的值，即可作答．
解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解，
∴把代入得：，
即，
∴，
∴，
因此，k的值为2，
故选：D
4．C
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，
由题意得：
解得：
故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元．
故选：C．
5．A
本题考查了解二元一次方程组，相反数的定义，掌握方程的解法和相反数的定义是解题的关键． 由与互为相反数，可得，代入到方程组中得到、的值，进而可得的值．
解： 与互为相反数，
，
将代入中得：，
解得，
，
将，代入中得：，
解得，
故选：A．
6．B
根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解．
本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键．
解：∵ 且 ，
又∵ ，
∴ ，
解得
故选：B．
7．D
本题考查二元一次方程解的概念及代入法的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将已知解代入二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可．
解：将，代入方程，得：，
化简得：，
解得：，
故选D．
8．D
本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．
先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得．
解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为，
A、将代入得：，则此项不符合题意；
B、将代入得：，则此项不符合题意；
C、将代入得：，则此项不符合题意；
D、将代入得：，则此项符合题意；
故选：D．
9．B
本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键．
由题意根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等列出方程、，最终求出并计算 ．
解：由题意得：
解得：
∴．
故选：B．
10．B
本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键．
设一只雀重斤，一只燕子重斤，根据“5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤”，可得二元一次方程组，即可选出答案．
解：设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为：，
故选：B．
11．
本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程．
由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值．
解：由可得：，
解得：；
由二元一次方程组的定义可得：
，
解得：；
，
故答案为：．
12．1
本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键．
由原方程组无解，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
解：，
可得，
关于的方程组无解，
中，
解得：，
的值为1．
故答案为：1．
13． ②③④ ①④ ④
本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可．
解：①②③④中，
把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解，
把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解，
把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解，
把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解，
即②③④是方程的解；
把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解，
把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解，
把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解，
把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解，
即①④是方程的解；
∴④是方程组的解．
故答案为：②③④，①④，④．
14．
本题主要考查二元一次方程的解，将方程的解代入原方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可．
解：将，代入方程，得：
，
解得，．
故答案为：．
15．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每行、每列及对角线上的三个数之和都相等，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
解：第一列与对角线上的三个数之和相等，
∴；
第二行与第三列上的三个数之和相等，
∴．
根据题意可列出方程组，
故答案为：．
16． 3081 7182
本题考查新定义下的二元方程组运算以及整式的加减运算．根据题意所给出的“中二倍数”的定义是解题的关键．本题利用数的位值原理得出方程组求解即可得出，然后依据是一个“中二倍数”以及能被19整除，进行整式的运算，过程中涉及不等式限定范围以及不定方程的求解，进而即可分类讨论得出当最大值时m的值．
解：两个四位自然数，是“中二倍数”，
根据“中二倍数”的定义可得，
解得：，
∴；
是一个“中二倍数”，
，
能被19整除，
，
是正整数，
是正整数，
是整数，
，
，
各数位上的数字互不相等且均不为0，
当，有，（舍去）；
当，有，，此时（舍去）；
当，有，，此时；
当，没有满足条件的；
当，有，，此时；
当，有，，此时；
当，有，，此时；
，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
，
最大值为，此时m的值为．
故答案为：；．
17．(1)
(2)
本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的系数特点灵活选用恰当的方法求解是解题的关键．
（1）直接利用加减消元法进行求解即可；
（2）整理后，利用代入消元法进行求解即可．
（1）解：
由得，
解得，
将代入①得，，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：原方程组整理得，，
由①得，
将代入②得，，
解得，
将代入得，，
∴原方程组的解为．
18．(1)
(2)
本题考查了实数的混合运算，二元一次方程的解，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据立方根和算术平方根的定义化简，再算加减即可；
（2）将代入得到关于的方程，解方程即可求解．
（1）解：
；
（2）是方程的一个解，
．
19．
本题考查了二元一次方程组的同解问题，解二元一次方程组，求代数式的值．
由题意可得这两个方程组的解也是方程组的解，解方程组得出，将此解代入得出，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：因为方程组和的解相同，
所以这两个方程组的解也是方程组的解．
解得，
将代入方程组得，
解得，
所以．
20．
本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，理解方程组的解的计算方法是关键．
根据原方程组的解得到，由此即可求解．
解：关于的二元一次方程组的解是，
∴，
解得，．
21．(1)二，理由见解析
(2)20元
（1）根据表格中购物数量及费用即可得到答案；
（2）设商品A的标价为x元，商品 B的标价为y元，根据第一次和第三次购物列方程组解答．
（1）解：二，理由如下：
因为小亮购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，观察表格知道第二次购买数量最多，但是总费用却最少，所以第二次购物时，商品A、B同时打折．
（2）解：设商品A的标价为每个x元，商品 B的标价为每个y元．
根据题意，得
解得
答：商品A的标价为20元．
此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列得二元一次方程组解决问题是解题的关键．
22．(1)65名
(2)见解析
（1）由题意可以列出二元一次方程组求解；
（2）由题意列出关于、的二元一次方程，然后根据、都是非负整数可以得到解答．
（1）解：设1辆小客车能坐名学生，1辆大客车能坐名学生，
根据题意，得解得则．
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．
（2）解：由题意，得，所以．
，为非负整数，
∴或或
∴租车方案有三种：
方案一：租用小客车20辆；
方案二：租用小客车11辆，大客车4辆；
方案三：租用小客车2辆，大客车8辆．
本题考查二元一次方程（组）的应用，由题意正确列出二元一次方程（组）并求解是解题关键．
23．见解析，
本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
第一种思路：利用加减消元法解方程组，可用含k的式子表示出方程组的解，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案；
第二种思路：利用加减消元法用含k的式子表示出的结果，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案；
第三种思路：可建立方程组，解方程组后根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案．
解：
第一种：我欣赏甲同学的思路，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为，
∵，
∴，
解得；
第二种：我欣赏乙同学的思路，
得，
∵，
∴，
解得
第三种：我欣赏丙同学的思路，
由题意得，
得：，解得，
把代入③得：，解得
∴原方程组的解为，
∵，
∴，
解得．
24．（1）竖式长方体铁容器100个，横式长方体铁容器538个；（2）B；（3）19个
（1）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片2014张、正方形铁片1176张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设竖式纸盒c个，横式纸盒d个，由题意列出方程组可求解．
（3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，由铁板的总数量及所需长方形铁片的数量为正方形铁皮的2倍，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，取其整数部分再将剩余铁板按一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片处理，即可得出结论．
解：（1）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，
依题意，得：，
解得：，
答：可以加工竖式长方体铁容器100个，横式长方体铁容器538个．
（2）设竖式纸盒c个，横式纸盒d个，
根据题意得：，
∴5c+5d=5（c+d）=a+b，
∴a+b是5的倍数，可能是2020，
故选B；
（3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，
依题意，得：，
解得：，
∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3=75（张），9块做正方形铁片可做9×4=36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片，
∴共做长方形铁片75+1=76（张），正方形铁片36+2=38（张），
∴可做铁盒76÷4=19（个）．
答：最多可以加工成19个铁盒．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）．(共7张PPT)
浙教版2024 七年级下册
第二章 二元一次方程组
单元测试·冲刺卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
容易 2
较易 8
适中 12
较难 2
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 二元一次方程的定义
2 0.85 判断是否是二元一次方程组
3 0.75 二元一次方程的解
4 0.65 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
5 0.65 相反数的定义；已知二元一次方程组的解的情况求参数
6 0.65 构造二元一次方程组求解
7 0.65 已知二元一次方程组的解求参数
8 0.65 二元一次方程的解；判断是否是二元一次方程组的解
9 0.65 古代问题(二元一次方程组的应用)
10 0.64 根据实际问题列二元一次方程组
三、知识点分布
二、填空题 11 0.94 判断是否是二元一次方程组
12 0.85 已知二元一次方程组的解的情况求参数
13 0.75 二元一次方程的解；判断是否是二元一次方程组的解
14 0.65 二元一次方程的解
15 0.65 根据实际问题列二元一次方程组
16 0.4 数字类规律探索；数字问题(二元一次方程组的应用)；整式加减的应用
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 代入消元法；加减消元法
18 0.75 二元一次方程的解；实数的混合运算
19 0.65 已知式子的值，求代数式的值；方程组相同解问题；加减消元法
20 0.85 已知二元一次方程组的解求参数
21 0.65 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
22 0.65 二元一次方程的解；根据实际问题列二元一次方程组
23 0.64 加减消元法；已知二元一次方程组的解的情况求参数
24 0.4 几何问题(二元一次方程组的应用)

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